Цели и задачи урока:
Развивающие: Активизация мыслительной деятельности учащихся. Развитие познавательной активности и интереса к предмета.
Воспитательные: Развитие культуры математической речи при ответах на вопросы и при объяснении решения уравнений; зрительной памяти; внимательности и самостоятельности; творческого отношения к выполнению заданий.
Тип урока: Комбинированный.
Формы методы и педагогические приемы: Фронтальная беседа, комментирование решений, устная проверочная работа, создание проблемных ситуаций, дифференцированная самостоятельная работа, подготовка и защита плакатов с методами решения иррациональных уравнений, работа с учебником.
Оборудование: Магнитная доска, откидные доски, тетради, чистые листы, раздаточный материал (карточки с вариантами самостоятельной работ), плакаты с решениями иррациональных уравнений методом возведения в степень и замена переменных.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Работа с учебником, и устный опрос в форме
фронтальной беседы.
3. Защита плакатов.
4. Устная проверочная работа.
5. Решение уравнений.
6. Самостоятельная работа.
7. Итоги урока.
8. Домашнее задание.
Содержание урока.
Работа с учебником: Учитель предлагает еще раз вспомнить понятие иррационального уравнения, примеры их решения (образцы в тексте), какими методами решали уравнения, какими понятиями при этом пользовались.
Устный опрос в форме фронтальной беседы с целью проверки теоретических знаний:
- Что такое уравнение? [Уравнение – это равенство двух алгебраических выражений].
- Что называется корнем уравнения? [Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство].
- Что значит решить уравнение? [Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней].
- Какие уравнения называются равносильными? [Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни из этого множества или не имеют корней на данном множестве].
- Какие уравнения называют иррациональными уравнениями? [Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными уравнениями].
- Каковы методы решения иррациональных уравнений? [Часто используемый прием решения иррациональных уравнений – это возведение в степень (чаще всего возведение в квадрат). Другой метод – это метод замены переменных].
Защита плакатов.
| №1 Метод возведения в степень. Решить
уравнение Решение: I способ : Возведем обе части уравнения в квадрат.
Проверка: 1) х=0, то 2) х=3, то II способ:
Ответ: 3. №2 Метод замены переменных. Решить уравнение Решение: Пусть t=
Значит, 2= Ответ: 6 |
(неверно);
(верно)
Плакаты ученики делали дома на ватмане. Прикрепив плакат на магнитной доске учащиеся поочередно защищают свой метод решения иррациональных уравнений.
Учащиеся задают вопросы докладчикам.
Почему при решении уравнения на плакате №1 в 1 способе поставлен всюду знак
(следствия), и в
другом способе знак 
(равносильности)?[ Уравнение х2+5х+1=(2х-1)2
имеет 2 корня – х2=0, х2=3, а уравнение 
имеет только
один корень х=3, следовательно уравнения не
равносильны и каждая следующая запись является
следствием предыдущей в первом способе решения.
Во втором способе решения областью определения
уравнения является множество чисел х
0,5, а
число х=3 принадлежит этому множеству, значит все
переходы, равносильны.
2. Почему при решение уравнения 
не делали проверку корня?
[ Так как все переходы при решении уравнения равносильны, то проверка корня не требуется].
Устная проверочная работа: На откидной доске учителем заранее записаны задания
| 1. Является ли уравнение:
2. Какие из чисел 5; 0;-3 являются корнями уравнений? а) б) 3. Решите уравнения 1) 2) 3) 4) 5) х-6 6)
7) |
Ответы и комментарии: Нет, потому что в нем переменная х не содержится под знаком корня или дробной степени.
Каждое из чисел надо подставить вместо переменной х в каждое из уравнений. Если равенство будет равным, то число является решением уравнения, если равенство неверно, то число является решением иррационального уравнения.
х-2=81 х2=25 Уравнение решений не имеет, т.к. корень четной степени не может быть отрицательным числом. Возведем обе части уравнения в третью степень 1-х2=-8; х2=9; х=±3. Корень уравнения легко найти подбором, это
число 9, т.к. 9-6
3х-1=34; х=5. Если |
иррациональным?
[x=0]
[x=5]
[x=83]
[x=±5]
[O]
[x=±3]
[x=9]
[x=5]
lg([-12)=0, [O]
х=83 и
выполним проверку 
(верно).
+9=0.
то
х=11, тогда lg(-1), чего быть не может, т.к. логарифмы
отрицательных чисел не определены.Решение иррациональных уравнений на доске и в тетрадях.
На доске заранее учителем записаны следующие уравнения:
1. 
;
2. 
3. 
4. 
;
Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат
и учтем область определения уравнения, при этом
будем использовать знак 
.
Ответ: 15
Вопрос учителя: Почему область определения
уравнения записана не равенством х>11, а не х
11? [При х=11
знаменателем дроби равен 0, а на 0 делить нельзя].
2. 
Решение: Так как под знаком 
записаны одинаковые
выражения, то удобно применить метод замены.
Пусть 
тогда
Решая
квадратное уравнение относительно переменной Z,
получим Z1=5; Z2=-2. Учитывая область
определения уравнения х2+5х+1>0, заметим,
что при Z=5 25+25+1>0 (да), а при Z=-2 4-10+1>0 (неверно), то Z2=-2
посторонний корень. Вернемся к переменной х,
х1=3;
х2=-8.
Проверка: х=3, 
(верно)
х=-8, 
(верно)
Ответ: 3; -8.
3. 
Решение: Решим уравнение методом замены переменных.
Пусть 
тогда 
Чтобы
составить вопрос уравнения с переменными 
и 
, возведем обе
части уравнений 
в
квадрат 3х+1=u2 и 3х-6=2, заметим, что
3х+1-3х+6=7, т.е. u2-2=7.
Получили систему уравнений относительно
переменных u и ,
решаем ее:
Возвращаемся к переменной х.
; (или 
)
3х+1=16
3х=15
х=5
(3х-6=9
3х=15
х=5)
Проверка: 
4 + 3 =7 (верно)
Ответ: х=5.
Комментарий учителя: некоторые учащиеся выбрали другой способ решения – возведения в квадрат, но он приводит к громоздким вычислениям, поэтому метод замены в данном уравнении более удачный.
4. 
Решение: Уединим 
в левой части уравнения и возведем обе
части уравнения в квадрат.
Д=192-4*84=25; х1=
х2= 7.
Проверка:
х=12, 
(неверно)
х=7, 
(верно)
х=12 – посторонний корень
Ответ: х=7.
5. 
Решение: Будем использовать метод возведения обеих частей уравнения в нечетную третью степень, при котором посторонние корни не появляются.
Ответ: 10
6. 
Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат и запишем область определения данного уравнения.
Ответ: -1
На данном этапе урока наблюдалась ошибка при возведении двучлена в квадрат. Например: (х-7)2=х2-49, а надо (х-7)2=х2-14х+49. При выборе метода решения в уравнении №4 многие предпочитают метод возведения в квадрат, что не рационально.
Самостоятельная работа.
Каждый учащийся получает карточку с одним из трех вариантов. Первый вариант для слабоуспевающих учеников, второй и третий для более успешных учащихся.
Вариант 1
Решите уравнения: а)  б) в) х- |
Вариант 2
Решите уравнения: а)  б) в) |
Вариант 3
Решите уравнения: а)  б) в) |
Решения уравнений из самостоятельной работы. См. в приложении №1.
Итоги урока:
1) Перечислите методы решения иррациональных
уравнений.
2) В чем заключается смысл каждого метода?
3) Оценки за урок.
Домашнее задание.