Тема урока: Алгебраическая форма комплексного числа.
Цель урока:
- усвоение знаний в их системе;
- умение самостоятельно применять полученные знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.
Задачи:
Образовательная: систематизация и обобщение
знаний, контроль за усвоением ЗУН.
Воспитательная: привитие интереса к
изучаемому предмету.
Развивающая: формирование навыков
самостоятельной деятельности, выработка
внимания.
Ход урока
1.Объяснение материала (в форме лекции)
1.1. Общие сведения.
Рис. 1
Множество действительных чисел позволяет полностью оценить количественные стороны явлений действительности. При помощи действительных чисел мы производим измерения в пространстве и во времени. Физические, химические и прочие величины измеряются при помощи действительных чисел.
С этой точки зрения множество действительных чисел вполне достаточно и не видно причин для попыток расширить это множество.
Но следует иметь в виду и вторую сторону процесса развития и изучения числовых множеств. Всякий раз, расширяя числовое множество, появляется возможность более полно и успешно совершить те или иные операции.
Так, например, во множестве натуральных чисел 
не всегда можно
выполнить действия вычитания и деления. Расширив
это множество до множества целых чисел 
, получаем
возможность выполнить вычитание. Дальнейшее
расширение до множества рациональных чисел 
позволяет кроме вычитания осуществлять и
деление (исключая деление на нуль). И, наконец,
построение более обширного множества
действительных чисел 
дает возможность получить
приближенное значение корня и т.д.
В результате этого каждый раз увеличивается мощь вычислительного аппарата.
1.2. Мнимые числа.
Однако операция извлечения квадратного корня
определена не для всех действительных чисел, а
лишь для неотрицательных. Поэтому в теории
квадратных уравнений приходится рассматривать
три случая: 
.
Появляется необходимость расширения множества
действительных чисел путем присоединения к нему
числа 
, такого,
что 
, которое
назвали “мнимой единицей”. С включением пришлось ввести
числа вида 
, где 
и 
, где 
. Получившиеся при этом числа были
названы комплексными, так как содержали как
действительную часть 
, так и чисто мнимую часть . Множество
комплексных чисел обозначают буквой 
. Запись называется алгебраической
формой записи комплексного числа.
Рис. 2
Рис.3
1.3. Основные определения и операции во множестве комплексных чисел.
Равенство комплексных чисел. Два комплексных
числа и 
считаются
равными тогда и только тогда, когда равны
отдельно их вещественные части и коэффициенты
при мнимой единице, т.е. 
, если 
. Для неравных комплексных чисел понятия
“больше” и “меньше” не устанавливаются.
Модулем комплексного числа называется
неотрицательное число, равное 
и обозначается 
.
Два комплексных числа 
и 
называются сопряженными. Комплексные числа вида 
и 
называются
противоположными.
Т.к. выражение 
напоминает многочлен первой степени
(только не
является переменной), то операции над
комплексными числами производятся по тем же
правилам, что и над многочленами, причем, когда
появляется 
,
его заменяют на 
.
 |
Т.е. при вычислении встретятся только
четыре случая:
|
Сложение. Суммой двух комплексных чисел и 
называется комплексное
число 
, т.е. 
.
Вычитание. 
.
Умножение. Произведением комплексных чисел и называется комплексное
число 
,
т.е. 
.
Деление. Частное двух комплексных чисел можно найти, умножая числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, и выделяя в полученном результате действительную и мнимую части, т.е.
Пример 1. Найти сумму чисел 
и 
.
Решение: по правилу сложения комплексных чисел имеем:
.
Пример 2. Найти произведение чисел и .
Решение: по правилу умножения комплексных чисел имеем:
.
Пример 3. Найти произведение чисел 
и 
.
Решение: по правилу умножения комплексных чисел имеем:
.
Вывод: произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату их общего модуля.
Пример 4. Найти частное от деления чисел 
и 
.
Решение: 
.
Пример 5. Вычислить 
.
Решение: Из предыдущего примера известно, что
1)
;
Далее: 2) 
;
3) 
;
4) 
.
Тогда, учитывая все предварительные
результаты, имеем: 
.
Закрепление материала.
1) Даны числа 
и 
. Найти их
сумму, разность, произведение и частное.
(Ответы: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
)
2) Написать числа: а) противоположные числам, указанным в предыдущей задаче; б) сопряженные им.
3) Вычислить модуль комплексного числа 
.
(Ответ: 2)
Задания несложные, поэтому их решение можно прокомментировать с места.
Решение следующих упражнений показывают 4 человека у доски, остальные работают на местах. Учитель помогает учащимся, испытывающим затруднения.
4) Выполнить действия:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Решение:
а) 
;
б) 
в) 
;
г)
Для учащихся, быстро справившихся с работой можно предложить упражнения из учебника [1, с. 179, №325 (3,11,14,15)]
3)  ;11)
14) 15) |
;
;
.Решение:
3)
11) 
;
14) 
;
15) 
3. Домашнее задание: [1, гл. 10,
, №325 (1,4,8,9,10,13,16,17)]
4. Самостоятельная работа
| 1 вариант | 2 вариант |
| Вычислите: 1. 2. 3. |
Вычислите: 1. 2. 3. |
;
;
.
;
;
.Решение:
| 1 вариант 1. 2. 3. |
| 2 вариант 1. 2. 3. |
;
;
;
5. *Дополнительное задание: Найти 
и 
, считая их действительными из
уравнения 
.
Решение:
;
Используя определение равных комплексных чисел, переходим к системе:
,
.
Ответ: 
, 
.
Список литературы:
1. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 3-е изд.– М.: Просвещение, 1993.
2. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов. В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
3. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для учащихся 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1999.