Тема урока: Алгебраическая форма комплексного числа.

Цель урока:

• усвоение знаний в их системе;
• умение самостоятельно применять полученные знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.

Задачи:

Образовательная: систематизация и обобщение знаний, контроль за усвоением ЗУН.
Воспитательная: привитие интереса к изучаемому предмету.
Развивающая: формирование навыков самостоятельной деятельности, выработка внимания.

Ход урока

1.Объяснение материала (в форме лекции)

1.1. Общие сведения.

Рис. 1

Множество действительных чисел позволяет полностью оценить количественные стороны явлений действительности. При помощи действительных чисел мы производим измерения в пространстве и во времени. Физические, химические и прочие величины измеряются при помощи действительных чисел.

С этой точки зрения множество действительных чисел вполне достаточно и не видно причин для попыток расширить это множество.

Но следует иметь в виду и вторую сторону процесса развития и изучения числовых множеств. Всякий раз, расширяя числовое множество, появляется возможность более полно и успешно совершить те или иные операции.

Так, например, во множестве натуральных чисел не всегда можно выполнить действия вычитания и деления. Расширив это множество до множества целых чисел , получаем возможность выполнить вычитание. Дальнейшее расширение до множества рациональных чисел позволяет кроме вычитания осуществлять и деление (исключая деление на нуль). И, наконец, построение более обширного множества действительных чисел дает возможность получить приближенное значение корня и т.д.

В результате этого каждый раз увеличивается мощь вычислительного аппарата.

1.2. Мнимые числа.

Однако операция извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных. Поэтому в теории квадратных уравнений приходится рассматривать три случая: . Появляется необходимость расширения множества действительных чисел путем присоединения к нему числа , такого, что , которое назвали “мнимой единицей”. С включением пришлось ввести числа вида , где и , где . Получившиеся при этом числа были названы комплексными, так как содержали как действительную часть , так и чисто мнимую часть . Множество комплексных чисел обозначают буквой . Запись называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Рис. 2

Рис.3

1.3. Основные определения и операции во множестве комплексных чисел.

Равенство комплексных чисел. Два комплексных числа и считаются равными тогда и только тогда, когда равны отдельно их вещественные части и коэффициенты при мнимой единице, т.е. , если . Для неравных комплексных чисел понятия “больше” и “меньше” не устанавливаются.

Модулем комплексного числа называется неотрицательное число, равное и обозначается .

Два комплексных числа и называются сопряженными. Комплексные числа вида и называются противоположными.

Т.к. выражение напоминает многочлен первой степени (только не является переменной), то операции над комплексными числами производятся по тем же правилам, что и над многочленами, причем, когда появляется , его заменяют на .

Т.е. при вычислении встретятся только четыре случая:

Сложение. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , т.е. .

Вычитание. .

Умножение. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число ,

т.е. .

Деление. Частное двух комплексных чисел можно найти, умножая числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, и выделяя в полученном результате действительную и мнимую части, т.е.

Пример 1. Найти сумму чисел и .

Решение: по правилу сложения комплексных чисел имеем:

.

Пример 2. Найти произведение чисел и .

Решение: по правилу умножения комплексных чисел имеем:

.

Пример 3. Найти произведение чисел и .

Решение: по правилу умножения комплексных чисел имеем:

.

Вывод: произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату их общего модуля.

Пример 4. Найти частное от деления чисел и .

Решение: .

Пример 5. Вычислить .

Решение: Из предыдущего примера известно, что 1);

Далее: 2) ;

3) ;

4) .

Тогда, учитывая все предварительные результаты, имеем: .

Закрепление материала.

1) Даны числа и . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

(Ответы: а) ; б) ; в) ; г) )

2) Написать числа: а) противоположные числам, указанным в предыдущей задаче; б) сопряженные им.

3) Вычислить модуль комплексного числа .

(Ответ: 2)

Задания несложные, поэтому их решение можно прокомментировать с места.

Решение следующих упражнений показывают 4 человека у доски, остальные работают на местах. Учитель помогает учащимся, испытывающим затруднения.

4) Выполнить действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение:

а) ;

б)

в) ;

г)

Для учащихся, быстро справившихся с работой можно предложить упражнения из учебника [1, с. 179, №325 (3,11,14,15)]

3) ; 11) ; 14) ; 15) .

Решение:

3)

11) ;

14) ;

15)

3. Домашнее задание: [1, гл. 10, , №325 (1,4,8,9,10,13,16,17)]

4. Самостоятельная работа

Решение:

5. *Дополнительное задание: Найти и , считая их действительными из уравнения .

Решение:

;

Используя определение равных комплексных чисел, переходим к системе:

,      .

Ответ: , .

Список литературы:

1. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 3-е изд.– М.: Просвещение, 1993.

2. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов. В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

3. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для учащихся 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1999.