Материал: п, 28, § 2, учебник геометрия 7-9 Л.С.Атанасян
Методические рекомендации:
На уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений, и закрепляет способ доказательства от противного доказательством 1-го и 2-го следствий аксиомы параллельных прямых.
Покажем, как это можно сделать. Учителю следует обратить внимание на две характерные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании этого способа.
Первая ошибка - это то, что делается предположение, противоположное не тому, что требуется доказать, а тому, что задано в условии задачи или теоремы.
Вторая, не менее существенная ошибка - это неумение в отдельных случаях правильно сформулировать отрицание утверждения, которое требует доказательства. Вот один из примеров такой ошибки.
Составить утверждение, противоречащее высказыванию: «Число а больше 5».
Возможный ответ: число а меньше 5.
Если бы ученик в заданном по условию высказыванию применил частицу «не», его ответ был бы верен: «Число а не больше 5», т.е. число а меньше или равно 5. Действительно, если а<5 или а=5, то это противоречит условию а>5. Ясно, что при первом варианте ответа утерян один из возможных случаев, без которого решение задания становится неполным.
Поэтому, чтобы не допускать ошибки такого рода, важно с самого начала приучать учащихся формулировать отрицание утверждений, используя частицу «не» или соответствующие ей выражения: «неверно, что…», «нельзя» и т.п., т.е. следует избегать применения утвердительной формы предложений, как это было в приведенном выше примере.
В тех случаях, когда некоторое утверждение содержит отрицание какого-либо факта с помощью оборота «не», то исключив этот оборот из предложения, мы получим отрицание данного утверждения. Только после этого можно приступить к анализу ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.
Заметим, что два утверждения, одно из которых является отрицанием другого, называют противоположными или противоречащими друг другу
Цель урока:
Ознакомить учащихся со способом доказательства от противного.
Знать аксиому параллельных прямых и следствия из нее
Применять аксиому и следствия при решении задач.
Повысить мыслительную деятельность учащихся
Воспитывать чувства ответственности
Тип урока:. Объяснение нового материала
Методы: лекция.
Оборудование: компьютер.
Ход урока
- Организационный момент
- Актуализация. Проверка домашнего задания
- Изучение нового материала.
Назначение этой темы - дать представление об аксиомах геометрии, ввести аксиому параллельных прямых. Весь материал урока написан на компьютере. Учащиеся сами активно участвуют в объяснении нового материала.
Урок начинается с рассказа учителя.
В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы.
В своих рассуждениях люди часто используют способ доказательства, который называется способом от противного. Приведем примеры таких доказательств.
Пример 1. Врач после осмотра больного ребенка доказывает родителям, почему у него не аппендицит; если бы у ребенка был аппендицит, то живот болел бы с правой стороны, но у ребенка не с правой стороны. Значит, у ребенка не аппендицит.
Пример 2. Ревизор получил задание: выяснить есть ли в данном колхозе гусеничный трактор. Председатель колхоза говорит: если бы в селе был гусеничный трактор, то были бы следы гусениц, а их не обнаружили, значит, в колхозе нет гусеничного трактора.
Схема рассуждения председателя. Требуется доказать: в селе нет гусеничного трактора.
- Предположим противное тому, что требуется доказать: трактор есть.
- Из этого следует, что должны быть следы гусениц.
- Но их нет. Имеем противоречие между тем, что утверждается в одном предложении (должны быть следы гусениц) и отрицается в другом (следов нет).
- Вывод: в селе нет гусеничного трактора.
Врач тоже рассуждал по аналогичной схеме.
В чем заключается сущность способа доказательства от противного?
Посмотрим таблицу.
Способ доказательства от противного
1 |
Делается предположение, противное тому, что требуется доказать |
2 |
Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи |
3 |
Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом |
4 |
Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать |
Одним из важных моментов при доказательстве методом от противного является умение правильно сформулировать предложение, противоположное тому, что требуется доказать. В повседневной речи для того, чтобы выразить отрицание, иначе невозможность какого-либо события, факта или ситуации, мы часто используем частицу «не», либо иные соответствующие ей выражения: «неверно, что …», «нельзя» и т. п. Точно так же надо поступать, чтобы получить отрицание какого-нибудь математического утверждения. Приступаем к анализу возможных ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.
Упражнения
Составьте отрицания следующих утверждений.
- Точка А принадлежит отрезку СД
- Прямые а и b пересекаются.
( Прямые а и b не пересекаются. Значит, они параллельны.)
- Угол А тупой.
(Угол А не тупой. Значит, он либо прямой, либо острый. )
- Число а меньше нуля.
( Число а не меньше нуля. Следовательно, а=0 либо a>0.)
- Все данные прямые проходят через точку А.
(Не все данные прямые проходят через точку А, т.е. по крайней мере одна из них не проходит через точку А.)
В следующих предложениях необходимо убрать оборот «не», чтобы получить отрицание утверждений.
- Прямые а и b не параллельны.
- Через точки А,В, и С нельзя провести прямую.
(Через точки А, В, и С можно провести прямую.)
- Луч b не пересекает ни одного отрезка с концами на сторонах угла А.
(Луч b пересекает по крайней мере один отрезок с концами на сторонах угла, т.е. луч b проходит между сторонами этого угла.)
Дается понятие об аксиомах и аксиоме параллельных прямых.
Решаем такую задачу:
Через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а.
Построение прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой а, доказывает, что, по крайней мере, одна такая прямая существует. Естественно, возникает вопрос:
Сколько таких прямых можно провести?
Ответ на него дает аксиома параллельных прямых.
В аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Далее решаем задачи.
В этом параграфе впервые вводится понятие следствия, поэтому разъясняем смысл этого понятия, после чего рассмотрим следствие 1 и 2 из аксиомы параллельных прямых.
1. Решение задач на 1-е следствие.
(Вывод - следствие из аксиомы: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.)
Решение всех предложенных задач оформляются на компьютере и в тетрадях учащихся.
Задача 1.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. (§ 2). (Опорная задача.) Дано: а¦ b
Прямая с пересекает а в точке О (рис.1).
Рис.1
Доказать: прямая с пересекает прямую b.
Доказательство.
Точка О лежит на а и О лежит на с как точка пересечения прямых а и с. Но О не лежит на b , так как параллельные прямые а и b не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Следовательно, прямые b и с – различные, поскольку О лежит на с и О не лежит на b.
- Предположим, что прямая с не пересекает прямую b. Значит, с¦ b.
- Тогда через точку О, не принадлежащую прямой b, проходит более одной прямой (а и с), параллельных прямой b.
- Это противоречит 5 постулату Евклида -аксиоме параллельных прямых. (Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной).
- Следовательно, если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.
2. Задача на 2-е следствие.
Эту задачу учащиеся могут решать самостоятельно.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Дано: а¦с и b¦с (Рисунок 2)
Доказать: а¦b
Доказательство:
- Предположим, что а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рисунок 3).
- Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b) параллельные прямой с.
- Это противоречит 5 постулату Евклида- аксиоме параллельных прямых.
- Следовательно, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
При доказательстве теорем мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного.
Для лучшего усвоения метода доказательства от противного и экономии времени используем многоразовые карточки-подсказки, сделанные из плотной бумаги, вставленные в полиэтиленовые пакеты, на которых выполняются записи.
Карточки имеют следующий вид:
|
3. Закрепление нового материала.
№196 Дан треугольник АВС. Через точку С сколько параллельных прямых можно провести к АВ ? (одну, по аксиоме параллельных прямых).
№ 197.Через точку, не лежащую на прямой р проведено четыре прямых. Сколько этих прямых может пересекать данную прямую? (ответ: три или четыре, полезно показать учащимся на рисунке два возможных случаю расположения прямых:
а) все четыре прямые пересекают прямую р;
б) одна из четырех прямых параллельна р, а три другие пересекают ее
Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи.).
№ 198.Прямые а и b перпендикулярны к р, прямая с пересекает прямую а, пересекает ли прямая она прямую b? (ответ: да, так как прямые а и b параллельные. Задача 1°)
4. Итог урока.
Что мы изучали на уроке? О чем вы узнали?
(Мы изучали аксиому, аксиому параллельных прямых, следствие из нее и метод доказательства теорем от противного.)
5. Домашняя работа.
№ 199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Доказать, что ВС и АС пересекают прямую р.
(Доказываем от противного. Предположим, что ВС и АС не пересекают прямую р.Из предположения следует, что ВС и АС параллельны к прямой р. Это противоречит данной. Значит, ВС и АС пересекают прямую р. )
№ 219.