Информационные технологии на уроке математике по теме "Показательные уравнения и неравенства"

Разделы: Математика

Цель урока: формирование знаний и умений решение показательных уравнений и неравенств с помощью компьютера.
Задачи:

  • научить решать показательные уравнения и неравенства различными методами;
  • использовать свойства показательной функции при графическом решения уравнений и неравенств;
  • воспитывать самостоятельность, настойчивость для достижения конечных результатов; способствовать развитию интереса к математике через различные формы работы.

ХОД УРОКА

I. Повторение

  1. Какая функция называется показательной?
  2. Назовите основные свойства функции.
  3. Какие свойства у функции при a > 1 и при 0 < a < 1?
  4. Что такое уравнение?
  5. Назовите основные методы решения показательных уравнений?

II. Применение показательной функции

Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет.
О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя
Изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.
Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык.
Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть “лихвы” взимали в среднем!
Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет. Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин “показательной” введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.
Итак, показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.
Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид: y = y0ax.

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1 м2 суши.

3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 1014. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N0ekt. По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

5. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (согласно формуле Т = Т0 + (100 – Т0)е–kt. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

6. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М0 e–kt , где: М0 – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.

7. Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессов в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции.
8. Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону: , где h – высота точки над уровнем моря (в м). Эту формулу используют геодезисты для барометрического инвелирования, то есть для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности.

9. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле:
I = I0e–ks, где: s – толщина слоя, k – некоторый коэффициент, характеризующий мутную среду.

10. Закон охлаждения. Пусть Т1 – температура тела, Т0 – температура окружающей среды, где Т1 > Т0 , Тогда температура тела Т будет меняться по закону: Т = Т0 + (Т1 – Т0)е–kt, где k – некоторый коэффициент, зависящий от природы охлаждающего тела.

III. Устная работа (в слайдах через мультимедийную установку)

1. Решить уравнения:

3x = 9 4x = 64 2x = 22x = 64

2. Решите неравенства:

4x < 64 5 2x >

3. Используя свойства убывания или возрастания показательной функции, сравнить с единицей следующие числа:

2,3 0,6– 4  

4. Укажите множество значений функции:

y = 2x + 5 y = 0,3x – 4 y = 5,6x + 11 y = 7x x – 2

5. Выяснить, является ли данная функция возрастающей или убывающей:

y = 6x –2 y = 0,17 + 4x y = 0,24x + 5 y =

IV. Работа у доски и в тетрадях (один ученик решает у доски с объяснением)

1. Решить уравнение: 52x + 1 – 26 • 5x + 5 = 0

Решение:

5x = y,
5y2 – 26y + 5 = 0,
D = 169 – 25 = 144,
y1 = 5 y2 = 1/5
5x = 5
x – 1,
5x = 1/5
x = – 1

Ответ: x = 1 и x = –1

2. Решить уравнение: 5 • 32x + 7 • 15x – 6 • 25x = 0

Решение:

Разделим уравнение на 52x, получим уравнение 5 • (3/5)2x + 7 • (3/5)x – 6 = 0,
обозначим (3/5)x = y, получим квадратное уравнение 5y2 + 7y – 6 = 0, D = 49 + 120 = 169, y1 = – 2 y2 = 3/5
(3/5)x = 3/5 x = 1, (3/5)x = – 2 – корней нет.

Ответ: x = 1

3. Решить неравенство:

Решение:

5(4–x)/2 > 5–3, уравниваем показатели (4 – х)/2 > –3, 4 – х > –6, –х > –10, х < 10

Ответ: х < 10

IV. Самостоятельная работа

1. Решить уравнения и неравенства с помощью компьютера.
Открыть электронную таблицу Microsoft Excel.
С помощью мастера диаграмм построить графики следующих функций и решить уравнения и неравенства: 1. 3x = 4 – x (Ответ: x = 1)

2. (Ответ: х = –1)

3. 2x < –2х + 4 (Ответ: х < 1)

4. (Ответ: х < –1)

V. Итог урока

– На уроке рассмотрели методы решение уравнений и неравенств: введение новой переменной, приравнивание показателей, графический метод с использованием ИТК.

Оценить учащихся.