Элективный курс "Метод интервалов"

1. Аннотация

Уважаемые учащиеся 10-11-х классов! Вам предлагается элективный курс по математике под названием “Метод интервалов”.

Элективный курс базируется на знаниях, полученных вами в 8-9 классах при изучении тем “Квадратные неравенства” и “Область определения функций”.

Данный элективный курс освещает намеченные, но недостаточно хорошо проработанные в общем курсе школьной математике вопросы и направлен на расширение ваших знаний, повышения вашего уровня математической подготовки через решение большего класса задач.

Стоит отметить, что навыки в решении различного вида неравенств и построение графиков трансцендентных функций методом интервалов, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на математических олимпиадах, но и хорошо подготовиться к ЕГЭ или в дальнейшем в высшие учебные заведения.

Курс позволит вам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с решением различного вида неравенств и задач, а также с исследованием различного вида функций и построение их графиков, используя так называемый метод интервалов.

Преимущество метода интервалов по сравнению с другими, использующимися в такого же рода задач следующие:

• простота и быстрота достижения цели;
• наглядность (и возможность контроля или перепроверки);
• экономность в вычислительных средствах и времени;
• широта охвата всей ситуации;
• формирование и развитие навыков обобщенного мышления и анализа, а также связанные с этим умения делать логические выводы.

Предлагаемый элективный курс будет способствовать обогащению ваших знаний по математике, расширению вашего кругозора, формированию вашего логического мышления и, наконец, поможет сориентироваться вам с выбором конкретного места профиля обучения и дальнейшей специализации.

2. Пояснительная записка

Так называемый метод интервалов является одним из важнейших инструментов математической деятельности, связанный, прежде всего, с вопросами нахождения нулей функции или промежутков ее знакопостоянства для неравенства. Кроме того, метод интервалов исключительно эффективен и плодотворен в вопросах исследования функций и построения графиков. В частности, при выявлении асимптотического изменения графика функции, в вопросах местоположения точек и видов экстремума, а также промежутков монотонности функции. Этот метод эффективен и при решении различного вида задач, без него совершенно невозможно обойтись, решая сложные неравенства, содержащие конечные произведения алгебраических и трансцендентных функций. Также к достоинствам следует отнести простоту его понимания и эффективность в практическом использовании.

Но, к сожалению, методу интервалов в общеобразовательной школе не уделяется должного внимания. В большей мере этот метод дается лишь в виде зачаточного знания, но не в виде умений и навыков его эффективного применения. Данный курс призван, хотя бы в какой-то мере, восполнить этот пробел. Сейчас это особенно значимо, когда письменный экзамен заменяется ЕГЭ, когда просто необходимо учащимся успеть решить большее количество задач, и значит необходимо показать им и научить их быстрому и экономичному по времени способу решению задач.

Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 35 часов: 10 часов лекционного материала, 15 часов практических занятий и 10 часов семинара.

Содержание курса состоит из нескольких разделов:

• общие сведения об обобщённом методе интервалов;
• решение различного вида неравенств, методом интервалов;
• исследование различного вида функций методом интервалов;
• построение графиков этих функций;
• решение различного вида задач, используя метод интервалов.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является проверочная работа с элементами тестирования на итоговом занятии с последующим анализом ошибок.

Цели курса

• обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме “Метод интервалов”;
• обретение практических навыков выполнения заданий, используя метод интервалов;
• повышение уровня математической подготовки школьников;
• развитие навыков исследовательской деятельности.

Задачи курса

• убеждать в необходимости владения законами, алгоритмами и правилами математики;
• расширять область математических знаний учащихся;
• способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;
• способствовать развитию логического мышления учащихся, навыков в обработке полученной информации;
• способствовать формированию познавательного интереса к математике;
• помочь учащимся оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы в будущем.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы элективного курса “Метод интервалов” учащиеся получают возможность

знать и понимать:

• алгоритм обобщённого метода интервалов;
• решения различного вида неравенств методом интервалов;
• правила исследования и построения графиков функций;
• решения некоторого вида задач с помощью метода интервалов.

уметь методом интервалов:

• решать рациональные и дробно-рациональные неравенства;
• решать иррациональные неравенства;
• решать степенно-показательные неравенства;
• решать логарифмические неравенства с переменной под знаком логарифма;
• решать логарифмические неравенства с переменной в основании логарифма;
• решать простейшие тригонометрические неравенства;
• решать различные виды неравенств, содержащие переменную под знаком модуля;
• находить область определения различных функций;
• исследовать функции на монотонность;
• исследовать функции на экстремум;
• определять интервалы выпуклости, вогнутости точки перегиба графика функций;
• строить графики различных функций;
• находить наибольшее и наименьшее значение функций на отрезке или интервале;
• решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения выражения;
• решать геометрические задачи на нахождение оптимального значения объекта при заданных условиях переменной;

Основным результатом освоения содержания элективного курса учащимися должно быть:

• отсутствие страха перед заданиями, которых никогда не видели в учебнике;
• владение методом интервалов для решения различного вида заданий (неравенств, задач, построение графиков функций);
• подготовка выпускника к ЕГЭ или к сдаче конкурсного экзамена в ВУЗе.

Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар. Занятия проводятся с использованием дифференцированных заданий для учащихся с разным уровнем подготовки.

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка и взаимопроверка самостоятельно решённых заданий.

Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Работа элективного курса строится на принципах: научности, доступности, опережающей сложности, вариативности, самоконтроля и взаимопомощи.

Занятия, в основном, строятся на решении задач, взятых из вступительных экзаменов последних лет некоторых вузов города.

3. Учебно-тематический план

4. Содержание программы

(1 ч в неделю, всего 35 ч)

1. Вводное занятие. Обобщённый метод интервалов (1ч).

Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой. Требования, предъявляемые к участникам курса.

Знакомство с алгоритмом метода интервалов: нахождение корней множителей; нанесение их на числовую ось, учитывая строгость или нестрогость неравенства; определение знака в крайнем правом интервале по коэффициентам при ; определение знака в остальных интервалах, учитывая чётность или нечётность корней; выбор нужных промежутков, не забыв изолированные точки и запись ответа. (Знакомство с алгоритмом метода интервалов на примерах целых рациональных неравенств).

2. Дробно - рациональные неравенства (2 ч).

Неравенства вида: , где и целые рациональные выражения.

3. Неравенства, содержащие модули (5 ч).

Неравенства вида:

a)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

где целые рациональные выражения и

4. Иррациональные неравенства (4 ч).

Неравенства вида:

а) ;

б) ;

в)

г)

д)

е)

где целые рациональные выражения и

 

5. Показательные и степенно-показательные неравенства (3 ч).

Неравенства вида:

а)

б)

в)

г)

где рациональные выражения, ,

6. Область определения функций (5 ч).

Область определения функций вида , где и функция целая рациональная, дробно-рациональная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, сложная.

Область определения функций вида , где чётное число и функция целая рациональная, дробно-рациональная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, сложная.

7. Логарифмические неравенства (5 ч).

Неравенства вида:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

где целые рациональные, дробно-рациональные, степенные, показательные выражения, , и

Неравенства вида:

а)

б)

в)

г) где – целые рациональные, дробно-рациональные, степенные, показательные выражения,

и – целые рациональные или дробно-рациональные выражения и

8. Тригонометрические неравенства (2 ч).

Неравенства вида:

а)

б)

в)

г) где линейное выражение от и

9. Исследование функций и построение их графиков (3 ч).

Интервалы возрастания и убывания функций. Стационарные точки и критические точки. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и на интервале. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба функции. Асимптоты. Построение графиков различного вида функций.

10. Решение задач (3 ч).

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения выражения. Геометрические задачи на нахождение оптимального значения объекта при заданных условиях переменной.

11. Итоговое занятие (2 ч).

Проверочная работа с элементами тестирования. В неё входят все изученные разделы данного элективного курса.

Литература для учителя

1. Аверьянов Д.И., Звавич Л.И. и др. "Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения". – М.: "Школа – Пресс", 1993.
2. Алтынов П.И., Звавич Л.И. и др. "2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в ВУЗы". Серия "Большая библиотека "Дрофы". Учебное издание. – М.: Дрофа, 2000.
3. Башмаков М.И. "Уравнения и неравенства". – М.: ВЗМШ при МГУ, 1983.
4. Белоненко Т.В. и др. "Сборник конкурсных задач по математике". – СПб.: "Специальная литература", 1997.
5. Бродский И.Л. "Решение экзаменационных заданий повышенной сложности по алгебре и началам анализа за курс средней школы". Пособие для учащихся и учителей. – М.: АРКТИ, 2001.
6. Вавилов В.В. и др. "Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справочное пособие". – М.: Наука, 1987.
7. Васильева Н.Л. "Математика: В помощь выпускнику школы и абитуриенту". Серия "Экзамен без проблем". – СПб.: "Паритет", ИД "МиМ", 2000.
8. Воробьёва О.Н. "Сборник задач по алгебре". Пособие для абитуриентов. – СПб.: "Яросвет", 1995.
9. Гольдич В.А. "Алгебра. Решение уравнений и неравенств". Серия "Школьная программа". – СПб.: Издательство Дом "Литера", 2005.
10. Зив Б.Г. "Математика – 11. Уроки повторения". Пособие для подготовки к экзамену по алгебре и началам анализа в 11 классе". – СПб.: НПО "Мир и семья - 95", 1998.
11. Корешкова Т.А. и др. " Математика. ЕГЭ". Методическое пособие для подготовки. Серия "ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы". – М.: Издательство "Экзамен", 2006.
12. Крамор В.С. и др. "Математика: Типовые примеры на вступительных экзаменах". Пособие для старшеклассников и абитуриентов. Методическая библиотека. – М.: АРКТИ, 2000.
13. Мерзляк А.Г. и др. "Алгебраический тренажер". – М.: Илекса, 2001.
14. Осипов В.Ф. "Конкурсные задачи по математике: с решениями и указаниями". Учебное пособие. – СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 1996.
15. Олехник С.Н. и др. "Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10 – 11 класс". – М.: Дрофа, 1995.
16. Попов А.П. и др. "Как подготовиться к централизованному тестированию по математике". Серия "Учебники, учебные пособия". – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2000.
17. Самсонов П.Н. "Четыре месяца до выпускного экзамена". Библиотека журнала "Математика в школе". – М.: Школьная Пресса, 2003.
18. Семенко Е.А. и др. "Задания для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа". Книга для учителя 11 классов образовательных учреждений". – М.: Просвещение, 1997.
19. Фальке Л.Я. и др. "Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе". Учебно-методические материалы по математике. – М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005.
20. Фенько Л.М. "Метод интервалов в решении неравенств и исследовании функций", – М.: Дрофа, 2005.
21. Шарыгин И.Ф. "Факультативный курс по математике: решение задач". Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1989.
22. Шахмейстер А.Х. "Дробно-рациональные неравенства", С-Пб.: ЧеРО на Неве, 2003.
23. Шахмейстер А.Х. "Иррациональные уравнения и неравенства", С-Пб.: ЧеРО на Неве, 2003.

Литература для учащихся

1. Аверьянов Д.И., Звавич Л.И. и др. "Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения". – М.: "Школа – Пресс", 1993.
2. Бродский И.Л. "Решение экзаменационных заданий повышенной сложности по алгебре и началам анализа за курс средней школы". Пособие для учащихся и учителей. – М.: АРКТИ, 2001.
3. Вавилов В.В. и др. "Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справочное пособие". – М.: Наука, 1987.
4. Васильева Н.Л. "Математика: В помощь выпускнику школы и абитуриенту". Серия "Экзамен без проблем". – СПб.: "Паритет", ИД "МиМ", 2000.
5. Воробьёва О.Н. "Сборник задач по алгебре". Пособие для абитуриентов. – СПб.: "Яросвет", 1995.
6. Гольдич В.А. "Алгебра. Решение уравнений и неравенств". Серия "Школьная программа". – СПб.: Издательство Дом "Литера", 2005.
7. Зив Б.Г. "Математика – 11. Уроки повторения". Пособие для подготовки к экзамену по алгебре и началам анализа в 11 классе". – СПб.: НПО "Мир и семья - 95", 1998.
8. Корешкова Т.А. и др. " Математика. ЕГЭ". Методическое пособие для подготовки. Серия "ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы". – М.: Издательство "Экзамен", 2006.
9. Крамор В.С. и др. "Математика: Типовые примеры на вступительных экзаменах". Пособие для старшеклассников и абитуриентов. Методическая библиотека. – М.: АРКТИ, 2000.
10. Осипов В.Ф. "Конкурсные задачи по математике: с решениями и указаниями". Учебное пособие. – СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 1996.
11. Попов А.П. и др. "Как подготовиться к централизованному тестированию по математике". Серия "Учебники, учебные пособия". – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2000.
12. Самсонов П.Н. "Четыре месяца до выпускного экзамена". Библиотека журнала "Математика в школе". – М.: Школьная Пресса, 2003.
13. Шарыгин И.Ф. "Факультативный курс по математике: решение задач". Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1989.
14. Шахмейстер А.Х. "Дробно-рациональные неравенства", С-Пб.: ЧеРО на Неве, 2003.
15. Энциклопедия для детей. "Математика. 11 Том". – М.: Аванта +, 2003.