Девиз урока (оформление доски):
“Приложения полезны и фактически необходимы для теории, потому что они ставят перед теорией новые вопросы. Можно сказать, что приложения и теория находятся в том же отношении, как лист и дерево: дерево держит лист, но лист питает дерево”. (Адамар Ж.)
Цели урока
- Применение знаний по теме “Движение” к задачам практического содержания, нахождение рационального решения задачи, развития навыков работы с чертежными инструментами.
- Определение роли симметрии в жизни, практической деятельности человека, развитие у учащихся познавательного интереса к математике, умение применять свои знания к практическим ситуациям, ориентация на профессию инженера-проектировщика.
Тип урока
Урок обобщения знаний по теме “Движение”.
Форма проведения урока
Деловая игра “Проектировщик”.
Оборудование
- Чертежные инструменты.
- Проектные задания - план местности.
- Текст задачи для каждого отдела проектного бюро.
- Рефераты по теме “Симметрия”
Предварительная подготовка
За неделю до урока класс был разбит на 3 группы, которые назывались “Отделами проектного бюро”. Каждый “Отдел” выбрал “Главного инженера”. В течение недели группы работали над творческими проектами – проектирование дорог и мостов через канал. Свои работы оформляли в папках и на листах ватмана. Готовились к защите проектов и готовили рефераты по теме “Симметрия”.
Ход урока
Вступление
Учитель. Сегодня я постараюсь убедить вас, как важно изучать математику.
В далеком прошлом Максвелл Д. К. (1831-1879) говорил: “Я знал людей, которые, будучи в школе, никак не могли понять пользы математики, но, поняв ее, в дальнейшем не только становились выдающимися учеными-инженерами, но достигли больших успехов в занятиях абстрактной математикой”.
Выполняя домашнее задание, вы уже убедились в пользе математики. На уроке мы продолжим работу над связью теории с практикой.
Прочитайте девиз урока: “Приложения полезны и фактически необходимы для теории, потому что они ставят перед теорией новые вопросы. Можно сказать, что приложения и теория находятся в том же отношении, как лист и дерево: дерево держит лист, но лист питает дерево”.
(Адамар Ж.)
Преобразование фигур, в частности преобразование с помощью симметрии вошло в математику в результате наблюдения человека за окружающим миром, это привело к созданию учения о симметрии. О ней писал в своем трактате “Об архитектуре” римский инженер Витрувий (I век), ее изучали и применяли архитекторы и художники эпохи Возрождения. В геометрию элементы учения о симметрии ввел французский математик А. М. Лежандр (1752-1833 гг.)
Итак, на уроке мы будем отрабатывать навыки решения задач с помощью свойств движений, находить рациональное решение задач. Важным с практической точки зрения являются задачи, в которых требуется провести кратчайшую дорогу, удовлетворяющую заданным условиям или выбрать кратчайший маршрут, использующий уже имеющиеся дороги, правильно выбрать место для строительства какого-либо объекта, чтобы в последствии транспортные расходы оказались небольшими. Подобные задачи возникают в экономике на каждом шагу, и от правильности их решения зависит очень многое.
Проектированием дорог занимается проектное бюро.
Класс представляет проектное бюро. В нем три отдела. Каждый из вас должен представить себя инженером - проектировщиком.
Игра будет проводиться в два этапа.
I этап - защита проектов, над которыми вы трудились дома.
II этап - выполнение вполне реальной инженерной задачи “Проектирование дороги”.
При оценивании работ отделов будет учитываться правильность решения задачи, ее обоснование, не только знания, но и организация работы проектного бюро, трудовая дисциплина коллектива, скорость и оптимальный вариант решения инженерной задачи.
Выполняем первый этап: защита проектов. Каждый отдел выбрал, кто будет представлять их проект.
I. отдел. По трассе установить автобусную остановку и от обеих деревень проложить к ней дорогу. Деревня находятся по одну сторону от трассы. Сумма расстояний от населенных пунктов до остановки должна быть наименьшей, вследствие экономии средств.
Решение.
Переведем задачу на язык математики. Пункты А и В обозначим точками. Дорогу одной линией - прямой а. Воспользуемся симметрией относительно прямой.
Построим точку В' симметричную точке В относительно прямой а, для этого опустим перпендикуляр из точки В на прямую а и на продолжении за прямой а отложим отрезок ОВ'=ОВ. Соединим точку А и точку В'. Получим отрезок АВ', который пересекается с прямой а. Обозначим точку пересечения буквой С. Здесь и надо строить остановку.
Докажем, что сумма расстояний АС+СВ - наименьшая.
СВ=СВ' - это следует из того, что 
СВ'О=СВО
по двум катетам: 1) СО – общий катет,
2) ВО=В'О - по построению.
Предположим, что остановку надо построить в точке F- любая точка прямой a, отличная от точки С, тогда AF+FB=AF+FB', FB= FB' для любой точки прямой а.
Таким образом, сумма расстояний AF+FB равна длине ломаной AF+FB', а ее длина будет наименьшей, если она обратится в отрезок прямой. Длина AFB' будет наименьшей, если AB' будет отрезком, точка F перейдет в точку С - точку пересечения прямой а с отрезком AB'. Эта точка С и является искомой.
II. отдел. Населенные пункты, назовем их А и В, находятся по разные стороны канала. Следует соединить их дорогой, построив мост через канал. Учтем, сделать это надо так, чтобы как можно меньше при этом затратить средств, времени и стройматериалов, то есть путь этот должен быть кратчайшим.
Решение.
Переведем задачу на язык математики. Населенные пункты обозначим точками А и В, канал двумя параллельными прямыми а и b.
Анализ.
Предположим, что путь проходит через точки М' и N', тогда он равен сумме расстояний AM', M'N' и N'B: AM'+M'N'+N'B
M'N' - не изменяется, значит надо попытаться “сблизить” AM' и N'B.
Воспользуемся параллельным переносом.
1. Осуществим параллельный перенос, при котором N'>М', В>B', т.е. параллельный перенос перпендикулярно прямой b на длину, равную ширине канала.
2. Построим отрезок АВ', это и есть кратчайшее расстояние между А и В'.
3. АВ' 
а = M
Восстановим мост M N перпендикулярно b, MN 
b=N.
Соединим NB.
4. AM + MN + NB - кратчайшее расстояние между точками А и В.
Доказательство: предположим, что расстояние не является кратчайшим.
Пусть будет мост построен M'N', т.е. мост выходит из точки М'. Путь из точки А в точку В будет длиннее, т.к. длина ломанной AM'+M'B' больше длины отрезка АВ', следовательно путь AMNB через мост MN будет короче, чем через мост M'N' путь AM'N'В.
III. отдел. По одну сторону дороги размещены два пункта R и S. Где нужно построить у дороги платформу DE длиной m, чтобы участок дороги RDES был кратчайшим?
Решение.
Пункты обозначим точками R и S, дорогу – прямой а.
Выполним параллельный перенос при котором R > R', т.е. параллельный перенос вдоль прямой а на длину m, равную длине платформы. Построим точку R1 , симметричную точке R' относительно прямой а. Соединим R1 с S. Получим точку Е, т.е. точку пересечения отрезка R1 S с прямой а. Тогда сумма R'Е + ЕS будет наименьшей. Выполним параллельный перенос точки Е по прямой а в сторону точки R на длину m и получим точку D. Тогда RD = R'Е и RD+ DЕ+ ЕS будет кратчайшим расстоянием от точки R до точки S с заездом на платформу DЕ.
Ученик
О, симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю,
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой - творение мороза!
II Этап
Учитель.Теперь перед вами будет поставлена вполне реальная инженерная задача, которую вы сможете решить, используя свои знания по теме “Движение”. Задачи, которые вы решали дома являются элементами общей задачи. Надо будет проектировать дорогу. Полезно знать, что 1 км дороги с асфальтовым покрытием обходится государству недешево.
Перед вами план местности
На плане местности, в недрах которой найдены полезные ископаемые, необходимо спроектировать шоссейную дорогу, которая связала бы город А с железной дорогой (пункт С), дальше пункт С через реку с городом В. Город В находится вблизи уже существующей шоссейной дороги, вдоль которой надо спроектировать погрузочно-разгрузочную платформу DE длиной m и после этого конец платформы, пункт Е, соединить вновь через реку асфальтированной магистралью с городом А. По ходу дороги на реке надо спроектировать мосты. Строительство мостов производить только перпендикулярно берегам реки. Длина замкнутой дороги ACMM1BDENN1A должна быть кратчайшей. У мостов MM1 и N1Nсо временем будут построены порты М и N первый со стороны города В, другой со стороны города А. [4]
Каждый отдел получает план местности без ломанной ACMM1BDENN1A в нескольких экземплярах и сообщается задание:
Первому отделу - спроектировать участок ACMM1B.
Второму отделу - спроектировать участок BDE.
Третьему отделу - спроектировать участок ENN1А.
На первом этапе игры происходит изучение местности, на котором изображены города А и В, река, полотно железной дороги и шоссейная дорога. Необходимо перевести задание с инженерного языка на язык математики.
На втором этапе каждый ученик перерисовывает план в тетрадь, заменяя железную и шоссейную дорогу прямыми линиями, а берега реки параллельными прямыми. Железнодорожный мост строить перпендикулярно берегам реки. Создается математическая модель — чертеж к задаче.
На третьем этапе учащиеся приступают к выполнению задания своего отдела.
После того как учащиеся каждой команды выполнят построения в тетрадях, происходит защита проектов. Проектируются все участки дороги на доску.
Защиту проводят “главные инженеры” и их ассистенты. Подвести итог игры. Каждый отдел получает баллы за защиту творческих проектов(домашнее задание), за выполнение проектов в классе по количеству верно выполнивших задание.
Защита рефератов по теме “Симметрия”
Каждый отдел представляет реферат.
Домашнее задание
Обосновать рациональность построения своего участка дороги.
Селения А и В разделены двумя непараллельными каналами с прямолинейными попарно параллельными берегами. Где надо построить мост на этих каналах, чтобы дорога между А и В была кратчайшей?
Три магистрали, пересекаясь, образуют остроугольный треугольник. Как проложить кратчайший маршрут автобуса, имеющий выезды в каждой из трех магистралей?
Итог урока
Учитель. Мы сегодня решали задачи, в которых использовали симметрию на плоскости. А ведь симметрией мы сталкиваемся и в окружающем мире.
Несколько раз в день мы используем симметрию относительно плоскости, которую будем изучать в 10 классе, не задумываемся над этим. Где мы ее используем? (Глядя на себя в зеркало) А когда можно себя увидеть в полный рост в зеркале? А можно ли увидеть себя в полный рост в карманном зеркале?
Я хочу завершить урок словами Журдэна Ф. - математика:
“Слишком близоруко считать бесполезными даже те ветви математики, плоды которых не могут быть прямо использованы для каких-либо надобностей”.
Выставление отметок.
Литература
Погорелов А.В. Геометрия .Учебник для 7-11 классов образоват. Учреждений. – М.: Просвещение 1990-2000.
Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка,- М.: Просвещение, 1988.
Сергеева И.Н., Олехник С.Н. Гашков С.Б. Примени математику.- М .Наука,1990.
Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики. Книга для учащихся. -М.: Просвещение, 1990.