Цель:
- способствовать развитию умения устанавливать взаимосвязь между параметром и наличием решений в иррациональных уравнениях или неравенствах; способствовать расширению и углублению знания учащихся о степенной функции.
- способствовать формированию таких исследовательских умений, как умение выдвигать гипотезу на основе анализа данных и обоснования для её подтверждения или опровержения, умение сделать вывод.
- способствовать воспитанию трудолюбия, целеустремленности, умения работы в коллективе.
Оборудование
- Плакат с планом работы на уроке.
- Учебник авт. Алимов Ш.А. и др. „ Алгебра и начала анализа 10-11 ”. Рабочая тетрадь.
- Плакат с девизом урока «Жизнь - постоянное изменение параметров».
- Таблица-схема «Решение иррациональных неравенств».
- Плакат с выдвинутой гипотезой.
- Оценочный лист работы учащихся в группе.
| Фамилия, имя учащегося | За установление объекта изучения | За выполнение задания №1 | За выполнение задания №2 | За выполнение задания №3 | Оценка за работу на уроке |
| 1. | |||||
| 2. | |||||
| 3. | |||||
| 4. |
Папка с заданиями для каждой группы. Таблицы-плакаты (лист ватмана каждой группе) для записи решения неравенства, маркеры для каждой группы трёх цветов.
Переносная доска с записью решения задания №2.
Карточка для проведения рефлексии, где указаны блоки рефлексии:
«Я»:
- как я чувствовал себя на уроке;
- было ли комфортно;
- моё настроение на уроке;
- доволен ли я.
«МЫ»:
- насколько комфортно работалось в группе;
- затруднялся ли в общении.
«ДЕЛО»:
- достиг ли я цели учения;
- нужен ли мне этот материал (интересен, развивает меня, пригодится дальше);
- мои затруднения, как преодолел.
Справка - инструкция об исследовании:
Исследование - процесс и результат научной деятельности, направленный на получение новых знаний.
Объект исследования - то, на что направлена познавательная деятельность.
Предмет исследования - совокупность элементов, связей, отношений в конкретной области математического объекта, в котором вычленяется проблема, требующая решений.
Предмет исследования более узкое понятие, чем объект. Он является частью, элементом объекта.
Логика исследования.
- Установление объекта изучения.
- Постановка и формирование проблемы. Определение предмета.
- Определение цели и задач исследования. Выдвижение гипотезы.
- Построение плана исследования (выбор методов и процедур).
- Проверка гипотезы.
- Оформление результатов исследования.
- Определение сферы применения найденного решения.
- Проверка и уточнение выводов.
На уроке используется групповая форма работы. (В каждой группе 4 ученика, один из них назначен руководителем работы на уроке).
Логика урока.
I. Установление объекта изучения.
| Учитель. | Учащиеся. |
| 1. Изучение какой темы проходит? | Степенная функция. |
| 2. Какому вопросу темы посвящены предыдущие уроки? | Иррациональным уравнениям и неравенствам. |
| 3. Чему научились? |
a) Классифицировать по способам решения. |
| 4. Какие дополнительные вопросы затронуты в теме «Иррациональные уравнения и неравенства»? | Параметр в иррациональных уравнениях и неравенствах. |
| 5. Какие умения приобрели в этом вопросе? | Умеем:
a) Решать несложные уравнения и неравенства с параметрами. |
| 6. Итак, к чему сводится решение иррационального уравнения с параметром? |
К постепенному переходу от иррационального уравнения к рациональному путём возведения в степень обеих частей уравнения, либо введения вспомогательной неизвестной величины. Причём решение сопровождается проверкой, либо идёт на языке равносильности. |
| 7. К чему сводится решение иррационального неравенства? |
1) Учитывается ОДЗ переменной и параметра. |
| 8. Все ли вопросы в теме «Параметр в иррациональных уравнениях и неравенствах» имеют ответ? | Нет, например, интересен вопрос о влиянии параметра на наличие решений в уравнениях и неравенствах. |
Объявляю тему урока "Параметр в иррациональных уравнениях и неравенствах.
II. Цель урока: исследовать вопрос о влиянии параметра на наличие решений в рассматриваемых уравнениях и неравенствах.
Урок строим как урок-исследование.
Учитель. Напомните, что такое исследование? (Здесь и далее ответы учащихся приведены в скобках.)
(Исследование – процесс и результат научной деятельности, направленный на получение новых знаний)
Учитель. Что включает в себя этот процесс?
(Объект исследования и предмет исследования)
Учитель В нашем исследовании объект – это что?
(Параметр в иррациональных уравнениях и неравенствах)
Учитель. А предмет исследования?
(Взаимосвязь параметра и наличия решений в уравнениях и неравенствах)
Учитель .Назовите шаги исследования.
Учащиеся.
Учитель .Сформулируйте гипотезу о влиянии параметра на наличие решений иррациональном уравнении или неравенстве.
Учащиеся. Параметр всегда влияет на наличие решений в иррациональном уравнении или неравенстве.
III. Учитель. Дальнейшая работа предполагает проверку гипотезы и оформление результатов исследования.
1) Обсудите и выполните в группе задание: в уравнении
исследуйте число
корней в зависимости от параметра
Сделайте вывод о
влиянии параметра на наличие корней.
Каждая группа самостоятельно выполняет задание. На классной доске запись решения выполняют 4 ученика из различных групп; один из них рассказывает решение и приводит формулировку вывода о влиянии параметра на наличие решений данного уравнения.
Решение. Оба слагаемые – возрастающие функции от
; их сумма обладает тем
же свойством. Значит, выражение
может принять каждое значение не более одного раза. Корни в левой части
уравнения определены, если
.
Тогда наименьшим значением, принимаемым левой
частью уравнения, является
. Это и есть наименьшее
значение выражения 
,
когда уравнение разрешимо, то есть, имеем:
,
. Итак, при
в уравнении
единственный корень; при 
корней нет.
Ответ: при в
уравнении единственный корень, при
корней нет.
Учащиеся. Вывод: параметр влияет на наличие решений данного уравнения.
2) Учитель .Решите относительно
x уравнение
. Сделайте вывод о
влиянии параметра на наличие решений в заданном уравнении.
Учитель Одна из групп комментирует выполнение предложенного задания, делает вывод; после этого на переносной доске предлагается для проверки, заготовленное ранее, верное решение.
Решение. а) ОДЗ:
;
б)
, т.е.
при любом
корнем является
; при
корнем является
.
Ответ: при любом
корнем является
; при
корнем является
.
Учащиеся. Вывод: параметр не влияет на наличие решений заданного уравнения.
3)Учитель. Решите неравенство: 
,
сделайте вывод, который подтверждает или опровергает выдвинутую на уроке
гипотезу. Запись решения выполните на заготовленных таблицах-плакатах,
используйте в работе маркеры разных цветов.
Таблицы закрепляются на классной доске. Одна из групп рассказывает своё решение и делает вывод о влиянии параметра на наличие решений данного неравенства.
Решение.
| а)
|
б)
|
в)
т.е.
|
,т.е.,
тогда
, что даёт
,
,
тогда имеем 
,что
верно при всех значениях
x,
удовлетворяющих условию
Ответ: при
;
при
.
Учащиеся. Вывод: в данном неравенстве параметр не влияет на наличие решений.
IV. Учитель. Сделайте общий вывод по результатам проверки гипотезы
Учащиеся.Проверка гипотезы показала, что параметр не всегда влияет на наличие решений уравнения или неравенства, значит, гипотеза неверна. То есть вопрос о взаимосвязи параметра и наличия решений в уравнении или неравенстве не имеет однозначного ответа
и решается индивидуально для каждого из заданий с параметром.
V. Учитель. Подведём итог урока. Неслучайно выбран сегодня девиз урока:
«Жизнь - постоянное изменение параметров».
Жизненная ситуация часто напоминает задание с параметром. Умение анализировать её - помогает выбрать правильное решение для дальнейших действий.
Что же вы приобрели сегодня для себя на уроке? (Идёт рефлексия).
Объявляются отметки.
VI. Домашнее задание. Решить неравенство
и решить уравнение
относительно
переменной x в
зависимости от значений параметра
a.