Как определять тригонометрические значения некоторых углов самостоятельно

Как известно, cos 30^o=, значит легко найти по формуле половинного угла sin15^o= = = ; cos15^o==.

Определить тригонометрические значения некоторых других углов нам поможет равнобедренный ABC с углом при вершине 36^o.

Итак, < ABC = 36^o, значит < BAC = < BCA = 72^o.

Проведем биссектрису CD из < BCA в ABC. < ACD = 36^o, значит < ADC = 180^o- (< ACD + < BAC) = 72^o. Получено: < ADC = < DAC = 72^o, поэтому ACD - равнобедренный AC=CD.

В BDC < DBC = < DCB = 36^o, поэтому BDC - равнобедренный BD=CD. Следовательно, AC=CD=BD.

Очевидно, что углы ACD и ABC равны друг другу, значит, ACD подобен ABC.

Имеем: = , то есть = ; = ; AB- AC x AB = AC; AB- AC x AB - AC= 0.

Выразим AC через AB.

Решим квадратное уравнение относительно AB.

Очевидно, рассматривается только один корень, так как второй корень будет отрицательным.

Итак, получим

AB = = , то есть =

Если провести высоту BK в ABC, то получим:

= = sin < ABK = sin 18 = = .

Не трудно теперь найти cos 18^o;

cos 18^o = = = .

Зная sin 18^o, cos 18^o, sin 15^o, cos 15^o можно с помощью формул тригонометрических значений суммы и разности углов можно получить:

sin 3^o= sin (18^o- 15^o) = sin 18^ocos 15^o - sin 15^ocos 18^oили cos 33^o = cos (18^o+ 15^o) = cos 18^ocos 15^o- sin 18^osin15^o.

Можно так же вычислить tg и ctg этих углов. Здесь у учащихся открываются большие возможности, широкое поле деятельности.

Можно находить тригонометрические значения углов 48^o = 45^o + 3^o или 42^o = 45^o - 3^o, можно через формулы двойного угла найти тригонометрические значения угла в 6^o, например sin6^o = 2 sin 3^ocos 3^o и т. д.

С помощью формулы приведения ясно, что можно найти cos72^o = sin18^o= и т.д.

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся упорядочить полученные данные и составить свою таблицу для некоторых углов.

Это будет служить заодно повторением основных тригонометрических формул.