Развитие исследовательских умений школьников при изучении темы "Элементы статистики и стохастики" на уроках математики в 9-м классе через использование учебно-исследовательских карт

Учебную работу важно организовывать так, чтобы ученики усваивали процедуру исследования, проходя все его основные этапы:

• мотивация исследовательской деятельности;
• постановка проблемы;
• сбор фактического материала;
• систематизация и анализ полученного материала;
• выдвижение гипотез;
• проверка гипотез;
• доказательство или опровержение гипотез.

Задача учителя состоит в том, чтобы найти простые и удобные средства для того, чтобы ученик практически смог реализовать каждый из выше названных этапов.

1. Мотивацию исследовательской деятельности можно осуществить следующим образом:

• сделать акцент на значимости ожидаемых результатов;
• предложить оригинальные учебные задания, например:
• можно ли использовать игральный кубик судье футбольного матча для жеребьевки выбора командами ворот?

Маша, Саша, Катя, Лена, Ваня и Миша пошли в пиццерию. Ваня съел 5 кусков пиццы, Миша, Саша и Лена – по 3 куска, Катя – 2 куска, Маша – 1 кусок. Как изменятся статистические характеристики ряда чисел (количество съеденных кусков), если все дети съедят на 3 куска больше?

• предложить неожиданно сформулированные учебные задания, например:

a) предлагается урожайность картофеля некоторых хозяйств по улицам д. Быданово. Следует узнать, где молодоженам лучше всего построить дом?

На предприятии работают 100 человек: 99 служащих, каждый из которых получает по 1000 р. в месяц, и директор, получающий 100000 р. в месяц. Служащие потребовали повысить зарплату, так как практически все работники предприятия получают по 1000 р. Однако, директор отказал им, заявив, что средняя зарплата на предприятии итак составляет около 2000 р. С точки зрения статистики кто прав, директор или служащие?

Важно помнить, что мотивирующая (исходная) задача должна обеспечить “видение” учащимися более общей проблемы, чем та, которая отражена в условии задачи.

2. В идеале проблему исследования должен сформулировать сам ученик. Но многие школьники затрудняются в формулировке проблемы, дают неверные или ошибочные формулировки, поэтому нужен контроль и помощь со стороны учителя:

• Формулируется задача.

На прямой а отмечены точки A, N, M, К, F. Сколько отрезков изображено на прямой а?

Ученикам предлагается ответить на вопросы:

1) Cколько отрезков на каждом из предложенных рисунков?

2) От чего зависит количество отрезков на прямой?

3) Сформулировать проблему исследования со слова “как…”.

Получаем формулировку проблемы исследования:

Как зависит количество отрезков на прямой от числа точек, отмеченных на этой прямой?

Формулируется задача.

Если в числовом ряду все элементы увеличить на одно и тоже число, то как изменятся статистические характеристики?

И предлагается формулировка проблемы исследования к этой задаче:

Как влияет на изменение статистических характеристик увеличение элементов ряда на одно и то же число?

Затем ученикам предлагается сформулировать проблему исследования к следующей задаче: Дан ряд чисел 37; 254; 9; 21; 699. Как изменятся статистические характеристики этого ряда, если: а) 0,37; 2,54; 0,09; 0,21; 6,99; б) 37000; 254000; 9000; 21000; 699000?

Ученики формулируют проблему исследования:

а) Как изменятся статистические характеристики ряда данных, если все члены ряда уменьшить в одно и то же число раз?

б) Как изменятся статистические характеристики ряда данных, если все члены ряда увеличить в одно и то же число раз?

• Предлагается задача. Каждый ученик должен предложить свою формулировку проблемы исследования, затем идет обсуждение предложенных вариантов.
• Предлагается задача. Вместе с ней предлагаются несколько формулировок предложенных проблем исследования к данной задаче. Ученикам предлагается выбрать одну формулировку. Затем идет обсуждение ответов учащихся.

3. Сбор фактического материала осуществляется:

• при изучении учебной или специальной литературы;
• при проведении экспериментов;
• при проведении всевозможных проб;
• при попытках решения частных проблем;
• при варьировании числовыми данными;
• при изменении взаимного расположения фигур или частей фигур;
• при изменении каких-либо параметров, которые имеются в исходной задаче.

Можно при помощи чертежей, пояснений задать направление проводимых проб, чтобы они не были хаотичными, лишенными какой-либо логики. Число испытаний не следует строго регламентировать, оно должно быть достаточным для получения фактического материала.

4. Систематизация и анализ полученного материала осуществляется:

• при помощи таблиц;
• при помощи диаграмм (линейных, столбчатых, круговых);
• при помощи схем;
• при помощи гистограмм;
• при помощи графиков;
• при помощи полигонов и т.д.

Они позволяют визуально определить необходимые свойства, связи и закономерности. Но прежде всего надо познакомить учащихся со всеми способами анализа и систематизации полученного материала.

На первых порах учитель может посоветовать какой из этих способов лучше выбрать, а затем, в идеале, ученики должны выбирать его сами.

5. Гипотеза выдвигается:

• при проведении испытаний;
• при систематизации фактического материала;
• в ходе выявления особенностей уже систематизированного материала.

Гипотез может быть несколько, не следует ограничивать их количество.

6. Проверка гипотез:

• проводится путем проведения еще одного испытания;
• результаты новой пробы сопоставляются с ранее полученным результатом;
• если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, тогда вероятность истинности гипотезы возрастает;
• если результаты расходятся, то гипотеза отклоняется или уточняются условия ее справедливости.

7. На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез, которые нашли свое подтверждение или уточнение.

Идея доказательства может возникнуть:

• в процессе выполнения испытаний;
• в процессе анализа систематизированного материала.

Ложность гипотезы можно доказать при помощи контрпримеров.

Данный этап у многих учеников вызывает затруднения, поэтому надо предусмотреть различные подсказки:

• схематически изобразить проблемную ситуацию;
• предложить чертеж с особыми пометками, которые подсказывают идею доказательства;
• акцентировать внимание на анализе систематизированного материала;
• приготовить карточки с наводящими вопросами;
• сделать заготовки доказательства с пропущенными записями, которые ученик должен заполнить.

Одна из важнейших задач общеобразовательной школы состоит в том, чтобы привить учащимся умения, позволяющие им активно включаться в творческую, исследовательскую деятельность. В связи с этим актуальной становится проблема разработки таких средств обучения и методики их использования, которые содействуют формированию и развитию исследовательских умений и навыков учащихся.

Исследовательскую деятельность учеников можно активизировать, сделать интересной и результативной, если использовать специально сконструированные учебно-исследовательские карты. Каждая карта содержит семь фрагментов, которые соответствуют семи основным этапам учебного исследования.

Остановлюсь на содержании таких карт. Вверху карты указывается тема. Затем пишутся названия этапов исследования и подсказки учителя:

1. “Задача”: в этом пункте учитель с учетом выше данных рекомендаций формулирует исследовательскую задачу, причем учитывает математические способности учеников, продвинутым ученикам предлагает более сложную задачу.
2. “Проблема”: в идеале этот пункт не содержит никаких записей, его заполняет самостоятельно ученик, но для некоторых учеников содержатся подсказки.
3. “Пробы”: здесь пишется алгоритм проведения экспериментов, количество проб не ограничено, ученики могут увеличить их количество, а могут и уменьшить, но следует напоминать ученикам, что количество проб должно быть достаточным для получения фактического материала.
4. “Таблица результатов”: в данном пункте находится таблица результатов исследования, форму которой может предложить учитель, причем ученик имеет право менять ее по своему усмотрению; ученику разрешается заменять таблицу на другие способы систематизации полученного материала, которые были указаны выше.
5. “Гипотезы”: этот пункт ученик заполняет самостоятельно, поэтому в карте он не содержит записей; гипотез может быть несколько.
6. “Проверка гипотез”: данный пункт может содержать подсказку учителя, а также в нем прописывается “заключение по проверке”, и количество гипотез.
7. “Доказательство (опровержение) гипотез”: пункт содержит значительную подсказку для менее продвинутых учеников; если учитель сочтет нужным, то может написать подсказки и для всех учеников.

Примеры некоторых учебно-исследовательских карт по теме “Элементы статистики и стохастики” для 9 класса представлены ниже.

Данные учебно-исследовательские карты помогают ученикам усвоить процедуру исследования. Причем эффективность усвоения зависит от той информации, которая в них находится. Карты можно составлять индивидуальные и групповые. Объем и сложность текстов могут варьироваться, могут вводиться дополнительные фрагменты.

Учебно-исследовательская карта по теме: “Статистические характеристики”.

1. Задача.

Если в числовом ряду 5; 17; 0; 26; 14 все элементы увеличить на одно и то же число, то как изменятся статистические характеристики данного ряда (среднее арифметическое, мода, медиана и размах)?

2. Проблема.

Как…

3. Пробы:

I. (увеличить на 2).

II. (увеличить на 5).

III. (увеличить на 10).

IV. (увеличить на 100).

V. (увеличить на 0,5).

VI. (увеличить на (-2)).

4. Таблица результатов.

5. Гипотезы.

1… 2… 3…

6. Проверка гипотез.

Пусть это число равно 0,13, то (результаты пиши в таблицу)…

Получится ряд:

Заключение по проверке:

Гипотеза 1

Гипотеза 2

Гипотеза 3

7. Доказательство (опровержение) гипотез.

Пусть это число m, тогда получаем следующий ряд чисел:

Среднее арифметическое — .., Мода — .., Медиана — .., Размах — …

Вывод:

В результате выполнения работы, данная карта выглядит у ученика так:

1. Задача: Если в числовом ряду 5; 17; 0; 26; 14 все элементы увеличить на одно и то же число, то как изменятся статистические характеристики ряда (среднее арифметическое, мода, медиана, размах)?

2. Проблема: Как влияет на изменение статистических характеристик увеличение элементов на одно и то же число?

3. Пробы.

I. 7; 19; 2; 28; 16 (увеличены на 2);

II. 10; 22; 5; 31; 19 (увеличены на 5);

III. 15; 27; 10; 36; 24 (увеличены на 10);

IV. 105; 117; 100; 126; 114 (увеличены на 100);

V. 5,5; 17,5; 0,5; 26,5; 14,5 (увеличены на 0,5);

VI. 3; 15; -2; 24; 12 (увеличены на (? 2)).

4. Таблица результатов.

5. Гипотезы.

1. Если в числовом ряду все элементы увеличить на одно и то же число, то статистические характеристики данного ряда не изменятся.
2. Если в числовом ряду все элементы увеличить на одно и то же число, то статистические характеристики данного ряда увеличатся на одно и то же число.
3. Если в числовом ряду все элементы увеличить на одно и то же число, то статистические характеристики увеличатся на то же самое число.

6. Проверка гипотез.

Пусть это число равно 0,13, то (результаты пиши в таблицу)

Получится ряд: 5,13; 17,13; 0,13; 26,13; 14,13.

Заключение по проверке:

Гипотеза 1 не получила подтверждение;

Гипотеза 2 не получила подтверждение;

Гипотеза 3 не получила подтверждение.

7. Доказательство (опровержение) гипотез.

Пусть это число m, тогда получаем следующий ряд чисел:

5 + m; 17 + m; 0 + m; 26 + m; 14 + m, тогда среднее арифметическое ; мода отсутствует; медиана 14 + m; размах (26 + m) – (0 + m) = 26.

Вывод: среднее арифметическое изменилось на m, мода не изменилась, медиана изменилась на m, размах остался прежним.

Учебно-исследовательская карта по теме “Вероятность события” (то, что написано курсивом заполнено учениками).

1. Задача: Даны отрезки длиной 2 см, 5 см, 6 см, 10 см. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу трех отрезков можно составить треугольник?

2. Проблема.

а) Как влияет длина отрезков на существование треугольника.

б) Как влияет длина отрезков на вероятность того, что из выбранных на удачу трех отрезков можно составить треугольник.

Пробы.

I.	2	5	6
II.	2	6	10
III.	2	5	10

4. Таблица результатов.

5. Гипотезы.

1. Из отрезков любой длины можно составить треугольник.
2. Из отрезков предложенных длин нельзя составить ни одного треугольника.
3. Из отрезков предложенных длин можно составить треугольник.

6. Проверка гипотез.

Заключение по проверке:

Гипотеза 1.

Гипотеза 2.

Гипотеза 3.

7. Доказательство (опровержение) гипотез:

а) проанализируй результаты таблицы;

б) проверь выполнение неравенства треугольника в каждом случае;

в) сделай вывод;

г) ответь на вопрос задач.

Учебно-исследовательская карта по теме “Статистические характеристики”

1. Задача.

а) На предприятии работают 100 человек: 99 служащих, каждый из которых получает по 1000 рублей в месяц, и директор, получающий 100000 рублей в месяц. Служащие потребовали повысить зарплату, так как практически все работники предприятия получают по 1000 рублей. Однако директор отказал им, заявив, что средняя зарплата на предприятии и так составляет около 2000 рублей. С точки зрения статистики кто прав, директор или служащие? (стр. 278, Алгебра 8 кл.)

б) Учителя нашей школы купили акции “ЛУКОЙЛ”. Четыре учителя купили по две акции, пять учителей купили по одной акции, один учитель купил три акции, два учителя купили по четыре акции, один учитель купил 100 акций. Каждый в среднем купил 10 акций.

в) Проанализируй данные РСХУ на 9 января.

“Сколько корова дает молока” газета “Холуницкие зори” 9. 01. 07 г.

Имени Кирова — 10,4 кг, “Восход” — 16,5 кг, “Быданово” — 15,8 кг, “Суворовское” — 14,7 кг, “Луч” — 9,7 кг, “Стариковский” — 7,4 кг, “Надежда” — 10,9 кг.

Среднее по району — 13,8 кг — лучше отражает реальную действительность.

Общий вопрос к задачам: что лучше отражает реальную действительность среднее арифметическое или медиана?

2. Проблема.

3. Пробы.

I ряд чисел:

II ряд чисел:

III ряд чисел:

4. Таблица.

5. Гипотезы.

1. (одинаково)
2. (медиана)
3. (среднее арифметическое).

6. Проверка гипотез.

Заключение по проверке:

Гипотеза 1.

Гипотеза 2.

Гипотеза 3.

7. Доказательство (опровержение) гипотез.

а) Сравните результаты таблицы с каждым членом ряда.

б) Сделайте вывод.

в) Ответь на общий вопрос к задачам.