Главными действующими лицами пьесы под названием «Процесс обучения» являются учителя и ученики, а завязкой этой пьесы служит единственное событие – передача информации от учителя ученику. Многие разведслужбы мира не использовали для передачи информации таких изощренных способов, как учителя. Знаменитые резиденты не скрывали информацию столь тщательно, как это делают некоторые ученики. Налицо факт: учитель является носителем информации, которую ученик не хочет или не может воспринять и применить.
Математика относится к очень сложным предметам. Ребенок не всегда понимает учебный материал, часто не видит связи математики с окружающей жизнью, испытывает во время обучения негативные эмоции.
Учителю нужно показать, как математика может быть использована учащимися в практической деятельности, в социуме, в конкретных психологически значимых ситуациях. Для этого и существуют те приемы и методы работы, о которых я хочу рассказать.
Они могут быть хороши для социально-гуманитарных или экономических классов, классов универсального профиля, элективных курсов, что важно в условиях реализации программы профильной школы, подходят и для внеклассной работы.
Очень интересным методом обучения являются моделирующие упражнения и игры1 . Предлагаю Вашему вниманию моделирующую игру, которая позволит повысить интерес учащихся к решению задач на совместную работу. Урок, проведенный таким образом – это своеобразная лаборатория, показывающая, как рождаются задачи. В этих задачах учащиеся сталкиваются с понятием «производительность труда».
Урок по теме: «Решение задач с помощью квадратных уравнений» (8 класс) состоит из нескольких этапов.
1 этап. Моделирующая игра.
Откроем две пиццерии. Каждый учащийся (всего их двое – по одному в каждой пиццерии) по определенной технологии за три минуты должен изготовить максимальное количество основ для пиццы. Это делается элементарно. Тетрадный лист складывается вчетверо, а затем из этой заготовки без использования дополнительной разметки, «на глазок», вырезаются круги максимально возможного диаметра (их получится четыре). Затем определяется производительность труда каждого работника (Количество изготовленных им пицц делится на время изготовления). Победитель награждается. При выборе работников пиццерии желательно, чтобы один из учеников был медлителен, а другой, напротив, – расторопен. Тогда производительность труда у них будет различной. Предположим, что производительность труда первого ученика – 2 пиццы в минуту, а второго – 3 пиццы в минуту. Затем устанавливается определенный заказ клиентов (желательно, чтобы количество пицц в заказе было кратно количеству изготавливаемых каждым участником (отдельно и вместе) пицц в минуту). Например, 30 штук. Далее выясняем, за какое время может выполнить заказ каждый работник: 30 : 2 = 15 (мин.), 30 : 3 = 10 (мин.), на сколько минут потребуется первому больше, чем второму: 15 – 10 = 5 (мин.), и сколько времени потребуется поварам на выполнение заказа, если они будут работать вместе: 30 : 5 = 6 (мин.)
2 этап. Составление задачи.
Затем формулируется задача: Два повара должны выполнить заказ и приготовить основы для пиццы. Первому повару на выполнение всего заказа потребуется на 5 минут больше, чем второму. Время, которое потребуется на выполнение заказа при совместной работе 6 минут. За какое время выполнил бы весь заказ каждый повар, работая отдельно.
3 этап. Решение задачи с помощью уравнения.
Пусть х (пицц) – изготавливает второй повар за одну минуту, тогда х + 1 (пицц) – изготавливает первый повар за 1 минуту. Примем всю работу за единицу. (1/х + 1/х+ 1) – часть работы, которую выполняют оба повара за 1 минуту. Получаем уравнение: (1/х + 5 + 1/х) * 6 = 1, откуда х2 – 7х – 30 = 0, х = 10 или х = –3 (не подходит по смыслу задачи). Второму повару потребуется 10 минут на выполнение заказа, а первому: 10 + 5 = 15 (минут). Ответ: 10 и 15 минут.
4 этап. Проверка на практике.
Можно проверить результат решения на практике. Но, во-первых, жаль затрачивать так много времени, во-вторых, скорее всего он не подтвердится. И вот почему.
- Человек – не машина. Его производительность труда зависит от многих факторов (усталость, уровень тренированности и обученности, психологическое состояние и т.п.). Ученик, который в первом случае был более медлителен, мог во второй раз выступить лучше. Более расторопный под «грузом ответственности», наоборот, сделать все медленнее.
- Ребята могли применить рационализаторские предложения, например, складывать по нескольку листочков вместе и уже из них вырезать кружочки. Производительность труда явно повысилась бы.
- При совместной работе они могли применить великое достижение – разделение труда. При этом каждый из них мог бы делать то, что у него получалось лучше. Достигается так же и рациональное использование средств производства (нужны уже только одни ножницы вместо двух), что приведет к снижению себестоимости продукции.
Описанные варианты имеет смысл проверить на практике! Времени это займет не много, а результат получается впечатляющий.
5 этап. Закрепление умения решать задачи на совместную работу.
6 этап. Творческое домашнее задание: составить самому и решить задачу на совместную работу. Красиво оформить задачу.
В сильном классе, с хорошим усвоением материала, после решения нескольких задач из учебника, можно рассказать учащимся, что не всегда увеличение числа работников хорошо для производства. И показать другое моделирующее упражнение, в котором оборудования для производства будет мало, и увеличение числа работников не приведет к увеличению производительности труда, но увеличит себестоимость продукции, т. к. каждому вновь принятому работнику нужно будет платить заработную плату, отчислять за него единый социальный налог.
Упражнение. Оставьте тех же двух участников за одним столом и приглашайте к ним в помощники новых игроков. Новые орудия труда не добавляйте. Место работы не расширяйте. Очень скоро станет ясно, что уже 5 игрок будет лишним, т.к. орудий труда на всех хватать не будет.
Очень перспективным направлением в работе является проектная деятельность учащихся. Я являюсь составителем элективного курса «Без математики – ни шагу!» (о роли математики в социально-экономической деятельности людей)2 . Данный элективный курс составлен таким образом, что в нем показано применение соответствующих знаний по математике для объяснения некоторых процессов в экономике, а так же проведения соответствующих расчетов. Например, проценты и формулы могут быть использованы для планирования личных сбережений и инвестиций. Учащиеся знакомятся с процентной ставкой банка, формулами простого и сложного процентов, учатся рассчитывать временную стоимость денег с учетом инфляции. После окончания изучения элективного курса учащиеся разрабатывают проект «Покупка в кредит». Вот основные разделы этого проекта:
- постановка цели – исследование возможностей совершения покупки, на приобретение которой пока нет денежных средств;
- изучение способов финансовых решений проблемы – взять деньги у родителей, получить желаемую вещь в подарок, экономить на карманных деньгах, заработать и накопить, сохраняя деньги в «банке», заработать и накопить, открыв счет в сбербанке; совершить покупку в кредит, выплачивать который нужно будет из заработанных средств;
- изучение вариантов трудоустройства – анализ положительных и отрицательных сторон того или иного выбора (не менее трех вариантов);
- виды кредитов;
- кредитные организации;
- кредитные риски;
- сроки погашения кредита;
- погашение кредита;
- виды обеспечения возврата кредита;
- выработка личной стратегии;
- имитация покупки в кредит:
1. Выбор необходимого товара. Соответствие цены и качества.
2. Выбор места приобретения товара.
3. Выбор вида и срока кредита.
4. Проведение необходимых расчетов по погашению кредита.
5. Рассмотрение альтернативного варианта совершения покупки (накопление денежных средств на счете в банке). Проведение необходимых расчетов с учетом темпов инфляции.
6. Финансовые издержки (сколько денежных средств затрачено дополнительно на оплату кредита, что кажется учащемуся более выгодным и правильным – покупка в кредит, или накопление денежных средств на счете в банке, а затем совершение покупки).
Учащиеся получают так же необходимые дополнительные разъяснения об основах трудового законодательства для несовершеннолетних и возрасте, начиная с которого они могут получить кредит.
Проект «Школа ремонта» может быть разработан учащимися 10 классов как творческое задание при изучении темы «Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда» и использован на уроках или во внеклассной работе в 5 классе при изучении темы «Прямоугольный параллелепипед». В проект имеет следующие разделы:
- фотографии жилых помещений;
- планы жилых помещений;
- каталоги отделочных материалов;
- прайсы с указанием цен на различные отделочные материалы;
- прейскурант стоимости услуг ремонтной фирмы;
- расчеты площадей отделываемых поверхностей;
- расчеты необходимого количества отделочных материалов;
- расчеты стоимости отделочных материалов;
- расчеты стоимости услуг ремонтной фирмы;
- расчеты общей стоимости ремонта.
Учащиеся пятых классов могут использовать материалы проекта для работы в группах при проведении деловой игры «Школа ремонта». Процедура проведения игры. Организуются фирмы для проведения ремонтных работ. Названия для фирм ребята должны придумать сами. Фирма «Нафаня» осуществляет оклейку стен обоями; фирма «Радуга» окрашивание стен и побелку потолков; фирма «Домовенок» настилает паркетные полы, а фирма «Комфорт» осуществляет отделку ванных комнат кафелем. Учитель выступает в роли заказчики. В этом случае пятиклассникам предоставляется только часть материалов проекта, разработанного старшеклассниками, а необходимые расчеты ребята осуществляют сами. Учитель может так же предоставить ребятам справки о том, как выполняются те или иные ремонтные работы.
Идея интеграции различных областей знаний при обучении школьников не является новой. Несколько лет назад я работа над методической темой «Элементы краеведения на уроках математики».
Предлагаю вашему вниманию некоторые задания с использованием краеведческого материала. Они могут быть самыми различными: математические диктанты; задачи; шифрованные задания; наглядные пособия по геометрии; использование на уроках исторических сведений об ученых, занимавшихся разработкой той или иной учебной темы; рефераты и доклады учащихся об известных учёных-математиках, работавших в родном городе.
Интересной формой работы являются математические диктанты.
Например, при изучении темы «Натуральные числа» в 5 классе учащимся предлагается записать цифрами числа, встречающиеся в тексте диктанта.
Первоначально диктант составляется учителем, а затем учащимся в качестве домашнего творческого задания предлагается самостоятельно составить текст диктанта.
Диктант, предложенный учителем:
Миллион лет назад, в конце третичного периода,
на территории, занимаемой ныне
Санкт-Петербургом, находились девственные леса и
протекали многоводные реки. Но в периоды
похолодания эта территория неоднократно
покрывалась материковыми льдами, которые
сползали со Скандинавского полуострова. Толщина
ледникового покрова достигала 1000 метров. Эпоха
великого оледенения продолжалась десятки тысяч
лет. Последнее отступление ледника началось 20 –
25 тысяч лет тому назад. Окончательно ледники
покинули эти места 12 тысяч лет тому назад.
После отступления ледника образовалось
ледниковое озеро. Около 10 – 7,5 тысяч лет тому
назад на месте нынешнего Балтийского моря
находился пресноводный бассейн – Анциловое
озеро. Нева с дельты, в очертаниях, близких к
современным, сложилась около 2500 лет тому назад.
Преобладающая ширина Невы 400–600 м, наибольшая
ширина Невы – 1000 – 1250 м, самое узкое место – 210 м у
мыса Святки. Преобладающая глубина 8–11 м,
наибольшая глубина – 24 м.
Диктанты, предложенные учениками:
- Первый слон в Петербург был приведен в 1714 году. Для слона был выделен годовой паёк сухого тростника (1500 пудов), пшена сорочинского (137 пудов), сахара (38 пудов), соли (45 пудов), а также выдавались шафран, корица, кардамон, и, кроме того, 40 вёдер виноградного вина и 60 ведер водки. В 1741 году из Персии в Санкт-Петербург прибыл караван слонов – их было уже 14.
- Великая Отечественная война явилась тяжелым испытанием для Ленинграда. 900 дней держали гитлеровцы город в блокаде. Они сбросили на него более 100 000 бомб и выпустили по нему 150 000 снарядов. В городе было разрушено более 3000 и сильно повреждено более 7000 жилых домов. Только от голода погибло более 64 100 человек.
Материалы для диктантов подбираются из книг по краеведению, туристических справочников и т. п. Содержание диктантов позволяет в первую очередь проявиться интересам учащихся, а так же – осуществить межпредметные связи с историей и географией. Данные обстоятельства особенно важны, т.к. дают ощущение комфортности на уроках математики особенно тем учащимся, которые испытывают затруднения при изучении точных наук. Такого рода задания делают востребованными знания учащихся, проявляющих интерес к гуманитарным и естественным наукам, позволяют этим детям проявить себя на уроке с положительной стороны, что повышает их самооценку и дает ощущение уверенности в своих силах.
Наиболее важной формой использования краеведческого материала на уроках математики, безусловно, являются задачи. Именно решение задач ведет к развитию способности самостоятельно и логически мыслить, учит строить математические модели реальных ситуаций, возникающих при практической трудовой деятельности людей. Решение задач – основной вид деятельности на уроках математики и, поэтому, интересное содержание задач делает актуальными для учащихся математические знания. «Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир»1.
Приведу несколько примеров задач с краеведческим содержанием.
Задача по теме «Круговые диаграммы». 5 класс
Химический анализ состава Медного всадника показал, что меди в него входит 90%, олова – 7,5%, цинка – 2,5%. Постройте круговую диаграмму, отражающую химический состав Медного всадника.
Задачи по теме «Масштаб». 6 класс
Задача 1. Длина Невского проспекта 4,3 метра. Он изображён на схеме в масштабе 1 : 33 000. Какова будет его длина на плане?
Задача 2. Найдите, есть ли ошибка на плане, если его масштаб 1:33000, а длина Каменноостровского проспекта 3,5 км?
Комментарий. Нужно измерить длину отрезка на плане. Далее возможны три способа решения.1 способ. Вычислить, какой должна быть длина отрезка и сравнить её с длиной на плане (9 см). 2 способ. Определить длину проспекта, используя план и его масштаб. Сравнить эту длину с реальной (3,5 км). 3 способ. Определить масштаб плана и сравнить его с масштабом, указанным на плане.
Задача 2 была составлена после того, как учащиеся попытались самостоятельно составлять задания по образцу задачи 1. Возникшая в процессе работы над задачей проблема позволила показать учащимся различные пути ее решения. Технология проблемного обучения является одной из наиболее эффективных и, в то же время, сложных. При выполнении этого задания можно предложить учащимся работу в малых группах с целью нахождения наибольшего числа решений данной задачи.
Математика находит применение в различных областях человеческой деятельности. Особенно наглядно это можно показать на уроках геометрии.
Далеко не все учащиеся в дальнейшем будут использовать полученные знания, применяя их непосредственно на практике. Однако, никому из них не повредит умение аргументировано и доказательно излагать свою позицию, уметь видеть красоту и гармонию в окружающем мире.
«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Герман Вейль (немецкий математик). В школьных курсах планиметрии и стереометрии изучаются такие темы как «Осевая симметрия», «Центральная симметрия», «Зеркальная симметрия». Архитектурные сооружения города Санкт-Петербурга, созданные великими зодчими разных эпох, дают множество примеров использования симметрии.
Привлечение наглядного материала на уроках геометрии не только позволяет школьникам лучше понять изучаемые темы, но и дает им эстетическое воспитание. Можно поручить учащимся, самостоятельно изготовить наглядные пособия и создать презентации. Это даст возможность проявить им свои творческие способности и побудит лучше узнать достопримечательности города. Слабоуспевающие по геометрии ученики к тому же получают шанс заработать хорошую оценку и проявить свои способности на нелегком для них уроке. Ощущение успешности крайне важно для формирования личности ребенка.
Формирование социальной компетентности на уроках математики может осуществляться через содержание заданий.
№ 1. Некто по состоянию здоровья вынужден сменить место жительства. Подходящие климатические условия только в трех островных государствах. Про них известно то, что показано в таблице.
Государство |
Курс местной валюты в у. е. |
Цена местной потребительской корзины (ден. ед.) |
Средняя зарплата (ед. в час) |
К |
1 |
240 |
8 |
L |
4 |
3000 |
120 |
N |
9 |
4800 |
150 |
Если считать, что при выборе страны решающий фактор – уровень жизни, то какую страну следует выбрать? (Это задание может быть использовано при изучении темы «Деление»).
В заданных странах потребительская корзина может быть оплачена соответственно за 240:8, 3000:120, 4800:150 часов труда, т.е. за 30, 25 и 32 часа, следовательно, правильно избрать страну L.
Еще в недавнем прошлом всем было известно имя Анатолия Кашпировского. Если отбросить мыль о подтасовке результатов его деятельности и провести несложные расчеты, то можно получить интересные результаты. Мы все видели по телевидению мешки с большим количеством писем от людей, которым помогло лечение Кашпировского. Но понятия «много» и «мало» относительны.
Например, на сеанс пришли 10 000 человек, после чего 200 человек заявили, что они выздоровели. 200 : 10 000 х 100 = 2 (%) от числа присутствовавших. С научной точки зрения такой результат может быть случайным. В медицине широко известен тот факт, что если одной группе испытуемых дают плацебо, а другой настоящее лекарство, то люди, у которых наступило улучшение состояния здоровья встречаются в обеих группах. (Это задание может быть использовано при изучении темы «Проценты»).
Через содержание заданий ученики знакомятся с различными аспектами жизни общества и готовятся к самостоятельной жизни.
Не бывает легкой математики. Преодоление трудностей формирует и развивает у учащихся морально-этические качества личности.
Решая сложные задания, для которых нет определенного алгоритма, учащийся формирует собственную самостоятельность и готовность решать сложные проблемы в реальной жизни. Важным так же является умение выполнять задания большого объема, сложные расчеты, требующие терпения и внимания. Это формирует такие качества, как сила воли, ответственность, добросовестность, умение доводить начатое дело до конца. Эти качества всегда вызывали уважение и ценились в обществе.
Однако, формируя личность ученика, мы не должны забывать о том, что помимо высоких морально-этических качеств, мы можем получить и «побочный эффект» в виде комплексов, неуверенности в себе и нежелания учиться. Понимая, что до конца избежать негативных последствий обучения не удается, учитель не перестает делать попытки помочь своим ученикам. В этом и заключалась главная идея моей статьи.
1 При подборе моделирующих упражнений и игр я использую следующее пособие для учителя: Майкл Уаттс, Сарапейдж Маккоркл и др. «Экономика для старших классов». Активные формы обучения, М.: МЦЭБО, 2003.
2 Математика. Программы. Разработки уроков. Методические материалы./Жигулев Л.А., Лукичева Е.Ю. – СПб., СМИО Пресс, 2006, с. 65 – 70.