Цели:
- ввести понятие касательной, точки касания,
- рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач в природе и технике.
Задачи урока:
Образовательные:
- Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности,
- Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.
Воспитательные:
- Развивать мышление и речь учащихся,
- Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии,
- Привитие интереса к математике.
Практические: сформировать умение строить касательную к окружности, рассмотреть примеры в природе и технике.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование:
- Карточки с заданиями,
- Циркуль, треугольник, линейка
- Мультимедийный проектор, слайды,
- Модель “Дуб и кот”, маркер.
Оформление кабинета:
- Рисунки детей “У лукоморья дуб зелёный…”
- Плакат с высказыванием Козьмы Пруткова
“Наука изощряет ум; ученье вострит память”
Ход урока
I. Организационный момент. (1мин.)
Постановка целей урока.
Ребята этот урок мы посвятим изучению свойства касательной к окружности, научимся строить её. Рассмотрим применение касательной для построения кривых.
II. Повторение изученного материала. (4минут)
1) У каждого ученика карточка с копиркой.
Учащиеся сдают листочки с ответами.
Учитель зачитывает предложение полностью, ученик у которого ответ неверный ставит “минус”, верный – “плюс”.
III. Подготовка к восприятию нового материала. (5минут)
В тетради начертить окружность произвольного радиуса с центром в точке О, провести три прямые, так чтобы получилось разное количество общих точек у прямой и окружности.
Один ученик выполняет задание у доски.
 |
Обозначим прямые и полученные точки: a,b,c и С,В,H. Повторить d<r 2 общие точки d>r нет общих точек d=r 1 общая точка |
IV. Объяснение нового материала. (7минут)
На этом уроке мы рассмотрим свойства окружности и прямой c.
1. Работа с учебником.
На страница 159 найти и прочитать определение касательной к окружности.
Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Назвать на рисунке точку касания и прямую касательную к окружности.
(C- точка касания, прямая с – касательная к окружности)
Какими же свойствами обладает эта прямая? Чтобы ответить на этот вопрос -
проведите отрезок соединяющий центр
окружности и точку касания, измерьте
получившийся угол. (90
)
- Что можно сказать о касательной и радиусе? - Они перпендикулярны.
2. Прочтите теорему.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Доказательство разбирается в ходе беседы.
Учащиеся делают новый чертёж.
Допустим, что прямая р не перпендикулярна к радиусу ОА(На рисунке сделать построение другим цветом). Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с радиусом окружности.
Назовите перпендикуляр к прямой р ОВ
Наклонную ОА
-Расстояние от точки О до прямой р , это ОВ, меньше радиуса окружности ОА, который в данном случае будет являться наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р – перпендикуляр, а, как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же прямой, т. е. ОВ<ОА.
- Сколько тогда общих точек у прямой р и окружности? (2)
- Может ли прямая р быть касательной к окружности? Почему?
Т. к. прямая р имеет две общие точки с окружностью, то она не может бать касательной по определению.
- Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу окружности? О чём это говорит?
Предположение не верно, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу ОА.
3. Теперь запишем это доказательство в тетради.
Слайд с доказательством. Приложение №2. Слайд 1.
Дано: окр. (О;r=ОА), р-касательная A к окружности, А-точка касания.
Доказать: р
ОА.
Доказательство:
Предположим, что рОА, тогда ОА наклонная к прямой р, а ОВр, т. к. ОВ<ОА, то
расстояние от центра окружности О до прямой р
меньше радиуса, следовательно прямая р и
окружность имеют две общие точки, что
противоречит условию: прямая р – касательная, т.
о. р ОА.
V. Закрепление. (4минуты)
2. Гимнастика для глаз. (2минуты)
- Глубоко вдохните, зажмурив глаза как можно сильнее. Напрягите мышцы шеи, лица, головы. Задержите дыхание на 2-3 секунды, потом быстро выдохните, широко раскрыв на выдохе глаза. Повторить 5 раз.
- Закройте глаза, помассируйте надбровные дуги и нижние части глазниц круговыми движениями - от носа к вискам.
- Закройте глаза, расслабьте брови. Повращайте глазными яблоками слева направо и справа налево. Повторить 10 раз.
- Поставьте большой палец руки на расстоянии 25-30 см. от глаз, смотрите двумя глазами на конец пальца 3-5 секунд, закройте один глаз на 3-5 секунд, затем снова смотрите двумя глазами, закройте другой глаз. Повторить 10 раз.
- Положите кончики пальцев на виски, слегка сжав их. 10 раз быстро и легко моргните. Закройте глаза и отдохните, сделав 2-3 глубоких вдоха. Повторить 3 раза.
3. Построение касательной. (4 минуты)
Ученик, подготовленный заранее, объясняет построение касательной к окружности в заданной точке. Учащиеся выполняют построение в тетради.
Дано: окружность, О - центр, А - лежит на окружности.
Построить касательную к окружности в точке А.
Построение:
- ОА – прямая.
- От точки А отложим О
А=ОА. - Из точек О
и О
проведём окружности, радиусом большим ОА. - Через точки пересечения окружностей проведём прямую а.
Прямая а будет касательной по определению.
4. Построение эвольвенты. (10 минут)
Ученик читает отрывок из “Руслана и Людмилы”
У Лукоморья дуб зелёный
Златая цепь на дубе том.
И днём и ночью кот учёный
Всё ходит по цепи кругом.
Нам эти строки знакомы с детства, мы никогда не задумывались над тем, какую линию вычерчивает кот.
Как вы думаете, что это за линия? (Чаще всего ученики отвечают – окружность)
Два ученика, выходят к столу, на котором расположен ватман, макет дуба и небольшой котёнок (мягкая игрушка), к которому прикреплен маркер, привязанный к “дубу”.
Один ученик придерживает “дуб”, а второй передвигает игрушку “по цепи кругом”. На ватмане вычерчивается кривая.
Учитель показывает слайды построения эвольвенты. Приложение №2. Слайд 3.
Таким образом для построения этой кривой надо хорошо уметь строить касательную в заданной точке.
Ученикам раздаются карточки на которых написан порядок построения эвольвенты. Приложение №1.
После выполнения построения - лучшие работы оцениваются.
С этой же кривой связана и биология . (2 минуты)
1. Ученик рассказывает о берёзовом долгоносике, демонстрируя разрез листа и сворачивает его.
2. Ученик рассказывает о практическом применение касательной к окружности.
Ковшовая турбина. Приложение №2. Слайд 6.
КОВШОВАЯ ГИДРОТУРБИНА (ПЕЛТОНА ТУРБИНА)
Гидротурбина, у которой вода (пар) на лопасти (ковши) рабочего колеса поступает через сопла по касательной к окружности, проходящей через середину ковша. Применяют при напорах св. 500 м. Мощность до 110 МВт. Патент на ковшовую гидротурбину в 1889 получил американский инженер А. Пелтон.
VI. Подведение итогов.
Оценки выставляются с учётом диктанта, активности на уроке, за построение эвольвенты. Рефлексия. Приложение №1.
VII. Домашнее задание.
П. 69, вопросы 1-4, №634, решить задачи по готовым чертежам, дополнительную задачу.
Литература:
- Н. Ф. Гаврилова Поурочные разработки по геометрии 8 класс. Москва “ВАКО”, 2005.
- А. Азевич. Кривые мудрого жучка.
- Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. “Тезис”, Екатеринбург, 1994
- С. Акимова. Занимательная математика. Нескучный учебник. Тригон, С-Петербург,1997.