Цель: знакомство с теоремой синусов, ее приложениями и применением.
- 1 этап. Организационный. Определение целей и задач урока.
- 2 этап. Подготовка к изучению нового материала.
Опрос учащихся.
Задание 1. Составить рассказ о синусе некоторого угла.
- определения синуса угла;
- значения синуса для углов от 00 до 1800;
- свойства синусов равных углов, углов от 00 до 900;
- смежных углов.
Задание 2. Найдите длину неизвестного отрезка x.
Комментарий. Учащиеся находят длину неизвестного отрезка, пользуясь подобием треугольников. Цель этого задания: показать другой метод. Вычислить синус общего угла из разных треугольников и приравнять эти значения. Значение x найти из уравнения.
После решения подводится итог.
Методы вычисления неизвестного отрезка.
- применение подобия треугольников;
- вычисление тригонометрической функции общего угла из разных треугольников и уравнивание этих значений.
Обсуждение выполнения домашнего задания.
Задача 1. В треугольнике АВС 
С =900
, 
А=300,
ВС=1.
Найти: 
, 
, 
, R .
Задача 2. В треугольнике АВС 
А=300,
ВD-высота, 
DBC=600, ВС=2.
Найти: , , , R .
Задача 3. В остроугольном треугольнике АВС АС= b, ВС= a.
Доказать, что bsinA = asinB.
Задача 4. В тупоугольном треугольнике АВС АВ= с, ВС= а.
Доказать, что аsinC = сsinA.
Комментарий. При обсуждении
анализируются результаты задач 1 и 2, из
результатов задач 3 и 4 делается вывод, что 
=
, 
=
, т.е.
стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
Задача 5. В треугольнике АВС АВ = с, R – радиус описанной около треугольника окружности. Найдите sinC.
Рассмотрите случай, когда
А –
прямой, 
А – острый и
А – тупой.
1) Если 
А=900 , то ВС=2R , т.е. sinC=
.
2) Если 
А-острый. Выполним дополнительное
построение. Пусть BD-диаметр, тогда
C=
D и
треугольник АВD - прямоугольный , т.е. sinС=sinD=
3) Если 
А-тупой.(рассматривается аналогично
случаю 2)
Комментарий. В результате обсуждения
делается вывод, что 2R=
.
3 этап. Доказательство теоремы.
Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и это отношение равно удвоенному радиусу окружности,описанной около этого треугольника.
Теорема практически доказана.
Рассмотрим другой способ доказательства.
Дано: 
АВС, АВ=с, ВС=a, АС=b
Доказать: 
=
=
= 2R
Докажем,что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
SАВС=
аbsinC (1)
SАВС= 
bcsinА (2)
SАВС=
acsinВ (3)
Из (1) и (2) следует,что asinC=csinA ,т.е.
=
(4).
Из (1) и (3) следует, что bsinC=csinB ,т.е. 
= (5).
Сравнивая равенства (4) и (5), получаем ==(6).
Докажем, что хотя бы одно из этих отношений равно 2R.
Пусть О-центр описанной окружности около треугольника АВС, тогда ОА=ОС=R,
AD=DC=
.По
свойству вписанного угла имеем, что 
DOC.
Из прямоугольного треугольника DOC DC=OCsinDOC,т.е. 
b=RsinB или
2R=
.
Пользуясь равенством (6) делаем вывод, что === 2R.
Теорема доказана.
4 этап. Решение вычислительных задач.
Задача 1. В треугольнике АВС 
0, 
0,
ВС=4
.Найти
АС.
Задача 2. В треугольнике АВС 
=900,
CD- биссектриса, 
0, АС=
. Найти AD.
Задача 3. В треугольнике АВС 
=100,
=200,
АС=10 см. Найти R.
Задача 4. Треугольник АВС вписан в
окружность R=2
, 
=800, 
= 400. Найти АС.
5 этап. Практическое применение теоремы синусов.
1.Нахождение расстояния до недоступного предмета.
Задание.
а) Опишите картинку и составьте математическую модель для решения задачи.
б) Составьте алгоритм решения задачи.
2.Определение высоты недоступного предмета.
Задание.
а) Опишите картинку и составьте математическую модель для решения задачи.
б) Составьте алгоритм решения задачи.
6 этап. Подведение итогов о применении теоремы синусов.
Вопросы.
1. Какие типы задач позволяет решить теорема синусов?
Примерный ответ:
- находить сторону треугольника, если даны два угла и сторона треугольника;
- находить угол треугольника, если известны две стороны и угол, прилежащий к одной из них;
- находить радиус окружности, описанной около треугольника и т.д.
2. Всегда ли это бывает безпроблемно? Приведите пример.
Пример. Изменим условие задачи 1 с тем, чтобы воспользоваться результатами задачи:
В треугольнике АВС 
=300, АС=8
, ВС=4
.
Найдите 
.
Комментарий. В результате вычисления
значения синуса угла В получается два значения,
т.к. синусы смежных углов равны. Какой ответ
выбрать помогают числовые значения данных
сторон АС
А как поступить в другом случае?
Решите вспомогательную задачу:
- Постройте треугольник по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из них.
- Сколько решений имеет задача? Как это определить сразу по числовым значениям данных сторон? ( домашнее задание)
7 этап. Подведение итогов. В чем состоит “коварство” теоремы синусов.