Урок-исследование в 11-м классе по теме "Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек"

Разделы: Математика

Не существует сколь – ни будь достоверных тестов на одаренность, кроме тех, которые проявляются в результате активного участия хотя бы в самой маленькой поисковой исследовательской работе.

А.Н.Колмогоров.

Раздел программы: квадратные уравнения с параметрами.

Тема урока: Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек.

Форма урока: урок-исследование.

Подготовка кабинета: на доске схема таблицы для оформления результата исследования, план проведения урока, высказывание А.Н.Колмогорова.

Объект исследования: квадратные уравнения с параметрами.

Предмет исследования: корни квадратного уравнения с параметрами.

Оборудование: кодоскоп, карточки.

Цели урока (для учителя):

  1. Развитие исследовательских умений, навыков самостоятельной работы.
  2. Углубить знания учащихся по этой теме.
  3. Воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения работать в коллективе.

Цели урока (для ученика):

  1. Закрепление знаний по теме: “Квадратные уравнения с параметрами”.
  2. Учиться навыкам исследовательской деятельности, самостоятельно добывать знания.
  3. Получить таблицу алгоритмов, которую будут использовать при решении различных заданий с параметрами.

Задачи урока:

  1. Воспитательные: развитие познавательного интереса у учащихся при исследовательской работе, уверенности в собственных силах.
  2. Развивающая: развитие приемов умственной деятельности (анализ, сравнения, обобщение).

Организация работы на уроке:

- класс разделен на четыре группы по желанию, в каждой группе выбран руководитель;

- каждый ученик получил заготовки таблицы и карточки с заданиями.

Ход урока

I. Вводная часть (2 минуты)

Решение многих задач с параметрами так или иначе связано с квадратным трехчленом, особенно с существованием корней и их расположением, т.е. дано квадратное уравнение с параметрами и поставлены условия расположения его корней относительно заданных точек.

Требуется определить, при каких значениях параметров корни данного уравнения удовлетворяют поставленным условиям.

II. Проверка знаний учащихся.

1. Руководители групп проверяют знания теории по теме: “Квадратное уравнение” в виде теста (задание каждой группе дает учитель).

  1. Квадратным уравнением называется уравнение вида … (ax2+bx+c=0, где a0)
  2. Записать формулу дискриминанта квадратного уравнения ax2+bx+c=0, где a0 … (D=b2-4ac)
  3. Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле …
  4. Если x1 и x2 – корни уравнения ax2+bx+c=0, то x1 + x2 = , x1x2 =
  5. Координаты вершины x0= , y0=
  6. Уравнение имеет 2 корня … D>0
  7. Уравнение имеет 1 корень … D=0
  8. Уравнение не имеет корней … D<0

Руководители группы собирают листы с выполненными заданиями, проверяют правильность выполнения, оценивают работы и выставляют оценки в листы учета знаний.

2. С помощью кодоскопа задаются вопросы:

При каких условиях уравнение ax2+bx+c=0, где a?0 имеет:

a) два корня одинакового знака;

b) два корня разного знака;

c) модуль положительного корня больше модуля отрицательного корня;

d) модуль отрицательного корня больше модуля положительного корня.

Ответы записываются учащимися на листочках, руководители групп оценивают и выставляют оценки в имя ученика.

Ответ записан на доске.

а) б) в) г)

Изучение новой темы.

Понятия урока-исследования:

1. Проблема:

исследовать взаимное расположение корней квадратного уравнения общего вида и составить таблицу, которую можно использовать для решения заданий с параметрами.

2. Цели исследования:

а) развитие исследовательских умений, навыков самостоятельной работы.

б) воспитание познавательного интереса к математике.

в) воспитание наблюдательности, способности к коллективной работе.

Задача:

провести анализ взаимного расположения корней квадратного уравнения с параметрами в зависимости от параметров.

4. Объект исследования. Квадратное уравнение с параметрами.

5. Предмет исследования. Корни квадратного уравнения общего вида.

6. Методы. От общего к частному. При каких значениях параметра?

7. Результат. Оформление таблицы.

8. Использование результата. При решении задач, уравнений и неравенств с параметрами.

Учитель. Рассмотрим четыре задачи на расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек. Каждая группа получит одну задачу, обсудит ее решение и результат запишет на доске. На выполнение этого задания отводится 10 минут.

Учитель раздает группам задания и учащиеся приступают к работе.

Задача 1. При каких значениях а оба корня уравнения больше 1?

Задача 2. Для каких действительных значениях а квадратное уравнение имеет один корень больше 3, а другой меньше 2?

Задача 3. При каких значениях а корни уравнения принадлежат интервалу (-1;5)?

Задача 4. Найти все те значения параметра с, при которых оба корня квадратного уравнения действительны и меньше, чем -1.

После обсуждения задач руководитель группы делает запись вывода на доске и оценивает своих одногруппников.

С помощью кодоскопа на доску проектируются правильные решения.

Задача 1

Задача 2

Ответ: (2;5)

Задача 3

1)

2)

-2*2х+1-3=0

-4х-2=0

Задача 4

а=1>0

т.е.Решая систему, находим с>1

Ответ:

Учитель. Ребята, мы сравним ваши решения с готовыми ответами и заметим, что были допущены ошибки и неточности. Такие задания трудные, а чтобы научиться хорошо решать их, нужно вывести алгоритм решения.

Учитель дает задание группам.

Исследовать расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек. x1 и x2 – корни, m и M – числа.

№п/п I II III IV
1 x1<x2<M m<x1<x2 x1<m<x2 m<x1<M<x2
2 m<x1<M<x2 x1<m<M<x2 m<x1<x2<M x1<m<x2

Учащиеся обсуждают задания, строят рисунок и выводят алгоритм. Руководители групп свои результаты фиксируют в таблице на доске, доказывают правильность своих выводов. После проверки все учащиеся заполняют свои таблицы. Руководители групп оценили своих одноклассников. Результат - Таблица (1).

Использование результата.

Учитель. Теперь не нужно каждую задачу решать, можно использовать составленную по результатам исследования таблицу. Давайте посмотрим, как табличный алгоритм поможет нам исследовать расположение корней относительно точек.

IV. Домашняя работа

  1. Найти все значения параметра а, для которых оба разных корня уравнения x2 + x + a = 0 будут больше, чем а.
  2. При каком значении а, оба корня уравнения x2 – 2ax + a2 – 1 = 0 заключены между 0 и 4?
  3. При каких значениях а, точка 1 лежит между двумя корнями уравнения x2 + 2(a - 1)x + 2a – 1 = 0?
  4. При каких а, корни уравнения (1 + a)x2 – 3ax – 4a = 0 больше 1?
  5. При каких значениях, а корни уравнения (a - 3)x2 – 2ax + 6a = 0 а) положительны; б) таковы, что x1< -1 <x2<1?
  6. При каких значениях, а корни уравнения (2a + 7)x2 – (6 – 4a)x + 2a = 0 положительны?

Подведение итогов урока

Учитель. Подведем итог урока. Как вы думаете, достигли ли мы цели урока? Учащиеся высказали свое мнение об уроке, о том, что цели достигли, что результатами выводов (таблицей) будут пользоваться при исследовании расположения корней относительно заданных точек.

На этом уроке учащиеся сами добывали знания, вывели правила для решения задач. Руководители групп оценили работу учащихся в своих группах. Учитель поблагодарил учащихся за активную работу на уроке.