Занятие элективного курса по математике "Координатно-параметрический метод решения уравнений с параметрами"

Кириллова Светлана Михайловна

Разделы: Математика

Цель урока:

повторить и уточнить свойства модуля;
познакомить учащихся с решением некоторых типов уравнений, содержащих модуль с координатно-параметрическим методом;
упражнять в решении уравнений с параметрами.

Метод обучения: беседа, объяснение, письменные упражнения.

Ход занятия

I. Повторение и устные упражнения.

Дайте определение модуля числа.
Дайте геометрическое истолкование модуля.
Может ли быть отрицательным значение суммы 2+ |х| ?
Может ли равняться нулю значение разности 2|х| - |х| ?
Как сравниваются два отрицательных числа?

II. Объяснение нового материала. Лекция.

При решении задач с параметрами наряду с аналитическими методами достаточно эффективно применяется метод аналитической геометрии – координатный метод Декарта.

Решение данным методом уравнения, содержащего параметр, приводит к необходимости рассмотрения на координатной плоскости однопараметрического семейства линий и связан с построением множеств и графиков функций.

Поэтому иногда этот метод относят к графо-аналитическим методом.

Можно ввести понятие координатно-параметрической плоскости или , где - координата, - параметр, и построить координатно-параметрический метод (КП-метод) решения широкого класса задач с параметрами.

1. Координатно-параметрический метод (КП-метод). Пусть на плоскости даны две взаимно перпендикулярные с общим началом (точкой О) числовые оси. Одну из них () назовем координатой; другую () – параметрической, а плоскость ( или ) – координатно-параметрической или КП-плоскостью.

Метод решения задач с параметрами, использующий КП-плоскость, назовем координатно-параметрическим, или КП-методом.

Он основан на нахождении множества всех точек КП-плоскости, значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи условию (соотношению).

Если указанное множество точек найдено, то можно каждому доступному значению параметра = const поставить в соответствие координаты точек этого множества, дающие искомое решение задачи, или указать те значения параметра, при которых задача имеет решения.

2. Решение КП-методом уравнений с параметрами. Рассмотрим уравнение

F() = 0, (В.1)

где F() – некоторая функция переменной и числового параметра .

Пусть на КП-плоскости найдено множество всех точек, значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют рассматриваемому уравнению. Может оказаться, что при любом доступном значении параметра уравнение решений не имеет (O), либо для некоторых значений параметра O или уравнение имеет конечное число решений, или бесконечное множество.

Записывая ответ, поставим в соответствие каждому допустимому фиксированному значению параметра значения искомой величины -- координаты соответствующих точек найденного множества.

Отметим два частных случая.

1. Координата есть функция параметра :

= f(), (В.2)

неявно заданная уравнением (В.1). На КП-плоскости с горизонтальной параметрической осью множество всех точек, значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют уравнению (В.1), представляет собой график функции (В.2), где роль аргумента функции играет параметр.

2. Параметр есть функция координаты :

= (), (В.3)

неявно заданная уравнением (В.1). В этом случае можно рассматривать КП-плоскость с вертикальной параметрической осью и интерпретировать множество всех точек, значения координаты и параметры каждой из которых удовлетворяют уравнению (В.1), как график функции (В.3), где роль аргумента функции играет координата.

Следует отметить, что в рассматриваемом КП-методе центральное место занимает нахождение множества всех точек КП-плоскости, определяемых уравнением (В.1)

Более просто обстоит дело, когда левой частью уравнения (В.1) являются многочлены первой или второй степеней. Так в курсе аналитической геометрии доказывается, что уравнения вида

Р() = 0, (В.4)

где Р() – многочлен второй степени относительно и , определяет на КП-плоскости линии: эллипс, гиперболу, параболу или пару прямых (пересекающихся, параллельных или сливающихся в одну).

Например, на КП-плоскости уравнения

определяют соответственно окружность, гиперболу и параболу, а уравнение

определяет пару пересекающихся (взаимно перпендикулярных ) прямых.

Пример 1. Для каждого значения параметра а решить уравнение F

Решение. Перейдем от неявного к явному заданию функции и, воспользовавшись определением абсолютной величины (модуля) числа, заменим уравнение равносильной ему уравнением:

I. .

II. <0.

На координатно-параметрической плоскости (КП-плоскости) хОа с горизонтальной параметрической осью Оа множество всех точек (х; а), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют полученной совокупности смешанных систем, представляет собой изображенный на рис. 1.1 график функции х = | а |, аргументом которой является параметр а.

Точки КП-плоскости хОа, значения координаты и параметра каждый из которых удовлетворяют смешанной системе I, расположены на части прямой х = а, находящейся в полуплоскости а > 0 с границей а = 0 (на рис. эта полуплоскость заштрихована), то есть на луче с началом х = 0, а = 0 и направлением вдоль биссектрисы первой четверти КП-плоскости.

Аналогично, точки КП-плоскости хОа, значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют смешанной системе II, расположены на части прямой х = -а, находящейся в полуплоскости а <0 (на рис. 1.1 эта полуплоскость заштрихована), то есть на луче с началом в точке х = 0, = 0 и направлением вдоль биссектрисы второй четверти КП-плоскости.Следовательно, каждому значению параметра а соответствует одно-единственное значение координаты х, а именно, если а < О, то х = -а, если а = 0, то х = 0, если а > О, то х = а. На рис. 1.16 то же множество изображено на КП-плоскости аОх с вертикальной параметрической осью Оа. Каждая из прямых семейства а = const пересекает изображенное множество в точке с координатой х, определяющей решение исходного уравнения, а именно, если а = сonst < 0, то х = - а, если а = соnst = 0, то х = 0, если а = соnst > 0, то х = а, то есть получаем тот же самый результат, что и в первом случае.


рис 1.1а

Ответ.

если а < 0, то х = -а;

если а = 0, то х = 0;

если а > 0, то х = а.

Пример 2. Для каждого значения параметра а решить уравнение |х|+||=1.

Решение. Изобразим на КП-плоскости хОа множество всех точек (х; а), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют заданному уравнению.В первой четверти КП-плоскости при х > 0, а > 0 уравнение принимает вид х + а = 1.

Значит, это множество в первой четверти изображается отрезком прямой х - 1 - а, а следовательно в силу симметрии относительно осей Ох и Оа искомое множество на всей КП-плоскости представляет собой контур квадрата (см. рис. 1.3).

Ответ. Если а < —1, то х ЄO; если а = -1, то х = 0;

если -1 < а < О, то х = -1 - а, х = 1 + а; если 0 < а < 1, то х = -1 + а, х = 1 - а;

если а =1, то х = 0; если а > 1, то х ЄO.

рис.1.4

Пример 3. Для каждого значения параметра а решить уравнение

\х + а\ + |х - а\ = 2.

Решение. На КП-плоскости хОа прямые х = -а и х = а пересекаются в точке О и разбивают КП-плоскость на четыре “частичные” области I-IV . Рассмотрим исходное уравнение в каждой из этих областей.

I. При < х < уравнение примет вид

II. При > , уравнение примет вид

III. При < уравнение примет вид

IV.При х< уравнение примет вид

Следовательно, на КП-плоскости множество всех точек , значения координаты х и параметра каждой из которых удовлетворяют рассматриваемому уравнению, представляет собой контур квадрата с центром в точке О и сторонами, параллельными осями и

(см.рис 1.4).

Ответ: если <-1, то Є O; если то -1;

если -1<<1, то если то -1; если >1, то Є O.

Пример 4. Для каждого значения параметра решить уравнение 2|х| + |х-1| =.

Решение. Применяя метод “частичных областей” и определения абсолютной величины решением данного уравнения является совокупность трех систем:

II.

III.

На КП-плоскости решением рассматриваемого уравнения в первой частичной области (I): х<0 (полуплоскости) является луч х=, во второй области (II): 0?х?1 (полосе) – отрезок прямой , в третьей области (III): х>1 (полуплоскости) – луч . Используя решение на КП-плоскости, нетрудно записать ответ, поставив в соответствие каждому значению параметра значение на полученной ломаной линии.