Открытый урок по теме: "Вычисление вероятности события по классическому определению с помощью формул комбинаторики"

Цели урока:

• отработка навыка решения задач на вычисление вероятности по классическому определению
• отработка умения правильно определять тип выборки и применения соответствующей формулы
• развитие внимания и логического мышления
• воспитание ответственности за свои решения и уважения точки зрения окружающих
• воспитание коммуникативных качеств

Ход урока

1. Оргмомент. Вводное слово учителя.
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Калейдоскоп формул.
4. Разбор решенных задач.
5. Решение задач, предложенных учителем, работа в группах сменного состава.
6. Проверка знаний учащихся.
7. Подведение итогов. Выставление оценок.
8. Домашнее задание.

Комментарий автора:

Данный урок проводится непосредственно после изучения темы “Понятие события и вероятности событий”. “Комбинаторика”. Для успешного проведения урока учащиеся должны обладать следующими знаниями и умениями:

• знать понятие случайного события и его виды (достоверное и невозможное, совместные и несовместные события)
• знать понятие полной группы событий и пространства элементарных исходов
• знать схему выборок с возвращением и без возвращения, с повторением и без повторения и знать соответствующие формулы для вычисления комбинаторных объектов
• уметь вычислять факториалы и проводить действия с ними
• уметь вычислять сочетания (с повторением и без повторений), размещения (с повторением и без повторений), перестановки (с повторением и без повторений)
• знать основные свойства сочетаний и уметь применять их на практике.

Этот урок можно проводить и рамках учебного предмета “Алгебра” в среднем звене, а также в рамках курса по выбору в 9 классе, на элективных предметах в 10-11 классе, а также в средних специальных учебных заведениях при изучении математических дисциплин.

1. Оргмомент. Вводное слово учителя.

На этом этапе урока учитель знакомит учащихся с темой урока, с целями урока и объясняет ход урока. Необходимо познакомить учащихся с особенностями оценивания на уроке.

Оценка, выставляемая на уроке – рейтинговая. Это значит, что на каждом этапе урока учащиеся зарабатывают баллы, которые вносятся в карточку оценивания. В конце уроков по общей сумме баллов выставляется оценка. Кроме основных баллов, учащиеся зарабатывают бонус-очки за:

• выполнение дополнительных заданий
• досрочное правильное решение
• творческие задания

В начале урока каждый учащийся получает карточку оценивания предлагаемого образца:

Повторяем определения.

В начале урока на доске чертится схема (сначала с пустыми графами), которая заполняется по мере повторения материала:

Схема 1

См.

Приложение 1.

Приложение 2.

Проводится фронтальный опрос учащихся. За каждый правильный ответ учащийся ставит себе в карточку балл по указанию учителя.

Вопросы, предлагаемые учащимся:

1. Что называется случайным событием? Приведите примеры случайных событий.
2. На какие виды делятся события по возможности их совместного наступления? Приведите примеры совместных и несовместных событий.
3. На какие виды делятся события по степени достоверности. Приведите примеры достоверных и невозможных событий.
4. На какие виды делятся события по вероятности их наступления. Приведите примеры равновозможных и неравновозможных событий.
5. В каком случае события образуют полную группу событий? Приведите пример.
6. Что называется пространством элементарных исходов? Приведите пример события и опишите его пространство элементарных исходов.
7. Какое исход называется благоприятствующим наступлению события А? Приведите пример.
8. Дайте классическое определение вероятности.
9. Чем отличаются выборки с возвращением и без возвращения. Приведите пример каждой из них.
10. Чем отличаются выборки упорядоченные и неупорядоченные. Приведите пример каждой из них.
11. Опишите условие применения различных комбинаторных формул.

3. Калейдоскоп формул.

На этом этапе учащиеся заполняют формулами последнюю строку схемы. Работа выполняется в тетради. Затем производится взаимопроверка, сверяя результаты работы с правильными ответами, написанными на доске. Ответы на доске открывает учитель. За каждую правильную формулу – плюс один балл в рейтинговую оценку.

4. Найди ошибку.

Учащимся предлагаются карточки с задачами и вариантами их решений. Необходимо:

1. Найти ошибку в решении.
2. Объяснить причину ее появления.
3. Предложить правильное решение.

За каждую найденную и исправленную задачу учащийся получает балл в рейтинговую оценку.

Варианты задач с ошибками и правильными решениями см. Приложение 1.

5. Решаем задачи сами.

Данный этап урока можно организовать как работу в группах сменного состава. Сначала класс разбивается на 4 группы, каждая группа получает свою задачу на применение определенной формулы. Например, группа №1 получает задачу на сочетание без повторения, группа №2 – на размещение без повторения, группа №3 – на сочетания с повторениями, группа №4 – на размещения с повторениями. Группа не знает заранее тему своей задачи. Группе дается 5 минут для обсуждения и решения задачи. Решение необходимо записать в тетрадь. После этого учитель проверяет правильность решения и ставит отметку в бланк решения в соответствующей графе:

Затем из групп создаются пары сменного состава, в которых должны быть представители из разных групп. Необходимо, чтобы каждый учащийся на этом этапе встретился с представителем каждой группы. Каждая пара обменивается задачами, решает эти задачи и проверяет друг у друга решения. Сделав в бланке отметку о решении, пара меняется по составу. Чтобы упростить поиск пары, можно карточки сделать разного цвета по темам задач, тогда отыскать пару будет легче. На решение дается 5 минут. В результате каждый учащийся должен решить все остальные 3 задачи. Учитель контролирует организацию смены состава пар, помогает создавать новые пары, проверяет учет и правильность решения задач. Учащиеся должны не только проверить правильность решения задачи, но и в случае затруднения объяснить правильное решение товарищу.

После этого этапа общее количество правильно решенных задач выставляется в бланк рейтинговой оценки.

На этом этапе возможно, что какие-то пары справятся с работой раньше других. Тогда возможно заработать бонус – очки, решив дополнительные задачи.

Прежде чем приступить к решению задач, необходимо напомнить учащимся алгоритм решения задач на расчет вероятности по классическому определению:

1. Обозначить событие А.
2. Найти число всевозможных исходов – n.
3. Найти число исходов, благоприятствующих наступлению события А – m.
4. Найти искомую вероятность .

Решение задач.

Задача №1.

В урне находится 10 шаров, из них 6 белых и 4 черных шара. Вынули из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые?

Решение: Рассмотрим событие А – оба вынутых шара белого цвета.

Число всевозможных исходов равно количеству выборок 2 шаров из 10. Выборка без возвращения и без повторения, поэтому . Число исходов, благоприятствующих наступлению события А равно числу вариантов извлечения 2 белых шаров из 6, поэтому . Тогда .

Ответ: .

Задача №2.

В секретном замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

Решение: Рассмотрим событие А – замок будет открыт. Это событие равносильно тому, что цифры на дисках составляют определенное число.

Так как варианты набора цифр на дисках образуют выборку с возвращением (цифры могут повторяться) упорядоченную (при смене порядка цифр получается другое число), Благоприятный исход у этого события только один, поэтому

m = 1. Тогда

Задача №3.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение: Пусть событие А – набран верный номер. Тогда число всевозможных исходов равно числу трехзначных чисел, составленных из различных цифр. Так как в этом случае мы имеем выборку без возвращения (цифры различны), но упорядоченную (меняя цифры местами, получаем новое число), то Исход, благоприятствующий наступлению события А только 1. Поэтому

Задача №4.

В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток все открытки различны?

Решение: Пусть событие А - все проданные открытки различны.

Тогда число всевозможных исходов равно числу вариантов выбора 4 открыток. Эта выборка с возвращением (выбранные открытки могут быть одинаковые), неупорядоченная (так как важен лишь состав выборки, а не то, в каком порядке отобраны открытки). Значит Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, есть число способов, которыми можно выбрать 4 различные открытки из 6 видов. Так как открытки теперь различны, то эта неупорядоченная выборка без повторения, значит Тогда

Ответ:

Бонусные задачи см. Приложение 2

6. Проверка знаний учащихся.

Данный этап организуется следующим образом. Учащимся выдаются тексты заданий с вариантами ответов. Учащиеся обводят варианты правильных, на их взгляд, ответов. Затем учащиеся меняются работами и проверяют друг у друга по вариантам правильных ответов. Результаты заносятся в бланк рейтинговой оценки.

Варианты тестовых заданий и ответы к ним см. Приложение 3.

7. Подведение итогов.

После выставления всех рейтинговых баллов подводится общий итог, и выставляются соответствующие оценки за урок. Можно провести оценивание в двух вариантов.

1. Ранжированная шкала отметок. Предположим следующий вариант:

16 баллов и более – “5”

14 – 15 баллов – “4”

10 – 13 баллов - “3”

Кроме того, возможно бонусные баллы оценивать дополнительно отдельной оценкой.

2. Рейтинговый балл.

Для выставления оценки рейтинговым баллом определяется максимальный балл, набранный в группе. Затем рассчитывается процент, который составляет набранный балл от максимального. Затем выставляется оценка:

90 % и более - “5”

80-90 % - “4”

60 – 80 % - “3”.

На данном этапе можно провести рефлексию урока. Например, в таблице рейтинговой

оценки сделать графы для рефлексии

8. Домашнее задание.

Домашнее задание задается в творческой форме:

Придумать 5 задач на расчет вероятности с помощью формул комбинаторики (по одной задаче на каждый объект). Задачи записать на отдельном листке. На другом листке написать решение задачи. На следующем уроке провести конкурс на лучшие задачи. Оценивается:

• содержание (интерес)
• решение (правильность, рациональность)
• оригинальность и находчивость (в решении и содержании).