Наилучший способ обучения учащихся математике, дающий им сознательные и прочные знания и обеспечивающий их умственное развитие, заключается в том, что перед учащимися ставятся последовательно одна за другой посильные теоретические и практические задачи, решение которых дает им новые знания.
Обучение на немногочисленных, но хорошо подобранных задачах, решаемых учениками в основном самостоятельно, способствует вовлечению их в творческую исследовательскую работу, последовательно проводя через этапы научного поиска, развивает логическое мышление.
Усвоение учебного материала через последовательное решение учебных задач происходит в едином процессе приобретения новых знаний и их немедленного применения, что способствует развитию познавательной самостоятельности и творческой активности учащихся.
Рассмотрим задачи, которые позволяют вооружать школьников математическими методами познания реальной действительности. Наибольшие возможности для этого предоставляет сближение методов решения задач рассматриваемых в курсе математики, с методами решения задач, используемыми практикой. Анализ этих методов показывает, что применение математики к решению задач из любой другой области, явно не сформулированных в математических терминах, включает в себя следующие три этапа:
- Перевод предложенной задачи на язык подходящей для ее решения математической теории – построение математической модели задачи;
- Решение задачи в рамках математической теории, на язык которой она переведена – решение задачи внутри модели;
- Обратный перевод результата решения на язык, на котором была сформулирована исходная задача – интерпретация полученного решения.
Усвоение учащимися этих закономерностей применения математики на практике является важным условием развития мышления школьников. Эффективным средством обучения общим средством решения прикладных задач служат, во-первых, явное выделение всех трех этапов при решении задач, во-вторых, обучение школьников сознательному выполнению каждого из этих этапов решения задач в отдельности.
Хороший материал для организации такой деятельности представляют задачи с практическим содержанием, или если задача возникает как бы на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем.
Любая задача, возникающая на практике, не является математической, и чтобы решить ее требуется переформулировать на язык математики. Это для учеников наиболее трудная часть работы. Часто ребята решают задачи, сформулированные явно, но такую же задачу, которую надо перевести на язык математики решают с большим трудом. Например, задачи на нахождение углов в прямоугольном треугольнике у ребят не вызывают трудностей, а задача с практическим содержанием может вызвать трудности так как требуется знать не только геометрические сведения но и географические: “Путешественник Стив Каллаган потерпел кораблекрушение, оставшись на плоту посередине атлантического океана. Для того чтобы определить свои координаты он из трех карандашей смастерил секстант и нашел широту, на которой находился. Приведите способы определения широты”. (Угол между горизонтом и полярной звездой соответствуют широте, на которой находился путешественник.)
Для решения некоторых практических задач учащимся необходимо выполнить измерения, оценить их точность, выбрать приемлемый масштаб для изображения фигуры, провести необходимые вычисления, оценить результат. Например:
1. В магазине проволока продается на вес. Желая ускорить расчеты с покупателями, которым нужна проволока определенной длины (с точностью до 0,1 м), продавец начертил график зависимости массы куска проволоки от его длины. Начертите этот график.
2. Самолет летит из Москвы в Санк-Петербург, затем в Ригу и возвращается в Москву. Представьте себе, что вы штурман, задайте пилоту курс для каждого участка полета.
3. Как человек, едущий в поезде может узнать его скорость?
4. Скорость западного ветра равна 12 км/ч, собственная скорость самолета 160 км/ч. Компас показывает, что самолет летит на север. Каков действительный курс самолета и какова его скорость относительно Земли?
5. Два железнодорожных пути пересекаются под прямым углом. По напрвлению к перекрестку движутся два поезда: первый со скоростью 800 м/мин, второй 600 м/мин. В 10 часов утра первый поезд находился в 40 км от перекрестка, второй – 50 км. В какой момент расстояние между поездами будет минимальным? Где будут находиться поезда в этот момент?
Для решения задач практического характера, как правило , требуются некоторые дополнительные справочные данные. Целесообразно эти данные в задачу не включать, чтобы ребята сами могли определить каких именно, не хватает данных и дать возможность самим отыскать данные в справочнике. Так при решении вышеприведенных задач учащимся требуется знать, например, что масса 1 м проволоки – 250 г, расстояние между столбами, поддерживающими провода вдоль железной дороги – 50 м.
Мы рассматривали использование задач прикладного характера в системе дидактических упражнений. Однако такие задачи могут служить средством создания на уроке проблемной ситуации, применяться на этапе мотивации учащихся, убеждения учащихся в необходимости данного материала. Например, наблюдая за солнечным зайчиком, ребята замечают, что свет от одной точки до другой распространяется по прямой, выбирая кратчайший путь, равный длине отрезка между точками. Вопрос: “ По какому пути распространяется свет, если он идет от одной точки к другой не прямо, а отражаясь от поставленного на его пути зеркала? Выбирает ли при этом свет наименьшее расстояние?”
Изучение распространения света приводит нас к геометрической задаче: “Точки А и В лежат в одной из полуплоскостей, образованных прямой t. На прямой t найти такую точку, чтобы сумма расстояний от нее до двух данных точек была наименьшей”. (Решая эту задачу: построим точку А1, симметричную точке А относительно прямой t . Прямая А 1В пересекает прямую t в точке Х. Длина отрезка А1 В есть кратчайшее расстояние между точками А1 и В. Но А1Х=АХ. Значит ломаная АХВ наименьшая, удовлетворяющая условию задачи, а точка Х искомая (рис 1)).
Рис .1
Итак, физическая задача за собой повлекла геометрическую, а от нее мы совершим краткий экскурс в историю. “ Природа ничего не делает напрасно” Исходя из этого принципа, Герон Александрийский в начале нашего тысячелетия впервые высказал мысль о том, что свет распространяется кратчайшим путем, т.е. по прямой. Герон показал, что из всех ломаных линий АХВ, ведущих от предмета А к зеркалу Х и затем к глазу В, кратчайшей будет та, для которой выполняется: АХХ2 = ВХХ1. Возникает еще одна геометрическая задача: “Доказать, что если точки А и В лежат в одной полуплоскости от прямой t и сумма расстояний от точки Х на прямой t до точек А и В является наименьшей, то угол между лучом ХА и прямой t равен углу между лучом ХВ и прямой t”. (Решение: В предыдущей задаче точка Х была построена как точка пересечения отрезка А1В и прямой t . Отсюда следует, что углы Х2ХА1 и ВХХ1 вертикальные и следовательно равны. Но АХХ2= А1ХХ2, так как точки А и А1 симметричны относительно прямой t. Из доказанных равенств следует, что АХХ2=ВХХ1). Физическая проблема, возникшая в начале помогла мотивировать появление двух типичных геометрических задач. Решая их, учащиеся фактически рассмотрели геометрическую основу закона оптики: угол падения луча света на плоскость равен углу отражения. В приведенных примерах мотивация выступает в виде физической проблемы, решить которую помогает математическая задача.
Последовательная и систематическая работа учителя в указанном направлении способствует усвоению учащимися общих методов решения прикладных задач, формирует у них способность моделировать ситуацию, умение видеть за деталями машин.
Геометрические фигуры или их сочетания, за реальными процессами уравнения, и т.д., развивает интерес к изучению математики, понимания ее практического значения.