Конспект урока алгебры по теме: "Функция y = k/x, её свойства и график"

Разделы: Математика

Цель:

  • ввести понятие функции y=k/x как обратно пропорциональную зависимость, через рассмотрение свойств данной функции и построение графика.

ХОД УРОКА

1. Самоопределение учебной деятельности

Цель этапа:

  • включить учащихся в учебную деятельность;
  • определить содержательные рамки урока: продолжить изучать степенную функцию.

Организация учебного процесса на этапе 1:

- Здравствуйте дети!

- Какую главу мы начали изучать на прошлых уроках? (Степенная функция)

- Сегодня мы продолжим работать над этой темой.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа:

  • актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: свойства и графики функций, известных учащимся с 7-го класса;
  • актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
  • зафиксировать все повторяемые понятия в виде символов;
  • зафиксировать индивидуальные затруднения в деятельности, демонстрирующие на личностно значимом уровне недостаточность имеющих знаний.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. Укажите области определения следующих функций: y=x2+8, y=1/x-7, y=4x-1/5 y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x3, y= -10/x

2. На каком рисунке из таблицы (приложение 1) изображен график:

    - линейной функции;
    - прямой пропорциональности;
    - квадратичной функции;
    - функции вида y=kx3

3. Какой знак имеет коэффициент k в формулах вида y=kx+b, которым соответствуют графики на рисунке 1, 2, 4, 5 таблицы?

4. Найдите в таблице графики линейных функций, у которых угловые коэффициенты: равны; равны по модулю и противоположны по знаку.

5. Как называются следующие функции, заданные формулами: y=kx2, y=x2 , y=kx2, y=x3, y=kx3 ,y=kx+b, y=k/x?

3. Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности

Цель этапа:

  • организовать коммуникативное воздействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднения в учебной деятельности;
  • согласовать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

- Почему это задание вызвало затруднение? (Незнакомы с данной функцией).

- Какова цель урока? (Познакомиться с функцией y=k/x, ее свойствами и графиком.)

- Записываем число, классная работа и тему урока: “Функция y=k/x, ее свойства и график”.

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

  • организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
  • зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4:

- Работа в группах по алгоритму:

  1. Заполнить таблицу значений x и y для предложенной функции (каждой группе индивидуальное задание: y=5/x, y= -5/x, y=8/x, y= -8/x).
  2. По данным в таблице координатам (x;y) построить на координатной плоскости соответствующие точки.
  3. Ответить на вопросы:

- какова область определения заданной функции? (x не равно 0);
- принадлежит ли точка (0;0) графику функции? (Не принадлежит);
- пересекает ли график функции оси OY и OX? (Не пересекает).
- соединить точки и получить график целиком;
- подготовить отчет о проделанной работе.

- Сравните полученные графики (они симметричны относительно начала координат).

- Как зависит расположение графика от знака коэффициента k? (Если k>0, то график расположен в I и III координатных углах, а если k<0, то во II и IV.)

- Как зависит расположение графика от значения коэффициента k? (Чем больше k по абсолютной величине, тем выше над началом координат располагается одна ветвь графика и тем ниже – другая.)

- Выступление ученика с заранее подготовленным сообщением:

Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает “прохожу через что-либо”. Эта кривая была открыта математиками древнегреческой школы примерно в IV в. До н.э. Термин “гипербола” ввел Аполлоний г. Пергам (Малая Азия), живший в III–II вв. до н.э. Он показал, что гипербола получается, если взять произвольный круговой конус, полости которого простираются по обе стороны от вершины, и пересечь обе его полости плоскостью, параллельной прямой АА1 (приложение 2). Мы увидим ее в сечении всякий раз, когда плоскость проходит через обе полости конуса. Гипербола устремляется ввысь настолько быстро и настолько падает вниз, прижимаясь соответственно то к оси ординат, то к оси абсцисс, что становится ясно, почему таким же словом “гипербола” называется стилистический прием, состоящий в образном преувеличении или преуменьшении, например: “наметали стог выше тучи”, “стал Иванушка ниже былинки в поле”.

Как известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире. Рассмотрим, например, прямоугольник со сторонами x и y.

и площадью12 см. Известно, что x y=12. Но что будет, если начать изменять одну из сторон прямоугольника, допустим сторону длиной x? Длину стороны y можно узнать из формулы y=12/x. Если x увеличить в 2 раза, то будем иметь y=12/2x, т.е. сторона y во столько же раз уменьшиться. Наоборот, если значение x увеличить в 3, 4, 5…раз, то значение y во столько же раз уменьшается. Наоборот, если x уменьшать в несколько раз, то yбудет увеличиваться во столько же раз. Поэтому функцию вида y=k/x называют обратной пропорциональностью. Такие функции встречаются очень часто. Все помнят из курса физики закон Ома: I=U/R. Он, гласит, что если напряжение U постоянно, то сила тока I обратно пропорциональна сопротивлению R проводника. Сходной формулой описан закон Бойля-Мариотта для идеального газа: если его масса m постоянна, то объем V газа обратно пропорционален его температуре: V= m/t.

5. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа:

  • проверить свое умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 5:

- Самостоятельная работа в трех вариантах: I вариант - облегченный, II –средней трудности, III-повышенной.

I вариант

Постройте график обратной пропорциональности y= - 6/x с помощью таблицы

x - 6 - 4 - 3 - 2 1 2 3 4 6
y + 1 +1,5 + 2 + 3 - 6 - 3 - 2 - 1,5 - 1

II вариант

Постройте график обратной пропорциональности y=16/x, предварительно заполнив таблицу

x - 8 - 4 - 2 - 1 1 2 4 8
y                

III вариант

Постройте таблицу некоторых значений функции y=10/x и ее график.

- Работы проверяются по эталону. Ошибки исправляются, анализируются, выясняется их причина.

6. Рефлексия деятельности

Цель этапа:

  • зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
  • оценить собственную деятельность на уроке;
  • поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
  • зафиксировать неразрешенные затруднения как направления будущей учебной деятельности;
  • обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 6:

- Что нового узнали на уроке?

- Что использовали для “открытия” нового знания?

- Какие трудности встретили?

- Что нам помогло справиться с затруднениями?

- Проанализируйте свою работу на уроке.

Домашнее задание

П.15; № 184; № 185; № 186 (1).