Цель: закрепить знания учащихся, полученные при изучении темы, уметь применять формулы для нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения.
Задачи:
- образовательные: обработка способов решения квадратного уравнения, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения
- развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, обще-учебных умений, умений сравнивать и обобщать
- воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры
Ход урока
I. Подготовительный этап – мотивация необходимости изучения учебного материала.
II. Повторение ранее изученного материала.
- Сформулируйте определении уравнения.
- Что значит решить уравнение?
- Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
- Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
- Сформулируйте определение квадратного уравнения.
III. Работа по опорному конспекту
ax2+bx+c=0
Не полные:
| b=0, c=0 | c=0 | b=0 |
| ax2=0 | ax2+bx=0 | ax2+c=0 |
| x=0 | x(ax+b)=0 | ax2=-c |
| x1=0 или ax+b=0 | x2=-c/a | |
| x2=-b/a |
Полное квадратное уравнение:
ax2+bx+c=0
D=b2-4ac
D<0 нет корней
D=0 один корень
D>0 два корня
Приведенное квадратное уравнение:
a=1
x2+px+q=0
x1+x2=-p
x1x2=q Теорема Виета
IV. Развивающие упражнения
(На стенах развешаны многоугольники). Назовите многоугольники, по возрастанию количества углов и прочитайте уравнения, которые вы на них видите и назовите их коэффициенты. (треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник).
Треугольник: 2x2=0 a=2, b=0, c=0 Неполное квадратное уравнение.
Квадрат: 3x2+6x=0 a=3, b=6, c=0 Неполное квадратное уравнение.
Пятиугольник: 2x2+8=0 a=2, b=0, c=8 Неполное квадратное уравнение.
Шестиугольник: 3x2+5x+8=0 a=3, b=5, c=8 Полное квадратное уравнение.
Семиугольник: x2+9x+14=0 a=1, b=9, c=14 Приведенное квадратное уравнение.
V. Историческая справка (сообщение детей).
1) Квадратное уравнение в Индии.
Задачи на квадратное уравнения встречаются в астрономическом трактате “Ариабхаттиам”, составлено в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый – Брахмагупта (VII век) изложил общие правила решения квадратных уравнений. Это правило по существу совпадает с современным.
В древней индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.” Задачи часто обрекали в стихотворную форму.
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне в этой стае?
Решение:
(x/8)2+12=x
x2-64=-768
x1=16, x2=48
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н. э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения
x2+x=3/4 x2-х=14.1/2
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят клинописные тексты только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
3) Квадратные уравнения в Европе в XIII-XVII вв.
Формы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в “Книге абаха”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из “Книги абаха” переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду.
2x2+ bx =c
При всех возможных комбинациях знаков и коэффициентов было сформулировано в Европе в 1544 году М.Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признал только положительные корни. Итальянские ученые Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Подведение итогов.