"Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия". 10-й класс

Предметные цели:

создать методическими средствами психолого-педагогические условия для усвоения понятий:

1. БУГП
2. СУММА БУГП

и применения их при решении ключевых задач:

1. Алгоритм распознавания БУГП
2. Вычисление суммы БУГП.

Цели личностного развития:

установление содержательных связей БУГП с элементами субъектного опыта учащихся в изучении математики по линиям тождественных преобразований, уравнений и действительных чисел.

Ход занятия (занятие состоит из 2-х уроков)

Урок 1.

1 этап: Диагностика усвоения материала по теме: “Действия с иррациональными числами”.

Самостоятельная работа, которая выполняется индивидуально каждым учащимся. Оперативная обратная связь осуществляется с помощью разбора решений примеров непосредственно по окончании самостоятельной работы.

Содержание самостоятельной работы:

(Задания приведены с ответами).

По окончании работы проводится анализ результатов работы и оперативный разбор ошибок.

2 этап. Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала.

Работа осуществляется в форме фронтальной беседы с элементами организации поисковой деятельности. Полученные результаты фиксируются в тетрадях.

Содержание фронтальной работы:

1. Повторение:

а) определения понятия геометрической прогрессии (ГП);

б) формулы n-ого члена ГП;

в) формулы суммы n первых членов ГП.

2. Получение нового результата:

Рассмотрим формулу суммы n первых членов ГП:

.

При эту формулу можно переписать в виде: или , из чего следует формула

Положим в этом равенстве , тогда получим

, домножим обе части равенства на , получим

, а отсюда вытекает полезное тождество:

(Доказательство приведенных формул см. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра и математический анализ. 10 класс”, М., “Просвещение”, 1992г., стр.45).

В результате обсуждения, в процессе которого осуществляется конкретизация вновь полученного обобщенного знания, учащиеся приходят к выводу, что ранее изученные формулы разности квадратов и суммы и разности кубов представляют собой частные случаи выведенных формул:

Таким образом, удаётся установить содержательную связь БУГП с линией тождественных преобразований.

3 этап. Создание мотивации для формирования понятий БУГП и суммы БГУП.

Особенный интерес представляет обсуждение наглядной демонстрации существования суммы бесконечного числа слагаемых. Работа осуществляется фронтально, используются элементы исследовательской деятельности.

Содержание этапа:

1. В процессе введения определения БУГП рассматриваются особенности ГП с ¦q¦ < 1. Затем формулируется определение БУГП и решаются ключевые задачи распознавания БУГП:

а) в условии задана ГП; выяснить, является ли она БУГП;

б) в условии задана последовательность; выяснить, является ли она БГУП.

Вторая задача соответствует более высокому уровню сложности: сначала требуется выяснить, выяснить, является ли последовательность ГП;

затем - является ли она БУГП?

1) ;

2) .

Эти задачи могут быть рассмотрены как а) и как б). В процессе закрепления используются упражнения:

15 (3)

Доказать, что ГП является бесконечно убывающей::-27, -9, -3,…

16(3)

Выяснить, является ли ГП бесконечно убывающей:

(см.Алимов и др.)

Для введения понятия суммы БУГП целесообразно продолжить обсуждение задачи 2) и представить сумму слагаемых с помощью графической интерпретации:

Вывод формулы суммы БУГП проводится в соответствии с материалом учебника Ш.А.Алимов и др. “Алгебра и начала анализа.10-11”, М., “Просвещение”, 2003г., стр.11-14.

Обсуждение полученного результата создает условия для психологического принятия наличия конечной суммы бесконечного числа слагаемых.

Подводятся промежуточные итоги, на доску выносятся основные результаты.

Урок 2 (продолжение).

4 этап. Формирование алгоритма вычисления суммы БУГП.

Работа организована индивидуально у доски и в тетрадях с дифференцированной степенью самостоятельности. Критерием достижения положительного результата этапа является знание всеми учащимися алгоритма нахождения суммы БУГП. Коррекция осуществляется с помощью взаимопроверки. Используются упражнения

18(1,2) Найти сумму БУГП:

1. Ответ:

2. , Ответ:

а также упражнения из дидактических материалов по алгебре и началам анализа Б.Г.Зива и В.А. Гольдича, с/р №2, упражнения 1 из вариантов 1 и 2.

Найти сумму БУГП:

1. Ответ: 40,5

2. Ответ: 32.

Желающим, справившимся с общим заданием раньше других, предлагается обратная задача:

Известна сумма БУГП и второй член прогрессии. Нужно найти первый член прогрессии и знаменатель:

дано: =-0,5; S=1,6;

найти q и .

За самостоятельное решение этой задачи выставляется отдельная оценка.

5 этап. Первичное обобщение и включение нового знания в систему субъектного опыта учащихся.

Установление содержательных взаимосвязей БУГП с линиями уравнений и действительных чисел.

Фронтально решается задача распознавания БГУП. С помощью этой задачи, с одной стороны, осуществляется диагностика достижения положительного результата предыдущих этапов урока, с другой стороны, полученные результаты позволяют осуществить содержательные взаимосвязи по выше указанным линиям.

Из предложенных последовательностей выбрать БУГП:

1) =3; q=2.

2) =-4; q=.

3) 4;2;1; и т.д.;

4)=1; q=x; x>2;

5)=; q=.

6) =; q=.

7) =; q=

8) =1; q=x; ¦x¦<1.

Таковыми являются 2); 3); 5); 6); 7) и 8).

Сначала найдём сумму БУГП из задания 8). Для этого запишем сумму членов прогрессии и воспользуемся формулой суммы БУГП. Получим:

1+++ …++ …= .

Установление содержательных взаимосвязей БУГП с линией уравнений

Сравните полученный результат с уравнением и воспользуйтесь при его решении полученным результатом:

Уравнение 1) ; ¦x¦<1.

Заметим, что если к обеим частям равенства прибавить 1, то можно воспользоваться полученным выше результатом:

.

Итак, мы получили дробное рациональное уравнение, алгоритм решения которого известен школьникам.

Уравнение 2) 2 + 1 + - + - + …=

¦x¦<1.

Решение уравнения 1) проводится учеником на доске, уравнение 2 предлагается для самостоятельной работы дома.

Делается весьма неожиданный вывод о том, что сумма БГУП даёт возможность решения некоторых уравнений, имеющих бесконечное число членов.

Таким образом, удаётся установить содержательную связь БУГП с линией уравнений.

Установление содержательных взаимосвязей БУГП с линией действительных чисел.

К доске приглашаются 3 ученика для решения задач 1-3.

1)=; q=.

Сначала находим сумму БУГП по формуле

S==.

Затем попытаемся осмыслить, что представляет собой сумма членов этой прогрессии, если её члены записать в виде десятичных дробей:

0,3+0,03+0,003+….=0,3333…=0,(3).

Таким образом, видим, что с помощью формулы суммы БУГП можно осуществлять переход от записи действительного числа в виде бесконечной периодической дроби к записи в виде обыкновенной дроби.

2) =; q=.

Эта задача носит дублирующий характер и используется для создания условий лучшего осмысления сформулированного вывода.

3) =; q=

Решение этой задачи помогает понять, сколько десятичных знаков содержит период дроби, какие особенности решения возникают в связи с этим.

Решение этих задач даёт возможность установления содержательной связи БУГП с линией действительного числа.

После решения этих задач подводятся итоги урока, предлагается домашнее задание:№20,21(2,4), 22(2), 23(2) из учебника Алимова.

Этап 6. Диагностика достижения положительного результата урока.

Предлагается срезовая работа, которая позволяет оценить достижение всеми учащимися уровня образовательного стандарта.

Вариант 1.№№ 13(1); 15(1); 18(1); 19(1); 20(1).

Вариант 2.№№ 13(2); 15(2); 18(2); 19(2); 20(2).

Решение проводится учащимися в тетрадях, проверяются только специальные бланки (Приложение 1), в которые вписываются ответы. Данная форма позволяет осуществить оперативную обратную связь и, в случае необходимости, провести коррекцию.

Подводятся окончательные итоги урока, сообщаются и комментируются оценки, полученные школьниками.

Приложение 1.