В начале XXI века общество (как в нашей стране, так и во всем мире) претерпевает существенные изменения. Поэтому и перед школой ставятся более сложные задачи, среди которых – всестороннее развитие личности в процессе обучения, в том числе и на основе активизации исследовательской деятельности учащихся, что является одной из важнейших предпосылок в формировании и развитии творческого потенциала человека.
Познавательная деятельность и ее одна из форм – исследовательская деятельность – имеет особый статус. Психологи отмечают, что для школьников наиболее значима такая деятельность, которая по содержанию, логической структуре и приемам организации соответствует их стремлению к5 интеллектуальной самостоятельности и носит творческий характер. Именно поэтому проблема активизации исследовательской деятельности становится все более актуальной как в теории, так и в практике школьного образования на современном этапе.
Мы хотим представить сценарий научно-практической конференции “Возникновение, развитие и применение математики”, проведенной в гимназии № 1518 в феврале 2006 года. В конференции участвовали учащихся с 6-го до 11-го классов. Вели конференцию учащиеся 11-го класса. Каждый выступающий представил отчет о проделанной исследовательской работе в виде презентации.
С тех пор как существует мирозданье,
Такого нет, кто б не нуждался в знанье,
Какой мы не возьмем язык и век, -
Всегда стремился к знанью человек…
Рудаки
Дерзайте, ныне ободрены
Раченьем вашим доказать,
Что может собственных Платонов
И быстрых разумом Невтонов
Российская земля рождать!
Ломоносов
Уважаемые гости, мы приветствуем вас на научно-практической конференции “Возникновение, развитие и применение математики”. Мы хотим представить вам фрагменты исследовательских работ наших гимназистов.
Научно-исследовательская работа позволяет каждому гимназисту испытать, испробовать, выявить и актуализировать хотя бы некоторые из своих талантов-дарований.
Научно-исследовательская деятельность – мощное средство, позволяющее увлечь по самому продуктивному пути развития и совершенствования.
Итак, начнем.
Велико значение математики в повседневной
жизни человека. Без умения считать немыслимо
развитие человеческого общества. Некоторые
историки склонны считать началом математики
момент появления искусства счета. Используя опыт
ушедших поколений, первые великие мыслители
закладывали фундамент одной из древнейших из
наук, имя которой “математика”. Неслучайно это
слово в переводе с греческого означает “наука”.
Десятки веков канули в прошлое, но нас до сих пор
интересует вопрос: как зародилась и как
развивалась математика в разных странах. Еще
великий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц
сказал: “Кто хочет ограничиться настоящим без
знания прошлого, тот никогда его не поймет…”.
Слово предоставляется ученице 6 класса Штамм
Юлии…
Цель исследовательской работы “Возникновение и развитие математики в Древнем Китае” - сравнить достижения китайских математиков и традиционной науки – европейской, арабской, индусской.
Великая китайская цивилизация – одна из древнейших в мире. Китай подарил миру многие свои изобретения – бумага, шёлк, фарфор. Вследствие своей закрытости от остального мира китайская наука в том числе и математика не получили широкого распространения. На гадательных костях середины второго тысячелетия до н. э. встречаются числа, записанные в позиционной системе с помощью девяти знаков.В пещерах Дуньхуана в провинции Ганьсу были найдены бамбуковые дощечки I в. н. э. с примерами умножения от 1 до 9. Китайцы не перевели свою систему на письмо и скоро она была забыта. Купцы, ученики, монахи и судебные чиновники – все они носили с собой палочки, вместо калькулятора. Счётные палочки раскладывали на досках или на земле. Носили палочки в пачках по 271 штуке. Палочную систему хорошо знали торговцы Великого шёлкового пути в V-IX веках н. э. Китайцы обозначали 9 цифр, используя от 1 до 5 палочек в разных положениях. Так же китайцы использовали для счёта абак. Дата появления абака точно не известна. Он представлял собой деревянную раму с рядами стержней или верёвок, на которых подвижно были закреплены костяшки в виде приплюснутых шаров. Китайские учёные могли умножить число число более 11 знаков на дробь. Со 2 века до н. э. китайцы знали теорему Пифагора. В III веке. математик Лю Хуэй вычислил число “пи” как 3,1416. XII – XIV века н. э. знаменуются крупными достижениями китайской математики. Были исследованы методы решений систем уравнений высших степеней, примеры построения “магических квадратов”, “треугольника Паскаля” и др.
Китайцы не создали геометрии, подобной греческой, в которой использовались бы аксиомы, теоремы и доказательства. Математики Китая стали первыми выражать геометрические формы алгебраическими уравнениями. Правда, они не использовали специальных алгебраических символов, а довольствовались иероглифами. После XIV века в Китае не было написано ни одной важной работы по математике. В конце XVI века в Китай прибыли иезуиты. Началась эра переводов на китайский язык западных научных работ. Изучение европейских работ стимулировало китайских учёных к восстановлению традиционной математики. Но в XVII веке математика Китая прекращает самостоятельное развитие.
Получается, что европейский, арабский и индусские миры шли в науке своими путями и открывали уже открытые и систематизированные китайскими учёными достижения. Если бы учёные всего мира в первом тысячелетии смогли воспользоваться достижениями традиционной китайской науки, то на сколько бы лет раньше мировая наука достигла современного уровня, и какое развитие имели бы современные знания.
Однажды великий физии и теоретик Альберт Эйнштейн сказал: “Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”. Свою работу “Возникновение и развитие уравнений” представит ученица 6 класса Луганская Екатерина.
Цель данной работы - изучить методы решения уравнений в древности и показать, что возникновение уравнений связано с практической деятельностью человека.
Алгебра зародилась из решения практических задач с помощью уравнений около 830 г. н.э. Основоположником алгебры считается узбекский ученый, математик и астроном Мухаммед Аль- Хорезми. Он писал, что “…уравнения - наиболее полезная вещь в арифметике,…это то - что постоянно требуется человеку везде: в делах наследования, получения наследства, раздела имущества, судебных разбирательствах, торговых отношениях, при измерении земельных участков, рытье каналов, геометрических вычислениях,…”
АЛДЖЕБР (восстановление) - перенесение отрицательных членов из одной части уравнения в другую. Приём второй - АЛМУКАБАЛА (противопостановление), т.е. отбрасывание из обеих частей уравнения одинаковых членов.
Древние математики все действия излагали словами. Но некоторые ученые уже пытались вводить символику.
Тем не менее на могиле Диофанта высечена надпись:
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Эту надпись можно уже перевести на язык алгебры с помощью уравнения.
В “Арифметике” Диофанта содержатся задачи, которые решаются с помощью уравнений первой и второй степеней. Например, “Если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше полученной разности. Чему равно это число”.
Одним из способов решения уравнений в Древнем Египте является метод ложного положения, где вводится неизвестная величина, которая называется словом “куча”.
ЗАДАЧА ИЗ ПАПИРУСА Ахмеса: “Количество (куча) и его четвертая часть дают вместе 15”
РЕШЕНИЕ В ПАПИРУСЕ: “Считай с 4; от них ты должен взять четвертую часть, а именно 1; вместе будет 5” Затем 15 делится на 5. Частное 3 умножается на 4 и получается неизвестное число 12.
Дальнейший прогресс алгебры стал возможным после появления во всеобщем употреблении удобных символов. Этот процесс шел медленно и зигзагами, так как зарождавшаяся символика иногда терялась и снова уже возрождалась в другой стране. И только в середине 17 века полностью сложилась современная символика. Дальнейшее развитие алгебры связано с именами европейских ученых Тартальи, Виета, Бомбелли, Декарта, Ньютона, Эйлера и русского ученого Николая Лобачевского.
Первоначальные способы решения уравнений были достаточно сложными и разнообразными. В процессе развития математики произошло их значительное упрощение, и для каждого типа уравнений появился единый алгоритм решения.
Не правда ли прекрасны бегущая волна, повторяющиеся соловьиные трели? А приливы и отливы? Ритмы сердцебиения… Периодические колебания бесконечно разнообразны. Многие из этих процессов описываются тригонометрическими функциями… Итак, что же такое “тригонометрия”. Как зародилась эта наука и кто стоял у ее истоков. Слово предоставляется ученицам 10 класса Хвастуновой Елене и Говядкиной Ксении….
Тема данной исследовательской работы “История и возникновение тригонометрии”. Одной из задач являлось составить краткую хронологию истории возникновения и развития тригонометрии, а также провести сравнительный анализ развития тригонометрии в Индии (IV – VII вв.), Арабских странах (IX-X вв.) и Европе (XII-XIX вв).
Тригонометрия – это раздел, в котором метрические соотношения между элементами треугольника описываются через тригонометрические функции, а также устанавливаются соотношения между тригонометрическими функциями. Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает “измерение треугольников. Тригонометрия, как и всякая наука, вырастала из потребностей практической деятельности: в мореплавании, в астрономии, в ведении точного календаря, в нахождении расстояний до недоступных объектов, в строительстве при создании пирамид. Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим учёным. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами. В данной работе представлена хронология развития тригонометрии на разных исторических этапах. Она охватывает период от Античного мира (до II в. н.э.) до XX в. Во времена Античности была изобретена шестидесятеричная система счисления и первые таблицы синусов. После крушения античного мира развитие математических наук в течение нескольких столетий происходит главным образом в странах Ближнего и Среднего Востока, где после завоеваний Александра Македонского находились главные культурные и научные центры. Именно там возникают понятия основных тригонометрических величин, современные названия которых появились намного позже с их переводом на латинский язык в Европе в XV веке. В IX-X вв. тригонометрия сделала сильный прорыв в Арабских странах. Если ранее тригонометрия считалась частью астрономии и являлась ее вычислительным аппаратом, то в этот период тригонометрия впервые выделилась из астрономии как самостоятельная наука. Затем развитие тригонометрии переносится в Европу в XII-XIX веках. И в 17 веке в тригонометрии намечается новое направление – аналитическое. Если раньше тригонометрия занималась только решением треугольников, то теперь она постепенно становится одной из глав математического анализа. В настоящее время тригонометрия нашла свое практическое применение во многих науках: в астрономии и астрологии, в физике и картографии, а также в строительстве, геодезии и навигации. Наша работа подтверждает, что тригонометрия – мощный научно-исследовательский аппарат, позволяющий развивать другие науки.
От конкретного к абстрактному, обратно к конкретному и снова… Что же заставляет математику интенсивно развиваться? Конечно же, практика… И сейчас о методах математического моделирования в экономике расскажет ученик 8 класса Кубанеишвили Михаил…
Моделирование в бытовых и научных целях стало применяться еще в глубокой древности. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX век. Математическое моделирование актуально в наше время, поэтому я выбрал эту тему. Цель данного исследования — узнать подробнее о математическом моделировании в целом и его элементах, применяемых в экономике.
Модель — это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении математической модели, является модель Солнечной системы. Наблюдения звездного неба начались в глубокой древности. Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (II в н.э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движение вокруг Земли (геоцентрическая модель), Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 г. была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (XVII в.), который сформулировал законы движения планет. Во второй половине XVII в.И. Ньютон предложил модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. К 40-м гг. XIX в. выводы описания модели И. Ньютона вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Движение планеты Уран уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверье в 1846 г. предположил существование новой планеты. И она действительно была открыта в месте, указанном Леверье. Это планета Нептун.
Мы часто используем моделирование в повседневной жизни. Основные этапы моделирования таковы/
I. Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнения, или неравенства, или системы уравнений и неравенств.
II. Решение математической задачи: уравнения, неравенства или системы.
III. Интерпретация математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнений, решений неравенств) к их практическому смыслу в данной задаче.
IV. Проверка результата практикой
С использованием метода математического моделирования можно определить, например, наиболее оптимальный вид вклада в различные банки.
Существуют несколько основных формул, которые используются в банковском деле. Рассмотрим два вида вкладов в ? “Новый Европейский Сбербанка России” и “Новый капитал” Банка Москвы и найдем оптимальный вариант.
Рассмотрим вклад 2000 ? в Сбербанк России сроком на 2 года под 6,5% годовых. Теперь рассмотрим кредит, предоставляемый Сбербанком России “На неотложные нужды” и кредит, предоставляемый Банком Москвы “БЫСТРОкредит” на неотложные нужды.
Как видно из произведенных расчетов у Сбербанка России оптимальные условия предоставления кредита.
В ходе исследования установлено:
1. Математическое моделирование играет важную роль в во всех сферах человеческой деятельности.
2. Использование метода математического моделирования позволило установить высокую целесообразность его применения в банковском деле.
3. Метод хорошо применим на практике. Он помогает найти наиболее выгодный путь вложения собственных денежных средств или получения кредита.
Не смолкают споры, о роли математики в других областях знаний: Математика – царица или служанка всех наук? Без математики невозможна никакая другая наука, ее понятия и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. И это нам докажет ученица 11 класса Погодина Татьяна в своей работе “Универсальность математического понятия “производная”…
Метод дифференцирования – универсальный метод, описывающий законы природы, основа методологических систем различных наук.
Жизнь – это движение, постоянное и необратимое: от простейшего перемещения тела в пространстве до неуловимого движения мысли, от вращения небесных тел, до хаотичного движения электронов атома. Одной из наук, теснейшим образом связанных с движением является физика. Не даром И. Ньютон создал дифференциальное исчисление для описания физических законов. Чтобы вывести законы движения тела, необходимо узнать, как это тело изменяется во времени. Именно такую характеристику скорости тела дает производная – основное понятие дифференциального исчисления.
Математический анализ, изучающий дифференциальное исчисление не менее всеобъемлющ, чем сама природа. В XVII. произошла революция в математике – появился математический анализ, который открыл нам возможности для научного описания, количественного и качественного изучения переменных величин и движение в широком смысле этого слова. Также следует отметить предпосылки появления математического анализа. В рамках математики за долгие годы накопились некоторые важные классы однотипных задач (например, задачи измерения площадей и объемов нестандартных фигур, задачи проведения касательных к кривым). Оказалось, что эти задачи теснейшим образом связаны с задачами описания произвольного (не обязательно равномерного) механического движения, и, в частности, с вычислением его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также с нахождением пройденного пути, происходящего с заданной переменной скоростью.
Производная применяется не только в физике, но и в биологии, химии, экономике, геометрии и при решении задач на оптимизацию. Примерами являются задачи о скорости движущейся точки, на нахождение силы электрического тока, задача о скорости роста популяции, скорости химической реакции, задача о производительности труда.
Во все времена актуальны задачи “оптимизации” или, так называемые, экстремальные, позволяющие найти ответы на такие вопросы: как добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли, мощности, скорости), как определить наименьшие потери (времени, материалов, энергии). Желание вполне естественно и понятно. Поэтому задачи оптимизации играют большую роль в экономике, физике, технике.
Открытие производной позволило более полно и точно изучить многообразные явления окружающего мира, мира движущейся, изменяющейся, бесконечно разнообразной материи. Дифференцирование – уникальный математический метод, применяемый не только в математике, но и в других науках. Использование аппарата производной позволяет определить оптимальное значение того или иного показателя, осуществить экономический анализ и прогнозирование.
Замечательный английский математик Харди писал: “"Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики". О роли красивой математики в архитектуре расскажет ученица 11 класса Куприна Полина.
Цели исследовательской работы:
- показать, что без точных математических расчетов и знания основ механики невозможно создать прочное и красивое здание;
- создать проект цветочной оранжереи-беседки
Профессия архитектора вовсе не чужда точных дисциплин. По своей сути архитектура стоит на грани искусства и техники. Без первого - архитектура превращается в ремесленничество, без второго - в бесплотные абстракции, которые невозможно реализовать. Не случайно один из создателей теории архитектуры Витрувий Поллион заложил в ее основу три основных принципа - польза, прочность и красота. Тесная связь архитектуры и математики известна давно. В одной из колыбелей современной цивилизации - Древней Греции - геометрия считалась одним из разделов архитектуры. Не исчезла связь архитектуры с математикой и в дальнейшем, чему можно привести множество примеров. "Золотым сечением" - соотношением, определяющим оптимальные с точки зрения зрительного восприятия пропорции архитектурного сооружения. Если произвести деление объекта на две неравные части так, что меньшая будет относиться к большей, как большая ко всему объекту, возникнет так называемое “золотое сечение”.
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). Он по праву считается одним из величайших образцов античного зодчества, шедевром мирового искусства и пластики. Здание соединяет в себе гармоничность и точность золотого сечения. Другим примером из архитектуры древности является Пантеон. Пантеон представляет собой огромную круглую постройку с величественным куполом. С точки зрения архитектурных решений Пантеон является единственным в мире монументальным сооружением, в котором естественно и гармонично сочетается величественность конструкции с легкостью и изяществом линий.
Разумеется, применение математики в архитектуре не ограничивается "золотым сечением". Современный архитектор должен быть знаком с различными соотношениями ритмических рядов, позволяющих сделать объект наиболее гармоничным и выразительным. Кроме того, он должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации. При проектировании монумента в честь покорителей космоса авторы сначала подбирали наиболее красивую форму кривой визуально, а потом описывали ее с помощью математических формул. Впечатление от здания во многом зависит от ритма, т.е. от четкого распределения и повторения в определенном порядке объемов зданий или отдельных архитектурных форм на здании (колонн, окон, рельефов и т.д.).
Во многих архитектурных строениях мы видим симметрию или золотое сечение. Многие художники, архитекторы посвящают годы изучению этих законов. Мауриц Эшер из числа их. “День и ночь” - одна из таких картин. Дневной и ночной города связаны зеркальной плоскостью антисимметрии.
Наша жизнь неразрывно связана с речью. Без письменной и устной речи невозможно представить себе ни одну науку. В математике, как и в любой другой области знаний, есть свой язык, состоящий из терминов и символов, который мы часто пользуемся, не задумываясь. И наши гимназисты решили написать “Этимологический словарь математических терминов”. Его представит один из авторов ученица 11 класса Хмырова Ольга.
Человеческая жизнь неразрывно связана с речью. С самых первых лет жизни мы выражаем мысли и чувства посредством слов. Невозможно представить себе науку, любую науку, без письменной и устной речи, т.к. знания, накопленные тысячелетиями и передаваемые из уст в уста с появлением письменности, нашли отображение в текстах, таблицах, графиках.
Математика – наука особенная. В ней не так много слов – больше символов. Мы используем их, не задумываясь. Уже задолго до осознания математики как науки, задолго до первых шагов в арифметике, которые каждый из нас проделывает в первом классе, мы знакомы с символами “плюс” и “минус”, знаем цифры.
Однако далеко не сразу к нам приходит интерес – а откуда же взялось тот или иной термин, тот или иной символ? Существует наука о словах – этимология. Она объясняет происхождение терминов, их историю и появление в языке. Мы не беремся написать фундаментальный труд по этимологии, мы хотим лишь немного шире приоткрыть дверь в удивительный мир математики. Ведь пользуясь осознанно терминами и понятиями, лучше осознаешь суть их значений.
Не каждый школьник любит математику как школьный предмет. Многим алгебра или геометрия кажутся непреодолимыми препятствиями на пути познания. Может быть, это происходит от незаинтересованности учеников в предмете, их непонимания смысла задачи, поставленной перед ними. Мы верим, что введение истории математики в школьный курс позволило бы повысить успеваемость и привлечь интерес учащихся. Нам кажется, что даже не следует выделять историю математики как отдельный предмет – достаточно совершать небольшие экскурсы в прошлое и знакомиться с великими учеными и их достижениями, их теориями и, конечно, терминами, которые они ввели, на уроках алгебры и геометрии. Это, несомненно, придаст занятиям большую привлекательность и принесет интерес к предмету.
Наша работа разбита на три главы. Первая – “Этимологический словарь математических терминов”. В ней приведен непосредственно словарь и таблица возникновения основных математических знаков. Вторая – “История возникновения некоторых математических терминов”. Здесь мы более детально рассматриваем историю терминов, таких как: аксоима, алгоритм, арифметика, геометрия, десятичные дроби, комбинаторика, корень, многочлен, объем, процент, система счисления, тригонометрия, функция. Третья – “Краткие биографические сведения о выдающихся математиках”. Науки нет без людей. В этой главе мы рассказываем о людях, создавших математику. Это те ученые, имена которых упоминались в первой и второй главах. В заключение приведен библиографический список.
Наше обучение в гимназии научило нас, что знания хороши не только в рамках школьных занятий, но и вне стен школы, здесь нас учат комбинировать навыки и умения, показывают взаимопроникновение предметов. Наша работа – слияние математики, русского языка, истории. Это не сухой научный труд – это то, что нам интересно. Мы верим, что наша работа заинтересует не только нас.
В ходе научно-практической конференции “Возникновение, развитие и применение математики” учащиеся постарались доказать, что математика вырастает из самой жизни и тесно связана с ней. Она – язык других наук, описывает законы природы, является незаменимым инструментом в различных областях знаний.
Занятия научно-исследовательской деятельностью необходимы учащимся всех возрастов, потому что делают учебу увлекательной, прививают интерес к предмету, расширяют кругозор, повышают общую культуру и прививают навыки исследования. При выполнении работы ученики учатся поиску информации, отбору содержания, анализу и синтезу найденных результатов. Научно-исследовательская работа заставляет учащихся доделывать все до конца и представлять результаты своего труда.