Геометрия обладает двумя великими сокровищами.
Первое – это теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота…
И. Кеплер
Урок № 1. “Знакомство с теоремой Пифагора, её практическое применение”.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Урок-практическая работа.
Учащиеся выполняют практическую работу по трем видам прямоугольных треугольников, а именно: измеряют длины катетов и гипотенузы, проверяют выполнение свойства сторон, формулируют теорему Пифагора, учатся применять ее при решении опорных задач, знакомятся с египетским треугольником. На дом получают задание отыскать различные способы доказательства (хотя бы один), интересные исторические сведения по теме.
Урок № 2. “Доказательство теоремы Пифагора”.
Тип урока: урок закрепления и развития знаний, умений, навыков.
Урок-семинар.
Урок № 3. “Применение прямой и обратной теоремы при решении задач”.
Тип урока: урок применения знаний, умений, навыков.
Урок-практикум.
На этом уроке прослушиваются различные способы доказательства теоремы, выбранные по желанию и изучается обратная теорема, отрабатываются знания, умения, навыки при решении различных задач по теме.
Урок № 4. “ Теорема Пифагора”.
Тип урока: урок проверки знаний.
Урок-зачет.
Первую часть урока продолжается отработка навыков по применению теоремы,
Во второй части – зачетная работа.
Образовательные цели:
- Повторить свойства сторон и углов прямоугольного треугольника, нахождение его площади.
- Сформировать умение доказывать теорему.
Развивающие цели:
- Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся знания в измененной ситуации
- Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения
Воспитательные цели:
- Способствовать выработке потребности применения изучаемых фактов
- Воспитывать самостоятельность и творчество
Оборудование: портрет ученого, эпиграф к уроку, модели прямоугольных треугольников, модели чертежей к различным способам доказательства теоремы, искусственная елочка.
После сообщения темы и целей урока 4 ученика подготавливают на доске различные способы доказательства теоремы:
Первый ученик предлагает доказательство, известное задолго до жизни Пифагора:
Прямоугольный треугольник достраивается до квадрата со cтороной (а + b). Площадь этого
квадрата равна (а + b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ?аb, и квадрата со стороной с, поэтому
S = 4 * 1/2 ab + c2 = 2ab + c2.
Таким образом,
(а + b)2 = 2ab + c2, откуда
c2 = a2 + b2
Второй ученик предлагает доказательство Гарфилда.
Сущность его метода состоит в достраивании прямоугольного треугольника до трапеции. Поэтому площадь полученной фигуры можно находить как площадь прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.
Площадь трапеции равна 1/2 (а + b) (а + b), а сумма площадей треугольников 1/2 a b +1/2a b +1/2с2.
Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.
Третий ученик предлагает доказательство методом разложения квадрата на равные части, называемое “колесом с лопастями”.
Здесь О – центр квадрата, построенного на большем катете, пунктирные линии, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.
Четвертый ученик показывает оригинальное доказательство Гофмана, предложенное в 1821 г.
Здесь четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, отнимаем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник АВС, получим 1/2а2 + 1/2b2 = 1/2с2, откуда получаем теорему Пифагора.
Класс повторяет определение прямоугольного треугольника, свойства его сторон и углов, формулы площадей треугольника и трапеции, понятие равновеликих фигур, решает задачи.
Задача 1. На площади устанавливают елку высотой 8 метров. Для этого нужны растяжки из проволоки исходящие от вершины и находящиеся на расстоянии 6 м от основания ёлки. Сколько метров проволоки понадобится на одну растяжку?
Задача 2. Один из катетов равен
, а другой
в 5 раз больше. Найти второй катет, гипотенузу,
площадь треугольника, высоту, проведенную к
гипотенузе.
Прослушиваются доказательства теоремы, каждый ученик выбирает понятное ему и конспектирует.
Ученица сообщает историческую справку о теореме Пифагора и о количестве способов её доказательства.
Учитель знакомит учащихся с дополнительной литературой по теме и предлагает познакомиться с другими способами доказательства, имеющимися в Интернете.
Итоги урока.
1. Вопросы классу:
- для каких треугольников верна теорема Пифагора
- какой способ доказательства наиболее интересен
2. Выставление оценок
3. Домашнее задание