Модуль «МНОГОГРАННИКИ»
Книга для учащегося
Введение
Модуль «Многогранники» предназначен для учащихся профессиональных училищ и лицеев, по профессиям столяр – плотник с получением среднего образования.
Модуль многогранники позволяет изучить и усвоить разделы «Призма» «Пирамида»
Модуль «Многогранники» позволяет изучить и усвоить темы и научиться решать задачи на вычисление площади боковой поверхности, площади полной поверхности призмы и пирамиды, объем многогранников.
Модуль включает в себя описание структуры, необходимые учебные материалы и листы с заданиями для закрепления и проверки степени усвоения материала.
Учебные материалы содержат весь теоретический материал, необходимый при изучении данной темы. К каждому разделу составлены листы с заданиями, которые помогут закрепить учебный материал и проверить степень его усвоения.
При самостоятельной работе с модулем, следует внимательно прочитать раздаточный материал, затем выполнить задания. Задание для проверки степени усвоения материала следует выполнять только тогда, когда изучен весь материал и выполнены все задания по закреплению.
М 1 |
Учебный элемент 1 |
Тема: Понятие многогранника
Результат 1.
Формулировать определение и основные характеристики многогранника, его элементы в соответствии с принятой терминологией.
Критерии оценки результата:
- Определение многогранника дано верно.
- Основные характеристики перечислены верно
Требования к доказательствам
Устное или письменное подтверждение.
Задание №1: Прочитайте, сделайте необходимые записи в тетради
Многогранник – это тело, ограниченное многоугольниками.
Простейшими примерами многогранников являются призмы и пирамиды.
|
|
|
а) пирамида |
б) призма |
в) призма |
Среди всех тел многогранники выделяются тем, что их поверхность состоит из кусков плоскостей, являющихся многоугольниками. Эти многоугольники называются гранями, их стороны граней – ребрами, а вершины ребер – вершинами многогранника.
К многогранникам можно отнести и такие необычные конфигурации.
Может ли многогранник иметь любое количество граней, ребер и вершин? Оказывается нет. Давно было замечено, что между числами граней, ребер и вершин многогранника есть простое соотношение.
Попробуйте заметить его сами, посмотрев на таблицу, в которой указано число граней, ребер и вершин для шести многогранников.
Номер многогранника |
Число |
||
граней |
ребер |
вершин |
|
1 |
8 |
14 |
8 |
2 |
13 |
24 |
13 |
3 |
8 |
18 |
12 |
4 |
60 |
90 |
32 |
5 |
5 |
9 |
6 |
6 |
8 |
12 |
6 |
|
Легко заметить, что сумма числа граней и числа вершин всегда на 2 больше числа ребер. Это наблюдение верно для любого выпуклого многогранника и составляет содержание знаменитой теоремы, доказанной впервые Леонардом Эйлером (1707 – 1783) – швейцарский математик, академик Петербургской Академии наук. В геометрии Эйлер оставил значительный след. Он искал в ней не столько новые изящные факты, сколько общие теоремы, не укладывающиеся в догматику Евклида. Например, теорема о связи между числами вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. Эту формулу знал еще Декарт; но он не оставил ее доказательства. Идеальный математик 18 века – так часто называют Эйлера. |
Теорема:
Пусть Г обозначает число граней, Р – число ребер, В – число вершин выпуклого многогранника. Тогда Г + В = Р + 2.
Проверка степени усвоения материала
№1 Задача:
Подсчитайте число вершин, ребер и граней заданной фигуры и проверьте для этой фигуры справедливость теоремы Эйлера.
а) 
б)
№2 Задача:
Ответьте на вопросы:
- Что такое многогранник?
- Что называется вершиной многогранника?
- Что называется ребром многогранника?
- Что называется боковой гранью многогранника?
- Сформулируйте теорему Эйлера.
№3 Задача:
Напишите названия элементов многоугольника:
|
|
