Задачи на вписанные в треугольник и описанные около треугольника окружности вызывают даже у сильных учащихся затруднения при их решении. Попытка провести классификацию этих задач по содержанию и методам решения привела к положительным результатам. Учащиеся полюбили этот тип задач. Хотим поделиться нашим опытом.
Содержание
- Замечательное открытие: люди изобрели колесо.
- Окружность, описанная около треугольника.
- Окружность, вписанная в треугольник.
- Задачи на вписанные и описанные окружности.
Вавилон
На востоке от Аравийского полуострова с севера на юг текут две большие реки – Евфрат и Тигр. Между ними тянется узкая длинная полоса земли. В древности она называлась Месопотамией, что в переводе означает “ Междуречье’’. Самым известным государством Месопотамии был Вавилон. Земля в Междуречье плодородная, но там не было ни металлов, ни камня, ни леса, чтобы строить дома. Всё это вавилонянам приходилось покупать у других народов. Поэтому Вавилон раньше других стран стал вести большую торговлю. Торговля помогала науке. В математике вавилонские учёные добились больших успехов.
Около шести тысяч лет назад в Вавилоне было сделано замечательное открытие: люди изобрели колесо. Колесо? Что же тут замечательного? Но так кажется только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилось чудо, и на земле исчезли все колёса. Это было бы настоящей катастрофой! Остановятся автомобили и поезда, замрут заводы и фабрики, перестанут давать ток электростанции. Выходит, что неизвестный вавилонский изобретатель первого колеса действительно сделал великое открытие.
Вавилонские инженеры и мастера стали пользоваться блоками. Они поднимали и перетаскивали такие тяжести, справиться с которыми без колеса было бы не под силу. Колесо и рычаг стали первыми настоящими помощниками человека в работе с большими тяжестями.Так изобретение колеса сыграло очень большую роль в истории Вавилона.
Описанные и вписанные окружностиОкружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат в окружности.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.
Теорема. Около любого треугольника можно
описать окружность.
Доказательство: Рассмотрим произвольный В треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=ОВ=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через О все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС.
Вывод: Центр описанной около треугольника окружности лежит А С на пересечении серединных перпендикуляров и расположен:
а) в треугольнике, если он остроугольный;
б) на середине гипотенузы, если он прямоугольный;
в) вне треугольника, если он тупоугольный.
Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника
Рассмотрим задачи на нахождение радиуса описанной около треугольника окружности. (См. Приложение1.)
Вписанные окружностиОкружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.
Теорема. В любой
треугольник можно вписать окружность.
Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим М буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры А К В ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА.
Так как точка О равноудалена A k B от сторон треугольника АВС то ОК = ОL=ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М.
Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ.
Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.
Выводы. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Касательная к окружности (стороны треугольника) перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Вписанная в треугольник окружность
Рассмотрим задачи на нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности.
(См. Приложение 2.)
Задачи на вписанную и описанную окружность. (См. Приложение 3.)