Опыт работы в старших классах показал недостаточность многосторонности задач по геометрии и итогом решением этой проблемы стал задачник по геометрии (порядка 4000 задач), в котором 24 главы. Цель этой статьи - одна из глав книги: “Вписанный и описанный шар”.
Для составления многовариантных заданий при изучении темы “Вписанный и описанный шар” решены задачи в общем виде:
1. Шар вписан в правильную пирамиду – рассматриваются Rшар , r - радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, rсеч – радиус окружности касания боковой поверхности пирамиды и шара, h - высота пирамиды, h1 – апофема, с – длина бокового ребра, a - угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрено 15 вариантов:
(r, Rш), (r, h1), (r, h), (r, a ), (r, rсеч), (Rш, h1), (Rш, h), (Rш, a ), (h1, h), (h1, a ), (h1, rсеч), (h, a ), (h, rсеч), (a , rсеч).
2. Шар вписан в пирамиду, боковые грани которой, равнонаклонены к плоскости основания пирамиды – рассмотрены варианты, когда основание – треугольник, ромб, трапеция – в этих случаях приведена таблица конкретных данных.
3. Сфера описана около правильной пирамиды - рассматриваются, Rсферы - радиус сферы, Rопис.окр -радиус окружности описанной около основания, h1– апофема боковой грани правильной пирамиды, h - высота пирамиды; с – длина бокового ребра; a - угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды, b - угол между боковым ребром и плоскостью основания.
4. Сфера описана около пирамиды боковые ребра которой равны или равнонаклонены к плоскости основания – приведены таблица данных на Rшар , R - радиус окружности, описанной около основания пирамиды, h - высота пирамиды, h1 – апофема, a - угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
5. Шар вписан в конус – рассматриваются Rшар , Rкон - радиус основания конуса, rсеч – радиус окружности касания боковой поверхности пирамиды и шара, h - высота конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрено 15 вариантов - (Rкон, Rшар), (Rкон, a ), (Rкон, l), (Rкон, h), (Rкон, rсеч), (Rшар,a ), (Rшар, l), (Rшар, h), (Rшар, rсеч), (l, a ), (h, a ), (rсеч, a ), (l, h), (l, rсеч), (h, rсеч).
6. Конус вписан в сферу -рассматриваются Rшар , Rкон - радиус основания конуса, d – расстояние от центра сферы до плоскости основания конуса, h - высота конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрены пары (Rкон, Rшар), (Rкон, a ), (Rкон, l), (Rкон, h), (Rкон, d, положение центра шара относительно конуса), (Rшар, a ), (Rшар, l), (Rшар, h), (Rшар, d), (l, a ), (h, a ), (d, a ), (l, h), (l, d), (h, d).
7. Шар вписан в усеченный конус - рассматриваются Rшар , R, r – радиусы нижнего и большего оснований усеченного конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса, rсеч – радиус окружности касания боковой поверхности конуса и шара; с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрены пары - (r, R), (Rшар, R), (R, l), (rсеч, R), (R, a ), (Rшар, l), (Rшар, l), (Rшар, rсеч), (Rшар, a ), (l, rсеч), (l, a ), (rсеч, a ); составлена таблица конкретных числовых данных, в которой участвуют радиус шара, радиусы оснований, образующая, синус угла между образующей и плоскостью основания, поверхность и объем шара и усеченного конуса.
8. Сфера описана около усеченного конуса - рассматриваются Rсферы , R, r – радиусы нижнего и большего оснований усеченного конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса, в отдельных задача вводится положение центра сферы относительно конуса; с учетом когда известны три величины, находятся остальные – всего рассмотрены тройки - (r,R,h), (R, r, a ), (r, R, l), (r, R, Rшар, положение центра сферы), (h, R, Rшар, положение центра сферы) , (l, R, Rшар, положение центра сферы), (a , R, Rшар, положение центра сферы), (h, R, l ), (a , R, h), (a , R, l), (l, h, Rшар ), (a , h, Rшар), (a , l, Rсф ).
На основе полученных таблиц был составлена одна из глав задачника по геометрии, которая называется: Глава 24. Шар и другие тела. Глава состоит из пунктов, в которой в свою очередь есть подпункты.
Далее приведена тематика пунктов и ряд задач.
24.1. Шар вписан в цилиндр
24.1.02. В цилиндр вписан шар. Найти отношение объемов цилиндра и шара.
24.1.03. В цилиндр вписан шар. Найти отношение полной поверхности цилиндра и поверхности шара.
24.2. Сфера описана около цилиндра
24.2.01. В шар объемом Vшар вписан цилиндр, образующая которого видна из центра шара под углом a . Найти объем цилиндра.
24.2.03. Вокруг цилиндра объемом V описан шар. Найдите зависимость радиуса шара от высоты цилиндра и высоту цилиндра, при которой площадь поверхности шара будет наименьшей.
24.3. Сфера и цилиндр
24.3.01. Металлический цилиндр с диаметром основания Dцил и высотой hцил переплавлен в шар. Вычислить радиус этого шара.
24.3.03. В цилиндрический сосуд, радиус основания которого Rцил, помещен шар с радиусом Rшара. В сосуд наливается вода так, что свободная поверхность ее касается поверхности шара (шар при этом не всплывает). Определить толщину того слоя воды, который получится, если шар из сосуда вынуть.
24.4. Шар вписан в конус
24.4.01. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти радиус шара, если радиус основания конуса равен Rкон
24.4.05. В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, вписан шар, объем которого равен Vшара. Найти высоту конуса, если:
24.4.07. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен Vш.
24.4.09 В прямой круговой конус с радиусом основания Rкон вписан шар радиуса Rшар. Вычислить объем конуса.
24.4.14. В конус объемом V вписан шар. Найти радиус окружности касания шаровой и конической поверхности, если радиус основания конуса равен Rкон.
24.4.16. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара относится к площади основания конуса, как m:n. Найти угол при вершине конуса.
24.4.24. Площадь основания конуса Sосн. Площадь боковой поверхности конуса Sбок. Найти радиус вписанной в конус сферы.
24.4.25. Площадь основания конуса равна Sосн, а площадь его полной поверхности равна Sполн. Найти радиус шара, вписанного в конус.
24.4.28. В конус вписан шар. Найти радиус окружности касания шаровой и конической поверхности, если радиус основания конуса равен Rкон, образующая - l.
24.4.34. Около шара радиуса Rшар описан конус, высота которого h. Найти радиус основания конуса и радиус окружности касания шаровой и конической поверхности.
24.4.38. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой касаются конус и шар, равен rсеч. Найти объем конуса, если радиус шара равен Rшара.
24.4.43. Образующая прямого конуса равна lкон , радиус окружности касания конической и шаровой поверхности равен rсеч. Найти площадь боковой поверхности конуса.
24.5. Сфера описана около конуса
24.5.02. Около конуса описана сфера. Найти радиус сферы, если известны радиус основания конуса - Rкон и угол a между образующей и плоскостью основания конуса.
24.5.03. Определить радиус сферы, описанной около конуса, у которого радиус основания равен Rкон, а образующая равна l:
24.5.04. Определить поверхность сферы, описанной около конуса, у которого радиус основания равен Rкон, а высота равна h:
24.5.06. В сферу вписан конус, объем которого в t раза меньше объема шара. Высота конуса равна h. Найти объем шара.
24.5.07. В сферу вписан конус. Найти высоту и образующую конуса, если известен радиус основания конуса Rкон и расстояние d от центра сферы до плоскости основания конуса.
24.5.12. Сфера радиуса Rсф описана около конуса. Найти площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна h:
24.5.16. Сфера описана около конуса. Найти радиус сферы, если угол между образующей конуса и его плоскостью основания равен a и расстояние от центра сферы до плоскости основания равен d:
24.5.17. Сфера описана около конуса, высота которого равна h, образующая - l. Найти расстояние от центра сферы до плоскости основания.
24.5.18. Сфера описана около конуса. Найти радиус сферы и основания конуса, если образующая конуса равна l и расстояние от центра сферы до плоскости основания d, причем известно положение центра сферы по отношению к конусу.
24.5.19. Сфера описана около конуса. Найти радиус основания конуса, если высота конуса равна h и расстояние от центра сферы до плоскости основания равен d.
24.6. Шар и конус
24.6.03. Тело состоит из двух конусов, имеющих общее основание и расположенных по разные стороны от плоскости основания. Найти радиус шара, вписанного в тело, если радиусы оснований конусов равны Rкон, а высоты h1 и h2.
24.6.04. Конус высотой h и углом между образующей и высотой, равным a , рассекается сферической поверхностью с центром в вершине конуса на две части. Каким должен быть радиус этой сферы, чтобы конус разбивался этой сферой на две равновеликие части?
24.7. Шар вписан в усеченный конус
24.7.02. Сфера вписана в усеченный конус, радиусы оснований которого R и r. Найти отношение площади сферы к площади боковой поверхности усеченного конуса.
24.7.03. Около шара описан усеченный конус. Найти радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса, если радиус большего основания конуса R и образующая равна l/
24.7.05. Около шара описан усеченный конус. Радиус большего основания конуса R и радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса равен rсеч. Найти радиус шара и радиус верхнего основания усеченного конуса.
24.7.10. Шар, поверхность которого равна S, вписан в усеченный конус. Угол между образующей конуса и его большим основанием равен a . Вычислить боковую поверхность этого конуса.
24.7.11. Около шара описан усеченный конус. Образующая конуса равна l и радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса равен rсеч. Найти радиус шара и радиусы оснований усеченного конуса.
24.8. Сфера описана около усеченного конуса
24.8.01. Шар описан около усеченного конуса. Найти объем шара и соответствующих шаровых сегментов ограниченных основаниями конуса, если радиусы основания конуса R и r, высота конуса - h.
24.8.04. Сфера описана около усеченного конуса. Найти объем усеченного конуса, если радиусы основания конуса R и r, радиус сферы – Rcф (рассмотреть два случая).
24.8.06. Известно, что центр сфера описаной около усеченного конуса расположен вне конуса. Найти объем усеченного конуса, если радиус большего основания конуса R, образующая конуса l, радиус сферы – Rcф.
24.8.07. Cфера описана около усеченного конуса. Определить положение центра сферы, если радиус большего основания конуса R, образующая конуса l, высота конуса – h.
24.8.08. Найти радиус сферы описаной около усеченного конуса, если радиус большего основания конуса R, образующая конуса l, угол между образующей и плоскостью основания равен a .
24.8.09. Найти радиусы оснований усеченного конуса, если образующая конуса l, высота h, причем радиус сферы описанной около этого конуса равен Rсф.
24.8.10. Найти объем усеченного конуса, вписанного в сферу, если образующая конуса l, угол между образующей и плоскостью основания равен a , радиус сферы описанной около этого конуса равен Rсф.
24.9. Шар вписан в пирамиду
В задачах 24.9.01 – 24.9.19. будут известны два из Rшар, а, с, h, h1, a , b , rсеч и необходимо найти остальные (кроме углов).
24.9.01. Известны r и Rшар.
24.9.02. Известны r и h1.
24.9.03. Известны r и h.
24.9.20. Найти полную поверхность шара, вписанную в треугольную пирамиду, все ребра которой равны а.
24.9.22. Шар радиусом R вписан в правильную треугольную пирамиду. Найти объем пирамиды, если известно, что апофема видна из центра шара под углом a .
24.10. Сфера описана около пирамиды
В задачах 24.10.01 – 24.10.16. будут известны два из Rсферы, а (Rопис.окр), с, h, h1, a , b и необходимо найти остальные (кроме углов).
24.10.01. Известны Rопис.окр и Rсферы.
24.10.09. Известны Rсферы и h.
24.10.14. Известны h1 и b .
24.10.17. Около правильной треугольной пирамиды с боковым ребром с описана сфера. Найти радиус сферы, если сторона основания равна а. Выяснить положение центра сферы по отношению к пирамиде.
24.10.18. Около правильной треугольной пирамиды описана сфера. Найти радиус сферы, если апофема равна h1 и высота пирамиды равна h.
24.10.19. Около правильной треугольной пирамиды с боковым ребром с описан шар. Найти площадь поверхности шара и объем пирамиды, если боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания пирамиды угол b .
24.10.20. Найти радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, если ее объем равен Vпир, а высота h.
24.10.21. В сферу, радиус которой равен Rсфера, вписана правильная треугольная пирамида. Высота пирамиды в t больше стороны основания. Найти сторону основания и объем пирамиды.
22.10.45. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, равен Rсферы, радиус вписанного шара равен rшар. Найти высоту, стороны основания, боковое ребро и апофему данной пирамиды.
24.10.46. Радиус сферы описанной около правильной четырехугольной пирамиды равен Rсферы, радиус вписанного шара равен rшара. Найти высоту, ребра и объем пирамиды, угол между апофемой и плоскостью основания, если центр сферы и шара совпадают.
Боковые ребра равны или равнонаклонены к плоскости основания
24.10.48. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами а и в, а все боковые ребра наклонены к плоскости основания под равными углами. Радиус сферы, описанной вокруг данной пирамиды равен Rсферы. Найдите высоту пирамиды.
24.10.49. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной а. Одна из боковых граней представляет собой такой же треугольник, при этом она перпендикулярна плоскости основания. Найдите радиус сферы, описанной вокруг пирамиды.
Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания
24.10.53. Основанием пирамиды МАВС является треугольник. Найти высоту пирамиды, если радиус сферы, описанной около пирамиды равен Rсферы и одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
24.10.54. В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а. Одна из боковых граней представляет собой такой же треугольник, к тому же она перпендикулярна плоскости основания. Две другие грани также являются прямоугольными треугольниками. Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды.
24.10.56. В сферу радиуса Rсфера вписана правильная шестиугольная усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Определить объем пирамиды
24.10.58. Основанием пирамиды МАВСD является трапеция. Найти объем пирамиды, если радиус сферы, описанной около пирамиды равен Rсферы и одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
24.11. Сфера и пирамида (другие случаи)
24.11.01. Шар касается двух граней и одного ребра правильного тетраэдра с ребром в. Найдите радиус шара.
24.11.02. Около шара описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой стороны оснований относятся, как т : п. Определить отношение объемов пирамиды и шара.