Цели:
Образовательная. Упрочить, углубить знания и умения решать уравнения с параметрами.
Развивающая: Продолжить работу над развитием активного мышления, аналитических и исследовательских способностей учащихся.
Воспитательная: Содействовать формированию у каждого учащегося внимания, самостоятельности и аккуратности в действиях и выкладках.
Девиз урока: «Важнейшая задача математики научить цивилизацию мыслить».
В. Эдисон
I. Подготовка к уроку-семинару.
На подготовку к семинару отводится 1,5 недели, т.к. задания сложные и нет их в учебниках, а они нужны для тех, кто готовится сдавать математику в вуз.
1. Всем учащимся даются задания.
1. а) Вспомнить определение уравнений и уравнения с параметром.
б) Вспомнить условие нахождения контрольного значения параметра.
2. Записать в тетради по одному простейшему примеру линейного, квадратного, тригонометрического, иррационального, показательного и логарифмического уравнения с параметром.
3.Указать при каких значениях а уравнения имеют решения.
а) (a-1)x = 2 б) xІ+4ax-a=0 в) sin 2x = a-1 г)= 2 д)
= 1
2. Сообщается план семинара:
1. а) Устная работа с классом по теоретическому материалу.
б) Выступление ученика о решении уравнений вида f(x,a) = 0
2. Решение линейных, квадратных и простейших тригонометрических уравнений с параметром.
3. Решение тригонометрических и показательных уравнений, приводящих к предыдущим типам уравнений с параметрами.
4. Решение параметрических уравнений с помощью свойств и графика функции y=f(x).
5. Решение уравнения f(x) = а различными способами.
II. Организация урока - семинара.
Класс разбивается на 4 группы по 3 человека. Каждая группа получает одно из 2-5 заданий, перечисленных в планах семинара, и при подготовке к семинару прорабатывает соответствующие разделы пособия: глава VII §4 В.С.Крамор 1, М.И.Яковлев 3, сборника для письменного экзамена по математике в 11 классе, используют дополнительную литературу, получает консультацию учителя.
Учащиеся перед уроком сдают домашнюю работу на проверку консультантам (4 учащимся, у которых учитель проверил работу накануне урока- семинара).
III. Ход урока
Слово учителя о необходимости научиться решать уравнения с параметрами, т.к. при их решении учащиеся учатся обобщать, анализировать своё логическое мышление, которое необходимо в повседневной жизни. Девизом к уроку служат слова В. Эдисона «Важнейшая задача математики научить цивилизацию мыслить».
а) Устная работа с классом.
Учитель. Чем отличаются две группы уравнений (записать задание на доске из примеров домашней работы)?
| I. | II. |
| а) 5x+1=x | a) 5x+1=a |
| б) 2xІ+3x-5=0 | б) 2xІ+ax-5=0 |
| в) sin 2x = 1/2 | в) sin 2x = a/2 |
г)  = 2 |
г) loga (x-2) = 1/2 |
д)  = 4 |
д)  = 4 |
Ученик. В группе I подобраны элементарные линейные, квадратные, тригонометрические, показательные и иррациональные уравнения. Во второй группе приведены примеры уравнений такого же вида, но в них наряду с переменной х, есть ещё переменная а.
Учитель. Как называют такую переменную а, чем её обычно заменяют, чтобы получить уравнения I группы?
Ученик. Переменную а называют параметром, она обычно выражает какое-то число, если в уравнении б) II группы взять а=3, то получиться уравнение б) I группы.
Учитель. Как называются уравнения в группе II?
Ученик. Уравнения с параметром а и переменной х.
Учитель. Как в общем виде можно записать уравнения I и II группе.
Ученик (записывает на доске, учащиеся в тетрадях).
F(x)=0 – уравнение с переменной х.
F(x;a)=0 – уравнение с переменной х и параметром а.
Учитель. Что значит решить уравнение f(x)=0 и f(x;a)=0?
Ученик. Решить уравнение f(x)=0, значит, найти такие значения х0, при которых равенство F(х0)=0 обращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение f(x;a)=0 – это, значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющими этому уравнению.
Учитель. Каждое уравнение группы II представляет собой множество уравнений в зависимости от параметра а. Как можно решить это уравнение?
б) Выступление ученика, предварительно готовившегося к этому вопросу.
Чтобы решить уравнение с параметром f(x;a)=0, надо по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех действительных разделов параметра а на подмножества и решить данное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра а на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра а, при переходе через которые происходит качественное изменение уравнений. Такие значения параметра будем называть контрольными.
| уравнения | контрольные значения параметра |
| 1. a(a-1)x = a-1 2. (a+1)xІ+3x-4=0 3. loga(xІ-3x-4)=1 |
a=0, a=1 a=-1 и те а, где D=0,при а?-1 а=0, а<0, а=1, при таких а уравнение не имеет смысла |
Например: записать на доске
Алгоритма решения всех уравнений с параметром не существует, каждый раз надо думать над выбором контрольных значений параметра в зависимости от вида решаемого уравнения, но многие из них сводятся к решению линейного и квадратного уравнений плюс свойства функций: тригонометрических, логарифмических, показательных, иррациональных.
При решении задач с параметрами решаются не только задачи «Решить уравнения», но и такие как: «Указать значения параметра а, при которых данное уравнение имеет один, два, три и т.д. корней». Такие задачи иногда удобно решать графически, представив уравнение f(x;a)=0 к виду f(x)=а.
3. Решение линейных, квадратных и простейших тригонометрических уравнений
Итог урока:
- Исследовали решение линейных и квадратных уравнений с параметрами.
- На примерах убедились в справедливости гипотезы, что многие уравнения с параметрами решаются как линейные и квадратные уравнения с параметрами с учётом свойств функций, входящих в эти уравнения.
- При решении более сложных уравнений с параметрами для показательной, логарифмической, тригонометрической, иррациональной функции повторили их свойства.
- Повторили построение графика функции через производную, обобщённую теорему Виета для кубического уравнения, условие тождественного равенства многочленов, решение системы уравнений с тремя неизвестными.
Какие способы решения последнего уравнения вам понравились?
Какие выводы для себя сделали?
- Надо знать хорошо решение всех видов уравнений, изучаемых в школьной программе, чтобы проводить исследования при решении уравнений с параметрами.
- Очень важно заниматься дополнительно по математике, чтобы чаще встречаться с замечательными теоремами, которые помогают выбирать более рациональные способы решения уравнений.
- Решение уравнений с параметрами действительно заставляют активно мыслить, обобщать знания, т.е. девиз урока прослеживался при решении каждого уравнения, т.к. никто не оставался в стороне, все учились правильно мыслить. Прав Эдисон в том, что «Важнейшая задача математики научить цивилизацию мыслить». Выставляю оценки за урок.
Задание на дом.
Любыми 2 способами решить задачу: Определить, при каких значениях а уравнение х3-3х2-24х+а=0 имеет ровно два различных корня.
Приготовить и решить карточку с уравнением с параметрами, используя для этого дополнительную литературу.
Использовалась литература.
1. В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем курс математики».гл.VII §4
2. М.И. Сканави «Сборник задач по математике для поступающих в вузы»
3. М.Н. Яковлев «Сборник задач по математике для поступающих в вузы»
4. Н.Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ» гл. VIII §6
5. В.П. Дорофеев «Сборник для письменного экзамена по математике в 11 классе»
6. М.В. Гусев «Математика» справочный материал.