Урок алгебры в 9-м классе по теме: "Формулы приведения"

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цели урока:

• познакомить учащихся с еще одной группой формул тригонометрических функций – формулами приведения с помощью самостоятельного вывода этих формул для подтверждения мнемонического правила для этих формул к преобразованию тригонометрических выражений;
• развивать логическое мышление и математическую речь учащихся;
• воспитывать самостоятельность, ответственность, взаимопомощь и чувство коллективизма.

Оборудование: Рабочие тетради, карточки с цифровым диктантом, цветные карточки для формирования групп, карточки с номерами групп.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах постоянного и сменного составов.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Цифровой диктант.

3. Изучение нового материала (работа в группах).

4. Закрепление. Дидактическая игра: “Снежный ком” (работа в группах сменного состава).

5. Домашнее задание.

6. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Изучая, главу: “Тригонометрические выражения и их преобразования” вы познакомились с различными группами тригонометрических формул и их применением для преобразования выражений.

Кто из вас может перечислить эти группы? (Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного и половинного аргументов, формулы суммы и разности тригонометрических функций).

Сегодня вам предстоит познакомиться с ещё одной группой, которая называется: “Формулы приведения”.

Как, вы думаете, зачем в тригонометрии требуется такое количество формул?

Для чего они нам нужны? (для преобразования выражений, которые требуются

для решения тригонометрических уравнений и неравенств).

Вы уже по собственному опыту знаете, что для вывода одной группы формул требуется знания других групп тригонометрических формул. Поэтому прежде, чем приступить к выводу новых формул, я хочу проверить, как хорошо вы знаете формулы предыдущих групп.

II. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала:

Цифровой диктант.

(напротив каждого из равенств поставьте 1- верно, 0 - ложь).

Два учащихся с каждого варианта приглашаются к доске для подробного комментирования формул. В это время ученики на местах проверяют свои работы и выставляют себе оценки (10-9 правильных ответов – оценка “5”, 8-7-“4”, 6-5-“3”, менее 5 правильных ответов – “2”).

III. Изучение нового материала.

1. Формулами приведения называют формулы, позволяющие привести аргументы -, , -, + , , 2-, 2+, , 3±, …к аргументу .

Так как значения синуса и косинуса не изменяются от прибавления (вычитания) 2П к аргументу, то sin (cos) любого из указанных выше аргументов нетрудно свести к sin (cos) аргументов ±, которые можно привести к аргументу , применяя формулы sin (cos) суммы (разности) двух углов.

Например, нужно найти значение sin siп =sin.

Cos (27 ± ) = cos(26 + ± ) = cos ( ± ).

И каждое из этих аргументов можно привести к аргументу , с помощью формул приведения.

Начнем: sin= sin cos + sin cos=1· cos + sin ·0 = cos cos(+ ) = cos? cos – sin sin = -1· cos - 0· sin = - cos .

2. С помощью цветных карточек, которые раздаются ученикам, при входе в кабинет разделить ребят на пять групп, при этом присвоить каждому участнику группы порядковый номер от 1 до 5.

Вывод формул для аргументов , , + , - .

Каждой группе предлагается вывести формулы приведения тригонометрических функций для аргументов

• – I группа,
• - – II группа,
• + – III группа,
• - – IV группа.

Которые они записывают на доске. Для пятой группы дается задание, с помощью формул сложения, найти значения:

Sin.

Cos

tg

3. Каждая из пяти групп для вывода формул и вычисления значений функций использовали формулы сложения. Обратите внимание на формулы полученные 1, 2, 3 и 4 группами. Как вы думаете, где ими можно воспользоваться? Можно их было использовать для выполнения задания 5-й группы? Как?

sin 1 способ

sin sin 2 способ

cos 1 способ

cos 2 способ

tg 1 способ

tg 2 способ

4. Но полученными формулами можно воспользоваться и для вывода формул тригонометрических функций, у которых аргумент , 2 ± .

cos .

sin (2-) =sin (+(-))=-sin(-) = -sin .

Остальные формулы предложить вывести группам.

• - 1 группе,
• - 2 группе,
• 2+ - 3 группе,
• 2- - 4 группе.

Задание 5 группе.

Воспользуйтесь формулами, указанными на доске для нахождения значений выражений:

cos = cos= cos = -cos = - = cos =

sin

tg

5. Я думаю, что вы уже догадались, что формулами, выведенными 1, 2, 3 и 4 группами можно было упростить работу 5 группы.

Кто из вас готов это сделать?

cos .

sin .

sin.

tg .

tg .

6. Все формулы приведения можно запомнить с помощью следующего мнемонтического правила.

1) Если первое слагаемое аргумента или , то в правой части формулы надо заменить синус на косинус (косинус на синус). Если первое слагаемое аргумента , то менять не надо.

2) В первой части формулы надо поставить знак “-” , только если значение синуса (косинуса) в левой части формулы отрицательно, при условии, что – острый угол.

Известен и менее формальный вариант этого правила – “лошадиное правило”.

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа на вопрос 1, смотрел на свою ученую лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента . Если лошадь кивала головой вдоль оси Оу, то математик считал, что получен ответ “да, менять”, если вдоль по оси Ох, то “нет, не менять”.

Можно посоветовать учащимся самим кивать головой вдоль той оси координат, которой принадлежит точка, соответствующая первому слагаемому аргумента. Так они получат ответ на вопрос 1.

Пример 1. Найдите значение выражения.

Sin (- 225^o)= - sin 225^o = - sin(180^o +45^o) = -(-sin45^o) = sin 45^o =

Пример 2. tg =3. Найдите .

.

Ответ: - .

Пример 3. Упростите выражение:

cos

IV. Закрепление нового материала

Дидактическая игра “Снежный ком” (работа в группах).

Выполненные задания оформляются на доске.

• I группа № 512
• II группа № 513
• III группа № 515 (стр118-119).
• IV группа № 517
• V группа № 523 (а)

№ 512 . Приведите к тригонометрической функции угла из промежутка .

а) сos 0.7 = cos(0.5 + 0.2) = - sin 0.2

cos 0.7 = cos( -0.3) = -cos 0,3.

б) ctg

в) sin 1,6 = sin(2-0,4) = - sin 0,4.

г) tg .

№ 513 . Приведите к тригонометрической функции угла от 0^o до 90^o:

а) tg137^o= tg (90^o = 47^o) = - ctg 47^o = - tg 43^o.

б) sin (-178^o) =- sin (180^o - 2^o) =-sin2^o = - cos 78^o.

в) sin 680^o = sin (720^o - 40^o) = - 40^o.

г) cos (-1000^o) = cos (1080^o - 80^o) = cos 80^o.

№ 515. Найдите значение выражения:

а) sin 240^o = sin (180^o+60^o)= - sin 60є = - .

в) tg 300^o = tg (360^o - 60^o) = - tg 60є = - .

д) ctg (- 225^o) = - ctg (180^o +45^o) = - ctg 45^o = -1.

№ 517. Упростите выражения:

а) sin

б) cos (+) = cos (-) = - cos .

в) ctg (-360^o) = - ctg (360^o-) = ctg .

г) tg (- + 270^o) = tg (270^o - ) = ctg .

№ 523 Преобразуйте выражение:

а) .

б) .

Происходит смена составов групп.

Ученики собираются в группы, в соответствии своему порядковому номеру. Каждый участник группы рассказывает своим товарищам задание, которые они разбирали в предыдущей группе. В результате у каждого ученика должно быть выполнено по 5 заданий.

V. Домашнее задание п. 22 стр. 114–117. № 509, 522.

VI. Итог урока.

Каждой группе при закреплении нового материала выставляется оценка за первое задание по результатам проверки у доски. (Ученики той группы, которая защищает свою работу, могут дополнить своего товарища, повышая свою оценку).

Фронтальный опрос:

С чем, вы, познакомились сегодня на уроке?

Для чего нужны эти формулы?

Что упрощает их запоминание?

Что наиболее сложным оказалось для вас?

На что нужно обращать внимание при выполнении этой операции?

Проверочная работа (при наличии времени).

№№ 515, 516

б) I вариант

в) II вариант

г) III вариант

е) IV вариант