Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами

Разделы: Информатика

Тип урока: Изучение и закрепление новых знаний.

Вид занятия: практическая работа с использованием компьютера.

Продолжительность занятия: два урока.

Цель: Научиться решать уравнения с заданной точностью на заданном отрезке.

Задачи:

  • развитие исследовательской, познавательной деятельности учащихся;
  • развитие умений использовать различные программные средства при решении одной задачи;
  • развитие коммуникативных способностей учащихся.

Методы обучения: наглядный, исследовательский, практический.

Оборудование:

  • компьютер;
  • локальная сеть;
  • проектор.

Программное обеспечение:

  1. Операционная система Windows;
  2. Microsoft Excel из пакета Microsoft Office;
  3. Microsoft Visual Basic 6.0.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Создание проблемной ситуации.
  3. Использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах.
  4. Изучение метода половинного деления при решении уравнений.
  5. Моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления.
  6. Моделирование проекта “Приближенное решение уравнения” на объектно-ориентированном языке Visual Basic 6.0.
  7. Компьютерный эксперимент.
  8. Анализ полученных результатов.
  9. Подведение итогов урока.

Урок 1.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учителя.

2. Создание проблемной ситуации.

– Сегодня нам предстоит решить задачу нахождения приближенного корня уравнения cos(x)=x, используя различные программные средства. Запишите тему урока: “Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами.”

– Пока вы не знаете никаких математических приемов решения этого уравнения, но знаете программу, в которой можно приближенно решить его графическим способом. Какая это программа? (Microsoft Excel.)

3. Использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах.

– В чем смысл метода? (Нужно построить график функции y = cos(x)–x на некотором отрезке, абсцисса точки пересечения графика с осью OX является корнем уравнения cos(x)=x.)

– Что нужно определить для построения графика? (Отрезок, на котором существует корень.)

– Сделайте это математическим методом. (Множеством значений левой части уравнения, функции y = cos(x), является отрезок [-1; 1]. Поэтому уравнение может иметь корень только на этом отрезке.)

– Итак, найдите приближенный корень уравнения cos(x)=x на отрезке [-1; 1] с шагом, например, 0,1 в программе Microsoft Excel.

Рисунок 1

– Приближенный корень уравнения х=0,75. Однако это приближение не обладает высокой точностью. Для нахождения приближенного корня уравнения с указанной заранее точностью используются математические методы, в частности, метод половинного деления.

4. Изучение метода половинного деления при решении уравнений.

Рассмотрим непрерывную функцию f(х), такую, что корень данного уравнения является точкой пересечения графика этой функции с осью ОХ.

Идея метода половинного деления состоит в сведении первоначального отрезка [а; b], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности h.

Процесс сводится к последовательному делению отрезка пополам точкой с=(а+b)/2 и отбрасыванию половины отрезка ([a; c] или [c; b]), на которой корня нет. Выбирается тот отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, т.е. произведение этих значений отрицательно. Функция на этом отрезке пересекает ось абсцисс. Концам этого отрезка вновь присваивают обозначения a, b.

Это деление продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности, т.е. пока не выполнится неравенство (b-a)/2<h. Деление такого отрезка пополам даст значение корня х=(а+b)/2 с заданной точностью.

(Вывести полученное изображение графика через проектор на экран, обсудить, какие отрезки нужно выбирать при заданной точности 0,5. Вывод: Приближенный корень уравнения х=0,75 найден с точностью 0,5.)

– Теперь найдем корень уравнения cos(x)=x с точностью 0,001. Решим поставленную задачу с использованием Microsoft Excel.

5. Моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления.

(Построение макета листа ведется совместно с учениками)

Исходные значения границ отрезка a и b запишем в ячейки А4 и В4, в ячейке С4 получим середину заданного отрезка, в ячейках D4 и Е4 – значения функции f(х) на концах отрезка [a; c], в ячейке F4 будем определять длину отрезка [а; b], необходимую точность укажем в ячейке H4. В ячейку G4 запишем формулу нахождения корня по правилу: если длина текущего отрезка соответствует требуемой точности, то в качестве корня уравнения примем значение середины этого отрезка. Мы уже знаем, что корень в нашем случае не найдется за один шаг, поэтому чтобы при копировании формулы из ячейки G4 адрес ячейки Н4 не менялся используем абсолютную адресацию.

В пятой строке запишем значения, полученные после первого шага деления исходного отрезка пополам. В ячейки А5 и В5 нужно вписать формулы определения границ нового отрезка. В ячейки С4, D4, E4, F4, G4 формулы копируются из ячеек С5, D5, E5, F5, G5 соответственно.

Таким образом, в режиме формул лист электронной таблицы примет следующий вид:

Рисунок 2

Далее нужно будет копировать формулы в очередную строку до тех пор, пока в столбце G не появится искомое значение корня.

Урок 2.

6. Моделирование проекта “Приближенное решение уравнения” на объектно-ориентированном языке Visual Basic 6.0.

(Построение макета формы и написание программного кода ведется учащимися самостоятельно: индивидуально или в группах)

Форма:

Рисунок 3

Программный код для кнопки Корень уравнения cos(x)=x:

Private Sub Command1_Click()

a = Val(Text1)

b = Val(Text2)

e = Val(Text3)

While (b - a) / 2 >= e

c = (a + b) / 2

fa = Cos(a) - a

fc = Cos(c) - c

If fa * fc < 0 Then b = c Else a = c

Wend

Text4 = (a + b) / 2

End Sub

7. Компьютерный эксперимент.

(Учащиеся выполняют проект в электронных таблицах, выписывают результат в тетрадь. Затем выполняют проект на языке Visual Basic, выписывают результат в тетрадь.)

Проект в электронных таблицах – Приложение 1.

Проект на языке Visual Basic – Приложение 2.

8. Анализ полученных результатов.

(Учащиеся делают вывод, что результаты решения уравнения cos(x)=x, полученные с использованием разных инструментальных средств, одинаковые.)

9. Подведение итогов урока.