Цель урока:
- Повторить понятия: “уравнение, корень уравнения”.
- Рассмотреть новый тип уравнения.
- Закрепить навыки решения неполных квадратных уравнений.
- Вызвать интерес к решению квадратных уравнений.
- Решить полные квадратные уравнения известными способами.
I. Повторение
На доске следующая запись:
| ¦x¦= 4; | x2 = 169; |  = 4; |
x2+5 = 0; |  = 0 |
| ¦x-3,5¦ > 4; |  = -3; |
x(x-3) = 0; | 2(x+3)+1 = 0; | ¦1+x¦= -2; |
| (2x-1)2 = 4x2-4x-1; | (5+x) / (1+x2) = 0. |
Ребята говорят, что они увидели на доске.
– Все уравнения. Одно лишнее неравенство, его можно убрать. (2x-1)2=4x2-4x+1
– Есть тождество, только оно записано с ошибкой, его можно убрать.
– Остальные уравнения. Одно уравнение дробное.
Учитель: Как его можно решить?
– Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому корень уравнения x = -5.
Учитель: Что называется уравнением? Корнем уравнения? Ребята отвечают.
– Все уравнения можно разбить на группы: те, которые имеют корни и не имеют корней.
Учитель: Решим все уравнения.
II. Тема урока.
Решим задачу. Найти периметр прямоугольника, если длина на 4 см. больше ширины, а площадь равна 12 см2.
Решение:
ширина длина площадь x см. (x+4) см. x(x+4) см2.
По условию x(x+4) = 12, x2+4x-12 = 0.
Как решить это уравнение? Какой степени трехчлен? Умеем ли мы решать уравнения второй степени? Проблема?
– Да, нет.
Учитель: На доске записаны уравнения второй степени и называются они квадратными.
x2+3x = 0 2x2+4x+5 = 0 x2-x-6 = 0 4-3x2 = 0 x-2x2 = 0 5x2 = 0 2x2+5 = 0 -5x2-3x+6 = 0 1/2x2 = 0 4x2-1 = 0 3x+5 = 0 x2+4x-12 = 0
Учитель: Посмотрите на доску внимательно и попытайтесь разбить эти уравнения
на 4 группы
– Здесь не все уравнения квадратные. Уравнение 3x+5 = 0 лишнее, оно линейное.
I II III IV 5x2 = 0 4-3x2 = 0 x2+3x = 0 2x2+4x+5 = 0 1/2x2 = 0 2x2+5 = 0 x2-2x = 0 x2-x-6 = 0 4x2-1 = 0 -5x2-3x+6 = 0 x2+4x-12 = 0
Допишем уравнения в каждую группу до четырех.
-3x2 = 0 5-x2 = 0 4x-x2 = 0 0,5x2 = 0 x2-4x = 0
Учитель: Какие уравнения мы уже решали?
– Уравнения I, II, III группы.
Ребята устно решают уравнения.
Учитель: Ребята, уравнения вида ax2 = b научил решать Диофант Александрийский (в III в.) в дошедших до нас шести из 13 книг “Арифметика”.
Решение уравнений вида ax2+bx = 0, ax2+bx+c = 0 разъяснил индийский ученый Брахмагупта (в VII веке), но он работал тогда только с положительными числами, а отрицательных чисел не признавал. Общее правило решения квадратных уравнений дали Декарт, Ньютон. Франсуа Виет в 1591 г. вывел зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов. С помощью теоремы Виета мы будем решать многие квадратные уравнения.
Учитель: Ребята, попробуем дать определение квадратному уравнению.
Уравнение вида ax2+bx+c = 0, где a, b, c – числа, a ? 0, x – переменная, называется квадратным.
Учитель: Чем отличаются полные уравнения от приведенных? Ребята отвечают.
Как решить уравнение x2-4x+4 = 0?
– В левой части – квадрат разности (x-2)2 = 0, x = 2.
– Можно его решить x2 = 4x-4.
Учитель: Решим уравнение 1) x2-4x+3 = 0.
– x2-4x+4-1 = (x-2)-1 = 0, (x-2)2 = 1,
Учитель: x2-4x+3 = 0, его корни 3 и -3. Как связать корни 3 и -3, с коэффициентами -4 и 3.
– Произведение 3*1 = 3, а сумма 3+1 = 4.
Учитель: Постараемся решить этим способом уравнение x+4x-12 = 0. Подберем числа.
– Это -6 и 2. Уравнение имеет 2 корня x = 2; x = -6.
Учитель: Вернемся к задаче, x – ширина прямоугольника, значит значение -6 не
удовлетворяет условию задачи. И так, ширина 2 см., длина 6 см. А как решить
уравнение 2x2+4x+5 = 0? Проблема? Ее решим на следующем уроке.
III. Дома:
Решить уравнения: x2-6x+5 = 0; x2+5x+6 = 0; x2-5x+5 = 0.
IV. Итог урока.
Учитель: Что нового узнали на уроке? Чем будем заниматься на следующем уроке?
– Узнали, что есть квадратные уравнения.
– Их решают уже более тысячу лет.
– С их помощью можно решать задачи.
– На следующем уроке будем решать другие уравнения.
– Мы еще не научились решать уравнения 2x2+4x+5 = 0.