Педагогика сотрудничества и разноуровневое обучение на уроках математики

Разделы: Математика

Тема раздела: “Формулы сокращённого умножения”

Тема урока: “Квадрат суммы и квадрат разности”

Тип урока: урок изучения нового материала, урок рассчитан на 80 минут.

Применяемая технология: обучение в сотрудничестве, уровневая дифференциация, исследовательская деятельность.

Цель урока:

  1. Вывести формулы (а + b)2 и (а – b)2.
  2. Развивать правильную математическую речь, умение слушать, сравнивать, делать выводы.
  3. Воспитывать культуру общения, культуру речи, умение работать в группе и паре.

Учащиеся должны знать:

  • формулы квадрат суммы и разности, записанные буквами;
  • словесные формулировки этих формул;
  • доказательство формул (а +b)2 и (а – b)2.

Учащиеся должны уметь:

1 уровень

  • записывать соответствующую формулу;
  • читать ее, различать ее среди других;
  • преобразовывать квадраты суммы и разности двух выражений в многочлен по формулам (а + b)2 и (а – b)2;

2 уровень

  • уметь применять знания в стандартной и измененной ситуации;

3 уровень

  • уметь доказывать формулы (а + b)2 и (а – b)2.

План урока

1.

1. 0. Проверка готовности учащихся к уроку, положительный эмоциональный настрой.

1. 1. Подготовка к восприятию.

Беседа о теме “Формулы сокращенного умножения”

а) количество часов на тему;
б) знания и умения, которыми должны овладеть к концу темы;
в) примерная дата выходного контроля по теме.

1. 2. Мотивация. Выработка целей урока, сообщение содержания учебной деятельности на уроке.

1. 3. Актуализация опорных знаний. Устная работа.

1. 4. Изучение нового материала.

Работа в группах.

Анализ полученных результатов работы в группах.

2.

2. 1. Первичное закрепление знаний. Проверка уровня обучаемости.

2. 2. Коррекция

2. 3. Самостоятельная работа в группах, самоконтроль и взаимоконтроль.

3.

3. 1. Закрепление. Уровневый тест по вариантам.

3. 2. Контроль.

3. 3. Коррекция.

3. 4 Подведение итогов урока.

4. Домашнее задание.

Ход урока

Учитель: “Продолжаем изучать тему “Умножение многочленов”. Ещё в глубокой древности было замечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращенного умножения. Их несколько. Сегодня на уроке нам предстоит сыграть роль исследователей и “открыть” две из них. Попробуйте сформулировать тему нашего сегодняшнего урока”.

Ответ: тема урока “Формулы сокращенного умножения”.

- Итак, давайте поставим перед собой задачи урока?

Ответ: узнать формулы сокращённого умножения, научиться их записывать, читать, проговаривать и пользоваться ими при умножении многочленов.

- Правильно, учебная задача нашего урока научиться умножать некоторые многочлены быстрее и короче, чем мы уже умеем делать. Ещё необходимо продолжить работу над правильной математической речью, культурой общения друг с другом.

Для достижения целей урока нам необходимо:

1. Выполнить устную работу.

2. Объединиться в группы и провести исследование заданий, сравнить полученные результаты, сделать вывод и записать получившиеся формулы.

3. Работая в группах, научиться пользоваться этими формулами.

4. Написать уровневый контрольный тест по вариантам, который позволит, вам оценить на каком уровне вы усвоили информацию и поняли данный материал.

Работа по достижению целей начинается с устных заданий, которые служат итогом подготовительных упражнений, предлагавшихся школьникам на предыдущих уроках. Задания подготовлены на доске. В формулировках заданий выделены важные термины.

Задача: выполнив устные задания, нужно будет сделать вывод о том, что надо знать и уметь для того, чтобы открыть две из формул сокращённого умножения.

Устные задания:

  1. Выполни действие: (3х)2; (0,5b)2; (1/4с)2. Какое действие вы видите? (Возведение в квадрат одночлена). Как возвести одночлен в квадрат?
  2. Найдите квадраты выражений: х; -4; 3а; 5х2у3.
  3. Найдите произведение: 3х и 6у; 2а и 5b.
  4. Чему равно удвоенное произведение: 3х и 6у; 2а и 5b.
  5. Представь в виде удвоенного произведения двух множителей: 10п; 16ху.
  6. Прочитайте: а + b; а2 + b2; (а + b)2; 2. аb; х – у; (х – у)2; х2 – у2; 2ху.
  7. Представь в виде множителей: (х – у)2 и (а + b)2.
  8. Объясните, как умножить многочлены: (х + 6)(х – 5)?

Учитель: “Какие знания и умения необходимы для открытия формул?”

Ответ: уметь возводить одночлен в квадрат; находить квадраты выражений и удвоенные произведения; умножать многочлены и читать выражения.

Изучение нового материала.

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы, которые были определены до урока. Всего семь групп, в которые входят учащиеся с разными учебными возможностями. Каждая группа имеет свой номер и получает своё задание, соответствующее номеру задания в левом столбце таблицы. Задания записаны на доске в виде таблицы. Средняя часть закрыта, правая часть пустая.

Инструктаж и постановка задачи:

а) Объединитесь в группы;

б) Выберите старшего;

в) Получите задание, оно соответствует номеру группы;

г) Выполните умножение двучленов.

д) Запишите результат в правую часть таблицы на доске в соответствующую строку (записывает старший группы)

Таблица

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

(m + n) (m + n) =

(c + d) (c + d) =

(x + y) (x + y) =

(p + q) (p + q) =

(k + l) (k + l) =

( 8 + m)( 8 + m) =

(n + 5)(n + 5) =

(m + n)2

(c + d) 2

(x + y)2

(p + q)2

(k + l)2

( 8 + m)2

(n + 5)2

закрытая часть

 = m2 + 2 m n + n2

= c2 + 2 c d + d2

= x2 + 2 yx + y2

= p2 + 2qp + q2

= k2 + 2 k l + l2

= 64 + 16 m + m2

= n2 + 10 n + 25

Когда таблица заполнена, учитель привлекает учащихся к фронтальному обсуждению результатов.

Вопросы: Что общего в условиях? В ответах? Можно ли выражение в левом столбце записать короче?

Получив ответы, учитель открывает среднюю часть таблицы и обращает внимание детей на то, что они фактически уже приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение двух одинаковых двучленов (левый столбик таблицы), то есть возводили в квадрат сумму двух выражений (средний столбик).

Класс переходит к обсуждению получившихся результатов в правом столбце.

Учитель задает вопросы:

- Что общего в полученных результатах? (результатом является трехчлен)

- Что представляет первый, второй и третий члены трехчлена? (первый – квадрат первого слагаемого, второй – удвоенное произведение первого и второго слагаемых, третий – квадрат второго слагаемого).

Задача: каждая группа делает такой анализ своего выражения и проговаривает вслух.

Результаты умножения рассматриваются в семи различных вариантах и каждый вариант “проговаривается”.

Итак, открыли формулу квадрат суммы двух выражений: (а + b)2 = а2 + 2аb + b2.

Учащиеся записывают формулу и проговаривают вслух. Учитель подчеркивает, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат суммы двух выражений.

Далее исследование начинается с вопросов:

“Изменится ли результат, если будем возводить в квадрат не (а + b), а (а – b)? Как может измениться выражение а2 + 2аb + b2 ? Как проверить наши предположения?”

Задача группам: замените в выражениях левого столбца плюс на минус, выполните вычисления и запишите в таблицу свой результат.

После работы в группах, учитель привлекает учащихся к совместному обсуждению результатов. В итоге выясняется, что новые произведения отличаются от ранее записанных знаком перед удвоенным произведением.

Итак, открыли формулу квадрат разности двух выражений: (а - b)2 = а2 - 2аb + b2.

Учащиеся записывают формулу и проговаривают вслух. Учитель подчеркивает, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат разности двух выражений.

Первичное закрепление знаний.

1. Выбери квадраты суммы или квадраты разности:

а) х2 – (у-5)2; б) (а + b)2 + 4с2; в) (6х)2 – у2; г) (3к + 4с)2; д)(18 – 7b)2; е) k2 +(2п)2.

2. Можно ли представить в виде квадрата двучлена:

а) п2 + 10п + 25; б) 4 – 4а + а2.

3. Двое учащихся работают у доски, им предлагаются задания: возвести в квадрат выражения (х + 3)2; ( 8у + 6)2 и (10b – 2а)2.

Учитель обращает внимание класса на последовательность действий, на особенности записи, на словесные формулировки.

Самостоятельная работа в группах

Задача: к каждому заданию выбери и запиши правильный ответ.

В группах осуществляется взаимоконтроль, старший группы сверяет ответы группы с правильными ответами, они на закрытой доске и оценивает работу членов группы, учитывая коэффициент участия каждого.

Группы получают программированное задание в виде таблицы, в левом столбце задания, в остальных три варианта ответов, один ответ верен, два других не верны.

Таблица:

задание Ответ 1 Ответ 2 Ответ3
1. (с +11)2

2. (7у + 6)2

3. (9 – 8у)2

4. (1/3 х – 3у)2

5. (0,3с – 12а)2

 с2 + 11с + 121

49у2 + 42у + 64у2

81 – 144у + 64у2

1/9 х2 – 2ху +9у2

0,009с2 –7,2ас +144а2

 с2 - 22с + 121

49у2 + 84у + 36

81 – 72у + 64у2

1/9 х2 – ху +9у2

0,09с2 –3,6ас +144а2

 с2 + 22с + 121

49у2 - 84у + 36

81 + 144у + 64у2

1/9 х2 + 2ху +9у2

0,09с2 –7,2ас +144а2

Уровневый тест по вариантам.

Задача: проверить насколько учащиеся поняли новый материал и могут воспроизвести полученную информацию.

Вариант 1

Уровень 1.

Задания, позволяющие проверить, насколько учащиеся могут повторить информацию.

Заполнить пропуски:

а) _____________ = х2 + 2ху + у2;

б)_____________ = х2 - 2ху + у2.

2. Соединить линиями утверждения, соответствующие друг другу.

а) Квадрат суммы двух выражений равен 1)квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат  второго выражения
б) Квадрат разности двух выражений равен 2) квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого второго выражений, плюс квадрат второго выражения

3. Даны выражения:

а) 4а2 – (5у)2; б) х2 – (у - 5)2; в) (а + b)2 + 4с2; г) (3х – у2)2;
д) (18 – 7b)2; е) к2 +(2n)2; ж) (3k + 4с)2; з) (аb + 7с)2.

Выбрать те, которые являются:

А) квадратом суммы ________________________________;

Б) квадратом разности ______________________________.

4. Из данных выражений выбрать, те которые можно представить в виде квадрата двучлена:

а) 4х2 - 4ху + у2; б) 25а2 – 9в2 + 30ав; в) 36m2 + 24mn + 4n2;
г) 49a2c2 – 70ac + 25; д) 16x2 – 70ac + 25; е) 81a2 + 4b2 + 36ab.

Уровень 2.

Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся понял и научился применять формулы.

5. Вспомнить правило умножения многочлена на многочлен и доказать формулы квадрата суммы и квадрата разности.

а) (х +у)2 = (х + у)(х +у) = _____________________________________________;

б) (х - у)2 = _________________________________________________________.

6. Найти такие одночлены А, которые превращают данные равенства в тождества:

а) (13х – А) = 169х2 – 78ху + 9у2; А = _____________________________;
б) (А + 2ас)2 = 25а2 + 20а2с + 4а2с2; А = _____________________________;
в) (12m – 7n)2 = 144m2 + A + 49n2; A = _____________________________;
г) (- 6a + 8b)2 = A – 96ab + 64b2; A = _____________________________.

Подведение итога урока.

Учитель задаёт вопросы:

- Какие формулы “открыли”?

- Что с помощью этих формул можно делать?

- Чему равен квадрат суммы, разности двух выражений?

- Какие виды деятельности понравились, а что не понравилось на уроке?

Постановка домашнего задания.