О некоторых классах параметрических задач

Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Очевидно, что задачи с параметрами являются задачами исследовательского характера, поэтому решение таких задач на уроках алгебры и начал анализа направлены на приобщение учащихся к активным формам получения знаний, самообучение и саморазвитие.

Как известно, в отношении уравнений с параметрами встречаются две постановки задачи.

1. Решить уравнение (для каждого значения параметра найти решения уравнения).
2. Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

При изучении курса алгебры и начал анализа, в частности в учебнике, стали появляться уравнения с параметром, а их решение сводилось к исследованию квадратного уравнения, например, уравнению вида . Тогда возникла идея: уравнение конкретного вида отнести к определенному классу параметрических задач и рассмотреть его как укрупненную дидактическую единицу. Какие же задачи (проблемы) обсуждались и решались с учащимися в процессе исследования определенного класса задач?

1. В конкретном (найденном) классе (дидактическая единица) определить возможные формулировки задач относительно количества корней рассматриваемого уравнения.
2. Осуществить полный параметрический анализ в конкретном классе задач (в зависимости от параметра определить не только количество корней или наличие решения, но и записать сами корни уравнения).

В данной работе представлены четыре класса параметрических задач и возможные варианты исследования этих задач с учащимися.

Первый класс параметрических задач “Биквадратные уравнения”

Рассмотрим биквадратное уравнение , где х-переменная, а - параметр. Как известно из курса алгебры, биквадратное уравнение может иметь не более четырех корней. Поэтому относительно корней биквадратного уравнения возможны следующие постановки задачи.

1. При каких значениях параметра a биквадратное уравнение имеет 4 корня?

Решение

Пусть t, тогда уравнение =0 примет вид :

t²-2at+a ²-1=0. Корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции у(t)= t²-2at+ a ²-1

Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи (биквадратное уравнение имеет четыре корня), выглядит так:

То есть, для того, чтобы биквадратное уравнение имело 4 различных корня, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

И мы изобразили геометрическую модель полученного условия. Теперь осталось “зафиксировать” параболу в нужном положении. Для этого перейдем от геометрической модели задачи к аналитической. Получаем систему неравенств.

; a

Ответ: при a биквадратное уравнение имеет четыре различных корня.

2. При каких значениях параметра а биквадратное уравнение имеет 3 корня?

Решение

Пусть t , тогда уравнение=0 примет вид:

t²-2at+ a ²-1=0

В данном случае геометрическая модель задачи будет выглядеть следующим образом.

То есть, для того, чтобы биквадратное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие

Составим систему алгебраических условий.

;

a=1

Ответ: при a=1 биквадратное уравнение имеет три различных корня.

3. При каких значениях параметра а биквадратное уравнение имеет 2 различных корня?

Решение.

Пусть t , тогда уравнение=0 примет вид: t²-2at+ a ²-1=0

То есть, для того, чтобы биквадратное уравнение имело два различных корня, необходимо чтобы выполнялось следующее условие:

( квадратное уравнение имеет один положительный корень) или

Изобразим геометрическую модель полученного условия y

Составим систему алгебраических условий.

; или а² -10

а

нет решений

Объединяя решения двух случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: a

4. При каких значениях параметра а биквадратное уравнение имеет 1 корень?

Решение.

Пусть t, тогда уравнение =0 примет вид: t²-2at+ a ²-1=0

Для того, чтобы биквадратное уравнение имело 1 корень, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: t=0 (корень квадратного уравнения равен нулю).

Изобразим геометрическую модель полученного условия

Составим систему алгебраических условий.

;

нет решений

Ответ: таких значений параметра а нет.

5. При каких значениях параметра а биквадратное уравнение не имеет корней.

Решение.

Пусть t , тогда уравнение=0 примет вид : t²-2at+ a ²-1=0

Для того, чтобы биквадратное уравнение не имело корней, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие

Не было нулей функции или

Изобразим геометрическую модель полученного условия

Составим систему алгебраических условий.

Д0 или

4 0

нет решений

Ответ: при биквадратное уравнение не имеет действительных корней

Выводы по первому классу параметрических задач “Биквадратные уравнения”.

Полученная схема позволяет исследовать любое биквадратное уравнение с параметром относительно задачи, в которой необходимо найти такие значения параметра а, при каждом из которых корни уравнения удовлетворяют заданным условиям (наличие корней, количество корней и др.)

Второй класс параметрических задач “Показательные уравнения”.

Рассмотрим показательное уравнение вида , где а – параметр, х – переменная (неизвестная).

Исследование данного уравнения сводится к квадратному уравнению относительно t, где t = 2^х.

В отличие от биквадратных уравнений, при исследовании данного класса уравнений можно выделить только три вида задач.

Рассмотрим их решение на примере рассматриваемого уравнения.

1. При каких значениях параметра а показательное уравнение имеет 2 корня?

Решение.

Пусть t , тогда уравнениепримет вид: t²-t+4a ²-3а=0

Корнями полученного квадратного уравнения являются нули функции у(t)= t²-t+4a ²-3а

То есть, для того, чтобы показательное уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы нули квадратичной функции удовлетворяли условию:

Изобразим геометрическую модель поставленной задачи.

Составим систему алгебраических условий.

;

a

Ответ: при a показательное уравнение имеет два корня.

2. При каких значениях параметра а показательное уравнение имеет один корень?

Решение.

Пусть t , тогда уравнение

примет вид: t²-t+4a ²-3а=0.

Аналогичные рассуждения приводят нас к условиям, которым должны удовлетворять корни квадратного уравнения t²-t+4a ²-3а=0.

1) случай: (если корень квадратного уравнения один, то он положительный), или

2) (если квадратное уравнение имеет два корня, то они должны быть разных знаков)

Каждому условию соответствует геометрическая модель (расположение параболы в системе координат).

Составим систему алгебраических условий.

; или y(0)<0;

а=1

Ответ: а = 1; показательное уравнение имеет один корень.

3. При каких значениях параметра а показательное уравнение не имеет корней?

Решение.

Пусть t, тогда уравнение

примет вид: t²-t+4a ²-3а=0

То есть, для того, чтобы показательное уравнение не имело корней, необходимо чтобы выполнялось одно из следующих условий

1) квадратное уравнение t²-t+4a ²-3а=0 не имеет действительных корней, а это возможно, если дискриминант отрицательный (D ) или

2), квадратное уравнение имеет неположительные корни.

Изобразим геометрическую модель полученных условий

Решая соответствующие системы алгебраических неравенств, получим окончательный ответ.

; или Д 0, нет решений

a

Ответ: при a показательное уравнение не имеет корней.

Выводы по второму классу параметрических задач

Во втором классе параметрических задач кроме ответа на поставленный вопрос задачи были найдены непосредственно и корни показательного уравнения. Таким образом, исследование показательного уравнения вышло за рамки поставленной проблемы (найти значения параметра а, при которых корни уравнения удовлетворяют определенным условиям).

Третий класс параметрических задач “тригонометрические уравнения”.

Как известно из курса алгебры и начал анализа, тригонометрическое уравнение, если имеет корни, то их бесчисленное множество. Поэтому, относительно корней тригонометрического уравнения, формулировки задач меняются существенным образом. А именно: при каких значениях параметра а, тригонометрическое уравнение имеет корни или не имеет корней (речь не идет о количестве корней).

Рассмотрим на конкретном примере исследование тригонометрического уравнения.

1. При каких значениях параметра а, тригонометрическое уравнение имеет решение.

Решение.

Пусть , где , тогда уравнение примет вид: t²-t+2a-4=0. Следовательно, для того, чтобы тригонометрическое уравнение имело решение, необходимо выполнение условий:

1) , квадратное уравнение имеет два действительных корня, принадлежащих отрезку

Изобразим геометрическую модель полученного условия

Составим и решим систему алгебраических неравенств.

;

; a

2) , квадратное уравнение имеет один корень, принадлежащий отрезку

Изобразим геометрическую модель полученного условия

а = 2.

3) Рассмотрим еще две геометрические модели, которые соответствуют условию существования корней тригонометрического уравнения.

А) (только больший корень квадратного уравнения принадлежит отрезку)

Б) (только меньший корень квадратного уравнения принадлежит отрезку)

Решение.

А)

Б) решений нет.

Объединяя все три случая 1),2),3) получаем окончательный ответ.

Ответ: при а тригонометрическое уравнение имеет решение.

2. При каких значениях параметра а тригонометрическое уравнение не имеет решения?

Решение.

Пусть , где , тогда уравнение примет вид: t²-t+2a-4=0. Следовательно, для того, чтобы тригонометрическое уравнение имело решение, необходимо выполнение условий:

1) , т.е. корни квадратного уравнения лежат вне отрезка

Аналогичные рассуждения приводят к геометрической модели и соответствующей системе алгебраических неравенств.

2) Расположение корней квадратного трехчлена на координатной плоскости дает еще два случая, при которых тригонометрическое уравнение не имеет корней, а именно:

А)

, решений нет.

Б)

3) Тригонометрическое уравнение не имеет решений и в случае, когда квадратное уравнение не имеет действительных корней. А это возможно лишь при условии отрицательности дискриминанта. Имеем, Д = (а-2)(а -10)

(а-2)(а -10) ,

Объединяя все три случая 1),2),3) получаем окончательный ответ.

Ответ: при а тригонометрическое уравнение не имеет решения.

Выводы по третьему классу параметрических задач.

Из таблицы мы видим, что параметр а принимает все действительные значения, и при каждом значении тригонометрическое уравнение либо имеет решения, либо нет.

Четвертый класс параметрических задач “ Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции”.

При исследовании каждого класса параметрических задач, возникает вопрос: сколько и какие задачи можно решить, используя данный алгоритм. В ходе изучения курса алгебры и начал анализа особое внимание обращаю именно на те уравнения, которые встречаются в тестах ЕГЭ, в контрольных работах, которые предлагаются на вступительных экзаменах различных ВУЗов. Рассмотрим на конкретном примере еще один класс параметрических задач, а именно, уравнение вот такого вида: arccos²x-2aarccosx+a²-1=0.

Пусть arccosx = t, но из курса алгебры и начал анализа известно, что Е(t) =, кроме этого функция t =arccosx строго монотонная (убывающая) на свей области определения Д(t) = , поэтому к данному уравнению возможно сформулировать и решить три задачи относительно количества корней уравнения.

1. При каких значениях параметра а уравнение arccos²x-2aarccosx+a²-1=0 имеет два корня?

Решение.

Пусть arccosx = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t²-2at+a²-1 =0. И если квадратное уравнение имеет два действительных корня, принадлежащих отрезку , то и исходное уравнение имеет два корня. Изобразим геометрическую модель, соответствующую этому условию (корни квадратного уравнения принадлежат отрезку ).

“Зафиксируем” параболу в нужном положении системой алгебраических условий (ветви параболы направлены вверх, так как первый коэффициент квадратного трехчлена положительный).

Ответ: при уравнение arccos²x-2aarccosx+a²-1=0 имеет два корня.

2. При каких значениях параметра а уравнение arccos²x-2aarccosx+a²-1=0 имеет один корень?

Решение.

Для данной постановки задачи приведем геометрическую модель (уравнение имеет один корень при условии принадлежности отрезку только одного корня квадратного уравнения).

А)

Б)

В)

Г)

Объединяя случаи А), Б), В), Г) получаем окончательный ответ.

Ответ: при уравнение arccos²x-2aarccosx+a²-1=0 имеет один корень

3. При каких значениях параметра а уравнение arccos²x-2aarccosx+a²-1=0 не имеет корней?

Решение.

1. Если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то уравнение arccos²x-2aarccosx+a²-1=0 не имеет корней, но дискриминант положительный при всех значениях параметра а.
2. Следовательно, геометрическая модель задачи, при которой данное уравнение не имеет корней, может иметь вид, представленный в таблице.

Таблица.

Объединяя три случая, представленные в таблице, получаем окончательный ответ.

Ответ: при а уравнение arccos²x-2aarccosx+a²-1=0 не имеет корней.

Выводы по четвертому классу параметрических задач.

Итак, в данном классе параметрических задач параметр а “пробегает” все действительные значения и, в зависимости от значений параметра, уравнение может иметь два, один, или не иметь корней. Эти выводы можно показать и в иной форме. Например, так.

В результате таких исследований учащимся удается найти и понять принципы составления класса параметрических задач. Например, можно заметить, что имеет место исследование таких уравнений, которые содержат ограниченные функции. В своих работах учащиеся рассматривали уравнения, содержащие такие функции как у= х², у = 2^х, у = sinx, у= arccosx. Класс параметрических задач можно расширять, и эта проблема учащимися уже решена. Так, например, изучая и исследуя функцию с помощью производной, можно определять ограниченные функции и составлять новый класс параметрических задач. Так было с функцией , исследования с помощью производной показали, что и эта функция ограничена, Е(у) = . Поэтому новый класс параметрических задач может быть задан уравнением Кроме этого, работа может быть продолжена и в направлении методов решения задач: использовать не только теорию по расположению корней квадратного трехчлена, но и по возможности находить более рациональные способы исследований (в некоторых задачах дискриминант “хороший” - является точным квадратом, и поэтому можно находить более эффективное решение и сэкономить время на исследовании).