Факультативный курс "Приложение комплексных чисел"

Слово "факультативный" означает необязательный, предоставленный собственному выбору. Целью факультативных занятий является расширение кругозора, углубление знаний, развитие способностей и интересов учащихся в избранных ими областях знаний и воспитание у них определенных навыков самостоятельной работы.

Применительно к математике эта цель заключается в развитии математического мышления, формировании активного познавательного интереса к предмету в ознакомлении школьников с важнейшими современными понятиями и идеями математики, и отдельными вопросами, связанными с ее приложениями; в воспитании мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углубленного изучения математики.

Понятие комплексного числа обогащает и завершает одну из основных идей школьной математики – идею обобщения понятия числа. Знание комплексных чисел позволяет учащимся глубже осмыслить такие разделы школьной программы как решение уравнений и неравенств, тригонометрические функции.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. Действительные числа – это только часть множества комплексных чисел. Открытие комплексных чисел вооружило ученых новыми, более общими методами исследования. Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность. Новыми методами пополнилось решение уже известных задач, существенно обогатилось и само содержание их, стала бурно развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа – теория функции комплексного переменного.

Весь этот богатый материал, конечно, не может быть доведен до сведения учащихся, однако, некоторые вопросы могут быть изучены в школе на факультативных занятиях, а это расширит представления учащихся и об аппарате комплексных чисел и о методах математического исследования.

Аппарат комплексных чисел является хорошим аналитическим средством для решения различных геометрических задач. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким.

Применение комплексных чисел позволяет проще, и изящнее решать многие известные задачи, но и дает возможность обнаружить новые факты и делать обобщения.

Наконец, комплексные числа служат хорошим средством установления межпредметных связей между различными разделами математики и физики. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды и полет самолетов и ракет. Применяются они при вычерчивании географических карт. Используются комплексные числа для изучения явлений в атомах и атомных ядрах и т.д.

Использование методов теории функции комплексной переменной используется при построении фракталов, которые в последние время стали очень популярны. Фракталы находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации. Фракталы используются при анализе и классификации сигналов сложной формы, они применяются в физике твердого тела, в динамике активных сред. Столь популярные ныне фрактальные объекты – порождение компьютерного мира.

Широкое использование комплексных чисел в математике и физике, с одной стороны убеждает учащихся в реальности и полезности этих чисел, с другой стороны, само по себе очень интересно и важно, особенно для будущих студентов технических вузов. Поэтому изучение комплексных чисел на факультативных занятиях в старших классах с математическим профилем вместе с их приложениями к вопросам геометрии, тригонометрии, физики и фракталам повысит уровень математической подготовки учащихся, обогатит их новыми знаниями, необходимыми им в дальнейшем, как для успешного изучения смежных дисциплин, так и для практической деятельности после окончания школы.

Проанализировав психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов, критерии отбора содержания, методов и форм проведения факультативного курса, значение комплексных чисел в математическом образовании школьников, содержание учебной литературы, содержащей тему “комплексные числа”, был разработан факультативный курс “Приложение комплексных чисел”.

Данный факультативный курс предназначен для изучения в математических классах средней школы, где уже существует определенная база знаний. Школьники знакомы с основными понятиями комплексных чисел, умеют выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами. Учащимися получен большой багаж знаний по другим предметам, например, по физике (темы связанные с рассмотрением действий сил, вычисление проделанной работы изучаются в основной школе). Раздел геометрии – планиметрия к этому времени также пройден.

Факультативный курс “Приложение комплексных чисел” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о комплексных числах. Наличие же в данном возрасте более полного, глубокого, разностороннего мышления и возможности самостоятельно выделять общее и частное, благоприятствует восприятию этого факультативного курса.

Изучение этой темы преследует следующие основные цели:

1. повышение математической культуры учащихся;
2. углубление и расширение представлений о понятии комплексного числа;
3. дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки, и связи математики с другими науками в частности физикой.

Содержание темы изложено в четырех параграфах: §1“Применение комплексных чисел в алгебре”; §2 “Применение комплексных чисел в геометрии”; §3 “Применение комплексных чисел при решении задач из некоторых разделов физики”; §4 “Фракталы”. Факультативный курс рассчитан на 18 часов.

Программа факультативного курса “Комплексные числа и их приложения”:

Изучение комплексных чисел в средней школе должно завершаться раскрытием перед учащимися их реального смысла. Этим будет достигнут значительный воспитательный эффект изучаемой темы. После окончания средней школы многие учащиеся при изучении специальной технической литературы встретятся с применением комплексных чисел к решению практических задач. Поэтому необходимо создать у учащихся средней школы представление об использовании комплексных чисел в прикладных науках.