Модернизация школы на передний план выдвигает задачу воспитания ученика, всестороннее его развитие. Еще К.Д. Ушинский указывал, что если мы хотим воспитать ребенка всесторонне, также всесторонне его нужно изучать. Правильно изучать своих учащихся учитель сможет, лишь глубоко зная общие закономерности развития ребенка, психологические закономерности развития, его способностей, интересов, склонностей и других индивидуальных и личностных особенностей. Важной стороной этого развития является развитие мышления, с помощью которого человек познает мир.
Мышление – это процесс познания, заключающегося в отвлеченном, обобщенном и опосредованном отражении фактов и явлений, в установлении связей и отношений между ними.
В процессе мыслительной деятельности, в том числе и при работе с геометрическими материалами, у ребенка вырабатываются определенные приемы (операции) мышления:
– абстрагирование – мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков предметов и явлений при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. Выделенные в процессе абстрагирования признак или свойство мыслятся независимо от других признаков или свойств и становятся самостоятельными объектами мышления. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрической фигуры образуется путем выделения в наблюдаемых предметах их форм, протяженности и взаимного положения в пространстве, и отвлечения от всех других свойств (материал, цвет). Но при этом производится не только абстрагирование, но и идеализация этих свойств путем мысленного перехода к предельным формам, которые реально не существуют; – анализ – мысленное расчленение предмета познания или явления на образующие его части или мысленное выделение в нем отдельных свойств, признаков, черт, качеств. Воспринимая предмет, мы можем мысленно выделять в нем одну часть за другой и таким образом узнавать, из каких частей он состоит;
– синтез – мысленное соединение отдельных частей предметов (элементов) или мысленное сочетание отдельных их свойств. Опираясь на результаты анализа, синтез, объединяя эти элементы, обеспечивает знание объекта в целом;
– обобщение – соединение предметов и явлений вместе на основе их общих и существенных признаков. В учебной деятельности обобщение обычно проявляется в определениях, выводах, правилах;
– конкретизация – мысленное представление чего-либо единичного, что соответствует тому или иному понятию или общему положению. По существу, конкретизация есть всегда указание примера, какая-либо иллюстрация общего. Конкретизация играет существенную роль при объяснении, которое мы даем другим людям.
Все эти операции являются различными сторонами основной деятельности мышления, т.е. раскрытия все более существенных объективных связей и отношений между предметами, явлениями, фактами.
К началу младшего школьного возраста психическое развитие ребенка достигает достаточно высокого уровня. Психологические исследования показывают, что в этот период главное значение приобретает дальнейшее развитие мышления.
По мнению Л.С.Выготского, с началом систематического школьного обучения мышление выдвигается в центр психического развития ребенка, и становится определяющим в системе других психических функций, которые под его влиянием интеллектуализируются, приобретают осознанный и произвольный характер. В зависимости от связи между чувственными и отвлеченными элементами различают 3 вида мышления, которые поэтапно развиваются у детей при знакомстве с геометрическим материалом:
– наглядно-действенное;
– наглядно-образное;
– словесно-логическое.
Наглядно-действенное мышление характерно для ребенка младшего возраста (до 3-х лет включительно), когда мысленное познание объектов совершается в процессе практических действий с этими образами. Наглядно-образное мышление возникает в дошкольном возрасте и представляет собой мышление с помощью наглядных образов, поэтому такое мышление подчинено восприятию, в нем отсутствует в развернутом виде абстрагирование. Это мышление дает возможность решать задачи в непосредственно данном, наглядном поле или в плане представлений, сохранившихся в памяти. В этом случае человек представляет себе реальную ситуацию и действует в ней в своем воображении, действует не с реальными предметами (как это происходит в ситуации наглядно-действенного мышления), а с их образами.
Мышление ребенка младшего школьного возраста находится на переломном этапе развития. В этот период совершается переход от мышления наглядно-образного, являющегося основным для данного возраста, к словесно-логическому, понятийному мышлению, основу которого составляет оперирование понятиями. Переход к этой новой форме мышления связан с изменением содержания мышления: теперь это уже не конкретные представления, имеющие наглядную основу и отражающие внешние признаки предметов, а понятия, отражающие наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними.
Важную роль в развитии учащихся в процессе обучения геометрии играет и формирование пространственного мышления, которое рассматривается как разновидность наглядно-образного и геометрического мышления.
Современные представления о времени и пространстве влияют на содержание пространственного мышления школьников. Исходя из новейших представлений о неразрывной связи и единстве пространства и времени, выделение из материальных объектов пространственных свойств и отношений, и отвлечение от остальных, возможны только путем теоретической абстракции в ходе познавательной деятельности.
Как известно, наиболее полно пространственные свойства и отношения исследуются в математике. Они неотделимы от конкретных вещей и предметов – их носителей, но наиболее отчетливо выступают в геометрических объектах, которые своеобразными абстракциями от реальных предметов. Поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими.
Пространственное мышление является специфическим видом мыслительной деятельности, которое имеет место в решении задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (как видимом, так и воображаемом). В своих, наиболее развитых формах, это и есть мышление образами. Образ, возникающий на основе заданного изображения, в процессе решения задачи подвергается неоднократному изменению (преобразованию), а потому пространственное мышление и рассматривается как разновидность образного мышления.
Таким образом, данное мышление выполняет специфическую функцию в познании и обучении. Оно позволяет вычленить из реальных объектов, из теоретических (графических) моделей пространственные свойства и отношения, делать их объектом анализа и преобразования.
Как доказано психологами, возраст ученика начальной школы является наиболее благоприятным в жизни человека возрастом для развития образного (а значит, и пространственного) мышления, формирования приемов умственных действий (сравнения, обобщения, абстрагирования и других).
Одной из основных задач знакомства с геометрией в курсе математики начальной школы является развитие пространственного воображения у ребенка, умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать и абстрагировать. Второй важной задачей является необходимость формирования у ребенка практических умений измерения и построения геометрических фигур с помощью циркуля, угольника и линейки.
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включают понятия, связанные с числами и операции над ними (число, сложение, слагаемое и др.); во вторую входят алгебраические понятия (выражение, равенство, уравнение и др.); третью составляют геометрические понятия (прямая, отрезок, треугольник и т.д.); четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.
Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. В геометрии изучают форму и размер предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От этого всего отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова “предмет” говорят “геометрическая фигура”.
В соответствии с последней редакцией обязательного минимума содержания образования по математике для начальных классов список изучаемых геометрических понятий значительно расширился по отношению к предыдущим вариантам программы. Общая тенденция геометризации курса школьной математики коснулась и начальных классов. Таким образом, насыщение курса математики начальной школы геометрическим содержанием является перспективной линией развития математического образования начального звена.
Сегодня обязательный минимум содержания образования по математике содержит следующий перечень понятий геометрического характера(2004г.):
точка; линии: прямые, кривые; отрезок; угол; прямой угол; многоугольники: треугольник, прямоугольник, квадрат; вершины и стороны многоугольника; окружность и круг; куб; шар; измерение длины; измерение площади; вычисление площади прямоугольника.
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множество, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Точка – неопределяемое понятие. С точкой обычно знакомят, рисуя ее или прокалывая стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.
Линия – неопределяемое понятие. С линией знакомят, моделируя ее из шнура или рисуя на доске, на листе бумаги. Основное свойство прямой линии: прямая линия бесконечна. Кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми.
Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны.
Отрезок – часть прямой, заключенная между двумя точками – концами отрезка.
Ломаная – линия из отрезков, соединенных последовательно под углом друг к другу. Звено ломаной – отрезок. Точки соединения звеньев называют вершинами ломаной.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной. Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла.
Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой. Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньше развернутого, называется тупым.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Остроугольным называется треугольник, все углы которого острые. Прямоугольным – треугольник, который имеет прямой угол. Треугольник, который имеет тупой угол, называется тупоугольным. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами.
Диагональю называется отрезок, соединяющий противоположные вершины многоугольника.
Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие не соседние, называются диагоналями.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром. Но поскольку в начальных классах не дается это классическое определение, знакомство с окружностью проводят методом показа, связывая его с непосредственной практической деятельностью по вычерчиванию окружности с помощью циркуля. Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
Круг-часть плоскости, ограниченная окружностью.
Некоторые альтернативные программы дают представления о таких пространственных фигурах, как:
Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм.
Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.
Пирамида – многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) – какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) – треугольники с общей вершиной.
Цилиндр – геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований. Конус – тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку – его вершину – с точками некоторого круга – основание конуса.
Шар – множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка – это центр шара, а данное расстояние – радиус.
Систематический курс геометрии изучается в средней школе (7-11 классы). В начальной школе рассматриваются только примеры геометрических фигур, даются их описания и отдельные свойства, формируются понятия. Геометрический материал используется также для развития пространственного и логического мышления младших школьников.