Построение графиков функций, содержащих модуль

Тип урока: изучение и закрепление новых знаний.

Цели урока:

Образовательная: освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль; научить применять его в простых ситуациях;

Развивающая: развивать логическое и творческое мышление; формирование навыков самостоятельной деятельности, выработка внимания.

Воспитательная: привитие интереса к изучаемому предмету.

Ход урока

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном. Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями. Подобный график вы видите на рис.1

Эта функция задается тремя формулами

Но нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать одной формулой, используя модули: у= ¦х¦ -¦х-1¦

Оказывается, что и любую кусочно–линейную функцию можно задать формулой вида

График любой такой функции – ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную. Достаточно знать все её вершины и по одной точке на левом и правом бесконечных звеньях. Эти соображения позволяют легко строить графики функций такого вида без раскрытия модулей, не переходя к их кусочному заданию.

Достаточно составить таблицу

Х	Х0	Х1	Х2	…	Хn	X n+1
Y	Y0	Y1	Y2	…	Yn	Y n+1

Где х₀ и х _n+1 – произвольные значения х, такие, что x₀ < x₁ и x _n+1 > x_n,а x₁…., x_n – точки смены формул. y_0… y _n+1 – значения функции в этих точках. Все точки наносятся на координатную плоскость, последовательно соединяются отрезками, два крайних звена – лучи.

Пример 1. Построить график функции у=3х+1 -¦х+1¦+2¦х¦

Точки смены формул: х+1=0, х=-1 и х=0.

Составим таблицу:

график изображен на рисунке 2.

Пример 2. задайте функцию у=х+¦х-2¦-¦х¦в виде кусочно-линейной и постройте график двумя способами.

I способ.

Подготовим таблицу для построения графика с учетом линейного сплайна:

х	-1	0	2	3
у	1	2	0	1

Получим график (см.рис 3)

II способ.

Значение х, при которых выражения, стоящее под знаком модуля, меняют знак, х=2 их=0. значит они точки смены формул. Найдем эти формулы.

Если х<0, то у= х-х+2+х, у=х+2.

если 0x, то у=х-х+2-х, у= -х+2.

Если х>2, то у=х+х-2-х, у=х-2.

Очевидно, что график остается неизменным.

Закрепление изученного

Для закрепления изученного материала проводится самостоятельная работа

Учитель должен заранее подготовить чистые листочки форматом в половину листа (примерно 6 штук на каждого ученика). Непосредственно перед уроком, на перемене учитель записывает на доске два варианта работы. Причем каждый вариант он пишет особым цветным мелом. Степень трудности вариантов различна. Оценка “4” примерно соответствует тексту, написанному синим цветом, оценка “5” - красному. Для того, чтобы работа проходила быстро и организованно, учителю нужно помнить наизусть

ответы всех заданий, тогда его проверка будет мгновенной. Кроме того, необходимо подготовить специальный лист для учета каждого выполненного задания ручки трёх цветов. На листе слева помещается колонка с фамилиями учащихся, а справа колонки, соответствующие количеству заданий в работе. Какой бы вариант ни выбрал ученик, соответствующую клеточку закрашивают выбранным цветом. Ученики на своих листочках выполняют первый пример выбранного варианта. Как только пример решен. Ученик с листочком подходит к учителю, который мгновенно видит, правильное решение или нет. Если ответ ученика неправильный, то учитель не берет у него листочек, а отправляет искать ошибку или выполнять задание более лёгкого варианта. Если ответ правильный, то учитель забирает листочек и закрашивает соответствующую клеточку.

Задания для самостоятельной работы.