Учащиеся класса имеют различный уровень подготовки по математике, неодинаковые успехи в усвоении знаний, умений и навыков, проявляют различный интерес к математике как учебному предмету. Учитывая это, учитель должен вести обучение с учетом указанных индивидуальных особенностей учащихся. Такая работа с включением приемов, характерных для проблемного обучения, осуществляется мною на уроках математики в 5-11 классах школы №12 г. Серпухова Московской области.
В работе я исхожу из представления о трех последовательных качественных уровнях проблемного обучения.
1 уровень. Учитель ставит проблему, формулирует ее, указывая на конечный результат; ученики самостоятельно ведут поиски решения этой проблемы, зная окончательный результат.
II уровень. Учитель только указывает на проблему, учащиеся формулируют и решают ее, причем конечный результат заранее им неизвестен.
III уровень. Ученики самостоятельно ставят проблему, формулируют ее и исследуют возможности и способы ее решения.
Для учащихся, более подготовленных по математике, интересующихся ею, обладающих известной долей самостоятельности в работе, я в проблемных заданиях с помощью индивидуальных карточек указываю конечную цель и прилагаю информацию о том, на какие основные моменты нужно обратить внимание при решении проблемы. Пути решения задач ученики разбирают самостоятельно, а их работу контролирует учитель.
Для учеников с более слабым уровнем математического развития в индивидуальных карточках-заданиях указывается последовательность операций, необходимых для поиска решения, дается определенная “канва” действий, приводящих к необходимому результату.
При подготовке к урокам, где решаются те или иные проблемы необходимо:
а) тщательный анализ содержания материала предстоящего урока;
б) учет уровня сложности нового материала и имеющегося у учеников запаса знаний для решения проблемного задания;
в) постановка конкретной психолого-методической цели урока;
г) поэтапная методическая разработка проблемного урока с учетом указанной цели;
д) до известной степени предвидение хода будущего урока, характера поиска учащимися решения, ожидаемых трудностей с тем, чтобы наметить пути их преодоления, оказать помощь учащимся.
Эффект подобного проблемного обучения математики я оцениваю по следующим параметрам:
а) успешность обучения (успеваемость);
б) развитие познавательной активности учащихся;
в) формирование самостоятельного мышления в условиях проблемного обучения;
г) степень развития у учеников интереса к математике.
Покажу на примере некоторых тем курса математики, как я строю урок решения той или иной проблемы.
В 5 классе при изучении темы “Делимость чисел” я ставлю перед классом проблему: “Докажите, что если некоторое число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5”. В этом случае ученикам известно, что в числе конечная цифра 0 или 5, а требуется обосновать, почему данное число кратно 5 (урок строился на 1 уровне проблемного обучения). Рекомендую рассмотреть конкретный случай: взять, например, трехзначное число. Ученики слабой группы, имея перед собой цель, приступают к анализу задачи, начинают рассматривать структуру данного числа, его разряды. Замечая, что в данном числе несколько сотен, несколько десятков, несколько (0 или 5) единиц, они приходят к заключению, что, независимо от числа сотен и десятков (и 100, и 10 кратны 5), оно кратно 5, так как число единиц (0 или 5) делится на 5 без остатка. Решение этой проблемы они самостоятельно оформляют в тетрадях.
Учащимся посильнее в это время даются карточки с различными числами, среди которых встречаются числа, кратные 5 и не кратные 5. Прошу объяснить, какие из чисел делятся на 5 без остатка и почему. В процессе работы с этой группой учеников подвожу их к детальному разбору структуры разрядных слагаемых каждого конкретного числа, и сначала на этих конкретных примерах, а потом и в общем виде ученики показывают, откуда следует их кратность 5. Оказывая помощь в работе отдельным ученикам в виде дополнительных указаний, намеков, вопросов, добиваюсь от них понятия, что кратность числа 5 зависит от цифры, на которую это число оканчивается. Ученики делают далее обобщение этого факта, распространяют признак делимости на 5 на любые числа, независимо от количества их разрядов.
На этом уроке ученикам предлагались для закрепления следующие задания:
1) Найти остаток от деления на 5 чисел 202, 146, 837, 531.
2) При каком значении х число 827 341 + х разделится на 5 без остатка?
3) Из цифр3, 0, 5 составить всевозможные числа кратные 5.
4) Какую цифру следует подставить вместо * в запись 42 *; 1 * 5; * 20; * 72, чтобы полученное число делилось нацело на 5?
В курсе геометрии 7 класса уроки на тему “Вычисление площадей фигур” я провожу на III уровне проблемного обучения; к этому времени у учеников уже накоплен некоторый опыт решения проблем на 1 и II уровнях. Так, например, подводя учащихся к самостоятельной постановке и решению проблемы отыскания формулы площади параллелограмма, даю классу задачу с недостающими данными: “За сколько часов рабочие могут вскопать участок земли, имеющий форму параллелограмма, если за 1 час они могут вскопать 21 кв. м?” После разбора содержания задачи школьники отмечают, что ответить на вопрос задачи нельзя, так как неизвестна площадь параллелограмма. Выяснив с учащимися, площади каких фигур они уже могут вычислить (квадрат, прямоугольник), предлагаю им попробовать преобразовать параллелограмм в одну из таких фигур, вводя понятия “равновеликие фигуры”. Ученики сильной группы замечают, что легко получить из параллелограмма прямоугольник, проведя в нем высоты. Проделав эти построения на чертеже, они увидели, что образовались два равных прямоугольных треугольника и, следовательно, их площади равны. На основании этого ученики приходят к выводу, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника, основания и высоты которых соответственно равны, т. е. ученики пришли к “открытию” формулы Sпарал = a • h. Возвращаясь к исходной задаче о рабочих, они замечают, что для вычисления площади участка необходимо знать размеры основания и высоты параллелограмма. Я сообщаю им дополнительные данные: основание равно 20 м, а высота 4,2 м. После этого учащиеся находят, что Sпарал = 20 • 4,2 = 84 и весь участок будет вскопан за 84 : 21 = 4 (ч).
В то время как я работаю с группой сильных учеников, остальные учащиеся получают индивидуальные карточки-задания с чертежом параллелограмма и указанием последовательности действий, необходимых для определения площади параллелограмма. Ученикам предлагается провести к основанию 2 высоты, рассмотреть образовавшиеся при этом построении треугольники, установить их вид и доказать их равенство (используя свойство сторон и углов параллелограмма), сделать заключение о величинах площадей этих треугольников, объяснить, с помощью каких из получившихся фигур можно составить параллелограмм и прямоугольник, и сделать вывод о том, как вычислить площадь параллелограмма.
Стараюсь работать с каждой группой учащихся индивидуально. С помощью карточек-заданий, занимая на время одну группу, оказываю в это время помощь учащимся другой группы, контролирую, как они справились с выполнением задания, делаю дополнительные указания. Затем переключаюсь на работу с другой группой учеников, а первая группа в это время получает новое задание. В процессе урока обе группы включаются во фронтальную работу на этапе выдвижения и обсуждения гипотез, на этапе проверки правильности и обоснованности решения, на заключительной стадии урока, когда делается вывод о значимости решенной проблемы.
На этом уроке в качестве дополнительного задания ученикам, которые раньше других справились с решением основного проблемного задания, предлагаю такую задачу: “Установить формулу для вычисления площади параллелограмма для фигур, изображенных на рисунке”.
Разбирая эти случаи, ученики пришли к выводу, что площадь параллелограмма не зависит от его вида.
Давая задания на дом, стараюсь и их индивидуализировать, учитывая возможности каждого ученика, более сильным учащимся предлагаю задачи, требующие творческого применения новых знании. Слабых учеников прежде всего ориентирую на отработку необходимых умений и навыков, а затем уже постепенно увеличиваю число заданий, носящих поисковый, творческий характер.
Проведенная мною работа в 5-11 классах на протяжении нескольких лет показала, что при сочетании индивидуализации обучения с проблемным методом можно добиться:
а) значительного повышения успеваемости по математике;
б) высокой степени развития самостоятельности школьников в процессе приобретения знаний;
в) роста познавательной активности учащихся;
г) развития интереса к математике;
д) привития ученикам элементарных навыков исследовательской деятельности.