Тема урока: Решение алгебраических задач геометрическим способом.
Цель урока:
1. Рассмотреть один из методов решения алгебраических задач – геометрически.
2. Повторить признаки подобия треугольников и их применения при решении задач.
Ход урока:
І. Проверка дом задания (ученики оформляют и показывают решения)
Задача 1. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и B. После встречи одному из них приходится быть в пути 2часа, а другому 9/8 часа. Найти скорость автомобилей, если между пунктами A и B 210 км?
Решение:
Пусть скорости автомобилей X км/ч и Y км/ч.
ПОСЛЕ ВСТРЕЧИ |
ДО ВСТРЕЧИ |
||||||
| U | t | S | S | U | t | ||
| 1 | X | 2 | 2X | 1 | 9/8Y | X | 9Y/8X |
| 2 | Y | 9/8 | 9 /8* Y | 2 | 2X | Y | 2X/Y |
2x + (9/8)y = 210 9Y/8X=2X/Y
Получаем систему:
2x + (9/8)y = 210, 2x + (9/8)y = 210
Решая эту систему, получим Y = 80, X = 60, т.е. скорость 1 автомобиля 60 км/ч, 2 автомобиля 80км/ч
Ответ:60км/ч, 80км/ч.
Задача 2. [1] Теплоход от Горького до Астрахани идёт 5 суток, а от Астрахани до Горького 7 суток. Сколько дней будет плыть теплоход от Горького до Астрахани?
Решение:
1 способ (алгебраический)
Пусть Х км/ч – скорость теплохода по течению, У км/ч – скорость теплохода против течения.
| U | T | S | |
| ПО ТЕЧЕНИЮ | X | 5 | 5X |
| ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ | Y | 7 | 7Y |
5x = 7y; Y /X= 5/7
U реки = (Х – У)/2, t = S/UP= 5X/0.5(X-Y) = 10X /(X-Y) = 10 /(1-Y/X ) = 10/(1-5/7)=10: 2/7 =35
Ответ: 35 дней.
2 способ (арифметический)
1) 1 : 5 = 1/5 (реки) в день проходит теплоход по течению
2) 1 : 7 = 1/7 (реки) в день проходит теплоход против течения
3) (1/5 – 1/7) : 2 = 2/35 : 2 = 1/35 (реки) в день – скорость теплохода, т.е. скорость реки.
4) 1 : 1/35 = 35 (дней)
Ответ: 35 дней.
ІІ. Изучение материала
Задачи на движение и на работу можно решать различными способами: арифметическим, алгебраическим, графическим способом. Сегодня мы рассмотрим геометрический способ с использованием графического. При решении задач на равномерное движение используют графики линейной функции. По оси абсцисс обычно откладывают время, а по оси ординат – расстояние. В таком случае абсцисс любой точки графика движения указывает момент времени, а ордината той же точки – в каком месте пути в этот момент находится тело. Если на одном чертеже построены 2 графика движения, причём эти графики пересекаются, то абсцисса точки пересечения – это время встречи, а ордината – место встречи. И ещё особенность – используется переменная система координат, т.е. каждый график строится в своей системе координат. Часто этот способ решения является более рациональным, простым.
Задача 1: (из домашнего задания) – разобрать у доски.
Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и B. После встречи одному из них приходится быть в пути 2часа, а другому 9/8 часа. Найти скорость автомобилей, если между пунктами A и B 210 км?
Построим графики движения автомобилей:
BF = AK KD = 9/8 FC = 2
AOK 
D COF: 
(1)
DKO 
D BFO: 
(2)
Из (1) и (2) следует:
; Пусть AK = BF = X,
X1 = 
- не может быть X2
= 3/2 = 1,5
AK = 1,5; AD = 1,5 + 1,125 = 2,625 = t2
U 2= 210 : 2,625 = 80 (км/ч)
BF = 1,5; BC = 1,5 + 2 = 3,5 (ч) = t1, U1 = 210 : 3,5 = 60 (км/ч).
Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч.
Задача 2: (решаем с обсуждением) Теплоход из Горького до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Горького 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Горького до Астрахани?
Решение:
ГА1 = 5 (дней) А1С = 7 (дней)
Определим А1В = Х время движения теплохода из А до встречи с плотом.
АГ = ВК + КМ
х = 5,
Т.е. теплоход, двигаясь из А, встретит плот через 5 дней.
ГКВ
D FKM;
y = 25 = MF.
AF = AM + MF = 10 + 25 = 35.
Ответ: 35 суток.
Задача 3: [2] (№13.140) – самостоятельно с последующей проверкой.
На одном из двух станков обрабатывают партию деталей на 3 дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы обработка этой партии деталей каждым станком в отдельности, если известно, что при совместной работе на этих станках в 3 раза большая партия была обработана за 20 дней?
Решение:
Пусть СК = FN = x, x>0
D AOF 
D MOC, 
D OFN 
D OCB,
.
Значит, 
; 
; x2+ 3x =400/9;
9x2+27x-400=0.
Решая уравнение, получим: х = 16/3.
Время работы второго станка t2= AF + FN = 
(дней); t1= 12 +
3 = 15 (дней)
Ответ: за 15 дней, 12 дней.
Задача 4 Дополнительно (для сильных учащихся)
Шел человек по берегу реки против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения и держал в руках палку и шляпу. В некоторый момент он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжал идти против течения ручья с той же скоростью. Через некоторое время он заметил ошибку, бросил палку и побежал назад со скоростью, вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выудил ее, повернулся и пошел против течения с первоначальной скоростью. Через 10 минут он встретил плывущую по ручью палку. На сколько минут раньше он пришел бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?
Решение. Построим графики движения человека, палки и шляпы.
________________ движение человека
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ движение шляпы и палки
в момент В - человек бросил шляпу
в момент С - бросил палку и побежал назад
в момент D - выудил шляпу
в момент Е – встретил палку
t- потерянное время СD+DF
Uчел : Uручья = PB/AB : PB/BD = 3/2
Uчел : U'чел =KC/AC: KC/CD = CD/AC = 1/2
DE = BC=10
Найдем CF. Пусть CD = X, тогда DF = AC=2X
AB=2X-10, BD=X+10.
(X+10)/(2X-10) = 3 /2 , т.е. X=12,5 мин.
CF=CD+DF= X+2X = 37,5 мин.
Ответ: потерял 37,5 мин.
Подведение итогов урока
Задание на дом
Литература:
- Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика. 1985
- Сканави Сборник задач для поступающих во ВТУЗы.- М., Наука, 1988г.
- Геометрия помогает решить задачу. ж. “Математика в школе”, 1992, № 2
Дополнительные задачи.
Задача 1.
Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются через 2 часа после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 часов 30 минут раньше, чем пешеход в B. Найти скорости пешехода и велосипедиста, пологая, что они все время оставались постоянными.
Задача 2.
Чан наполняется двумя кранами. Если открыть первый кран, то чан наполнится за 110 минут, а через один второй кран за 132 минуты. За сколько минут наполнится чан, если открыть оба крана одновременно?
Задача 3.
Из двух пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 километра больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1 час 36 минут, а второй в А через 2 часа 30 минут после встречи. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.
Задача 4.
В кинозале имеются две двери, широкая и узкая. Через обе двери после сеанса зрители выходят из зала в течение 3 минут 45 секунд. Если зрителей выпускать через одну широкую дверь, то выход из зала займет времени на 4 минуты меньше, чем в том случае, если зрителей выпускать только через одну узкую дверь. Сколько времени требуется для выхода зрителей из кинозала через каждую дверь в отдельности?
Задача 5.
Библиотеке нужно переплести 1800 книг. Три мастерские брались каждая самостоятельно выполнить заказ: первая в 20 дней, вторая 30 дней и третья в 60 дней. Чтобы закончить работу скорее, решили передать заказ сразу трем мастерским. Во сколько дней закончат работу мастерские, работая одновременно?
Задача 6.
Из А в В со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя час вслед за ним из А вышел второй турист, проходивший в час 5 километров, а еще через час из А выехал велосипедист, который, обогнав одного туриста, через 10 минут обогнал и другого. Найдите скорость велосипедиста.
Задача 7.
Два трактора могут вспахать зябь на 18 часов быстрее, чем один первый, и на 32 часа быстрее, чем второй трактор. За сколько часов может вспахать зябь каждый трактор, работая один?