Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения у школьников, в частности, у выпускников. Причина такой ситуации, на мой взгляд, заключается в том, что тема “Проценты” изучается в классах, когда собственно математики еще нет, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах. Неумение решать текстовые задачи показывает недостаточное знание математики.
С 2004 года изменился характер текстовых задач в КИМах ЕГЭ. Стали включаться задачи, сюжеты которых близки к реальным ситуациям (экономическим, финансовым, деловым, игровым, и пр.) Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др. В прошлом году в таких задачах были представлены различные типы сюжетов: “на сплавы и смеси”, “на концентрацию”, “на покупки”, “на проценты”.
При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты – проценты, начисляемые на процентные деньги.
Задача 1. (демонстр. вариант 2005 г.) Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рб?
Решение. Пусть а – цена изготовителя. Тогда оптовая цена 1 альбома 1,3а, т.к. она больше цены изготовителя на 30%. Находим розничную цену альбома: она на 20% выше оптовой. Тогда в магазине 1 альбом стоит 1,56а р. При распродаже цена снизилась на 10%. т.е. на 0,156а р. Получаем цену альбома после снижения 1,404а р., а это составляет 70,2 рубля. Решая уравнение 1,404а=70,2, находим, что цена изготовителя равна 50 рб. Покупатель заплатил на 20,2 рб больше по сравнению с ценой изготовителя.
Ответ. на 20,2 рубля.
Задача 2. (демонстр. вариант 2006 г.) По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируется, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение. В конце первого года сумма составляет 55000 рб. Теперь начисляем 10 % от этой суммы и получаем сумму в конце второго года 60500 рб. Чтобы узнать весь доход за три года находим 110% от 60500, а это число равно 66550. Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 рублей.
Ответ. 16550 рб.
Задача 3. Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?
Решение. Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8х кг, а после увеличения веса на 30% - 0,8х*1,3 кг и т.д., в итоге Женя весил 0,8х*1,3*0,8*1,1, или 0,9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел.
Ответ. Нет.
Задача 4. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?
Решение. Масса “сухого вещества” арбуза составляла 100-99=1 (%) . Это 20*0,01=0,2 (кг). Т.е. те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02=10 (кг)
Ответ. 10 кг.
Задача 5. Производительность труда повысили на 25%. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?
Решение. Пусть раньше производили х деталей за смену, а стали производить х+0,25х=1025х=5/4х деталей за смену. С новой производительностью труда можно произвести прежнее число деталей за 4/5 смены, т.е. время выполнения задания уменьшится на 1/5, или на 20% .
Ответ. На 20%.
Для решения задач на смеси и сплавы, на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного уравнения и их систем.
Рассмотрим задачи, решаемые арифметическим способом.
Задача 6. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?
Решение. До сплавления в двух кусках было 300*20/100+200*40/100=140 г олова. После сплавления кусок массой 200+300=500 г будет содержать 140*100/500 (%) = 28(%) олова.
Ответ. 28%.
Задача 7. В 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.
Решение. Ответ можно получить по формуле р=
В данной задаче объем раствора увеличился в 3 раза, содержание кислоты не изменилось, поэтому процентная концентрация кислоты уменьшилась в 3 раза: 60:3=20(%)
Ответ. 20%
Теперь рассмотрим задачи, которые решаются применением уравнения.
Задача 8. Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го раствора кислоты?
Решение. Пусть надо взять х л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1*4=0,4, или 0,
05х+0,25*(4-х) л. Составим уравнение: 0,05х+0,25(4-х)=0,4.
Это уравнение имеет единственный корень х=3. Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л второго.
Ответ. 3 л первого и 1 л второго.
Задача 9. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2 : 3, в другом - в отношении 3 : 7. Сколько кг нужно взять от каждого сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11 ?
Решение Пусть нужно взять х кг первого и (8-х) кг второго сплава. Выразим через х массу золота в новом сплаве:
2/5 х + 3/10 х (8-х) = 0,1х +2,4 кг. Выразим через х массу серебра в новом сплаве: 3/5 х+7(8-х)/10=5,6-0,1х кг. Пользуясь тем, что массы золота и серебра в новом сплаве находятся в отношении 5 : 11, составим уравнение:
| 0,1х+2,4 | 5,6-0,1х, | имеющее единственный корень х=1. |
| 5 | 11 |
Ответ.От первого сплава надо взять 1 кг, а от второго 7 кг.
Рассмотрим задачу, которая решается с помощью систем линейных уравнений.
Задача 10. Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.
Решение. Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:
100 p/100 + 200 q/100=50*(100+200)/100
300 p/100 + 200 q/100=42*(300+200)/100.
Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%
Ответ. 60%
Знания всех способов решения помогают устранить пробелы данной темы. Учителя математики знают, что выпускники должны необходимо справиться с заданиями второй части ЕГЭ, куда включаются текстовые задачи. По сравнению с 2004 г. наблюдается положительная динамика (2004г-20.3%, прошлогодний результат – 28,9%). Отрадно отметить, что улучшается уровень знаний, умение решать текстовые задачи.