Основными задачами модернизации российского образования являются повышение его эффективности, доступности и качества, что, прежде всего, относится к содержанию учебного материала. С одной стороны необходимо обеспечить базовую подготовку учащихся, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.
В отношении математики до сих пор эту проблему некоторые школы и учителя пытались решать созданием математических и физико-математических классов, а теперь одним из направлений модернизации школьного образования является введение профильного обучения на старшей ступени школы. Но это лишь организационная сторона вопроса.
На мой взгляд, важным резервом в решении этого вопроса является интеграция учебного материала курсов алгебры и геометрии, усиление прикладной и практической направленности обучения.
Содержание школьных учебников не всегда соответствует требованиям времени. Так, например, не нашли, на мой взгляд, достаточного отражения в действующих учебниках математики такие вопросы, как: “Деление отрезка в данном отношении”, “Прямая и виды ее уравнений”, “Задание фигур уравнениями и неравенствами”, “Эллипс, гипербола, парабола и их уравнения”. В связи с этим, перед учителями математики, работающими в математических классах, встает проблема разработки этих тем самостоятельно.
Изучение интегрированных тем и курсов способствует установлению более тесной взаимосвязи алгебраического и геометрического материала, что, в свою очередь, обеспечивает лучшее понимание и более целостное восприятие учебного материала учащимися.
Представляемый урок был проведен в 9 физико-математическом классе, он показывает один из вариантов интегрирования учебного материала курса алгебры и геометрии на уровне чуть выше, чем это имеет место в общеобразовательных классах. В целях развития интереса к предмету используется исторический материал, различные формы работы на уроке, разнообразные задания.
ЦЕЛИ:
- проверить знания, умения и навыки учащихся по пройденному материалу;
- развивать умения работать в группе;
- формировать познавательный интерес к изучению математики.
ОБОРУДОВАНИЕ:
- памятки на каждом столе, в которых приводятся два типа задач (алгебраические и геометрические), алгоритм решения геометрических задач и примеры таких задач;
- карточки для выполнения домашнего типового расчета: карточки - “задание”, карточки - “данные”.
СТРУКТУРА УРОКА:
1. Организационный момент: ознакомление с целью и задачами урока, инструктаж учащихся по плану и организации работы на уроке.
2. Проверка по материалу домашних работ - проверка умений построения множеств точек, задаваемых уравнениями, неравенствами или их системами.
3. Фронтальная работа:
а) проверка умения по уравнению в неявном виде определить множество точек, задаваемое этим уравнением;
б) проверка умений использовать соответствующие формулы при решении несложных задач на деление отрезка в данном отношении и нахождение площади треугольника в координатах.
4. Постановка домашнего задания (типовой расчет) - проверка умений решать задачи среднего уровня сложности по теме, требующие определенных навыков вычислений и алгебраических преобразований.
5. Групповая работа - проверка умения в группе решать геометрические задачи среднего и выше среднего уровня сложности на применение метода координат.
6. Подведение итога урока - итоговая коррекция знаний учащихся.
ХОД УРОКА
Введение
Учитель: “Тема нашего сегодняшнего урока “Метод координат”. Этот урок не первый в теме и далеко не последний, но пройдено материала достаточно много, и назрела необходимость проверить накопленные знания и умения, подвести некоторые итоги. Метод координат универсальный метод, он значительно облегчает решение многих математических и нематематических задач. Вы, наверно, заметили, что прямоугольная система координат используется не только на уроках математики, но и физики, химии, географии и других предметов.
Обратите внимание на памятки, лежащие у вас на столах. Применяя метод координат в математике можно решать задачи, прежде всего, двух следующих типов:
- геометрическая интерпретация на координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств или их систем (построение графиков).
Примером здесь может быть построение графика любой из изучаемых в курсе алгебры функций. Алгоритм решения таких задач хорошо известен.
- задание фигур уравнениями, неравенствами или их системами через введение системы координат и выражение в координатах геометрических соотношений, которым удовлетворяют точки данной фигуры.
В памятке приводятся примеры таких задач и алгоритм их решения. К ним мы сегодня еще вернемся.
В задачах I типа методы геометрии применяются к алгебраическому материалу, а в задачах II типа, наоборот – методы алгебры к геометрии. Раздел математики, в котором изучается метод координат, называется аналитической геометрией. Созданием аналитической геометрии мир обязан двум знаменитым французским ученым Рене Декарту и Пьеру Ферма. И сегодня пусть девизом нашего урока будет жизненный девиз Рене Декарта: “Я мыслю, значит, я существую”.
Далее сообщается план урока.
1. Проверочная работа по домашнему материалу.
Задание: изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых (х;у) удовлетворяют условию:
I вариант
а) (у – 2)2= (x +1)2;
б) 
= х2 - 6х + 8;
в) у > 3 
- 2;
г) (
- 1) (у +2) > 0;
д)
> 2.
II вариант
а) 
= 
;
б)
= x2 - 4х;
в) у 
;
г) (x - 1) (у + 2) > 0;
д) x
.
Примечание: учащиеся выполняют задание на отдельных листах, пользуются решением домашних работ; после окончания работы листочки собираются и на перемене проверяются, сравнивая с образцом; результаты проверки анализируются при подведении итога урока.
3. Фронтальная работа
I часть. Задание: по уравнению в неявном виде определить множество точек, задаваемое этим уравнением, приведя его к явному виду:
а) х2 + 7х + 9 = 2у – у2+ x + 5;
б) х2 + 7х + 9 = - 2у + у2 + x + 1;
в) х2 + 7х + 9 = - 2у - у2+ x - 5;
г) х2 + 7ху + 8у2 = - xy + 8у2 - 4 + х2;
д) у2 -- 2ху = 9 – х2;
е)- х2 + 2х - у2 = 5 - 3y - у2;
ж)
=
5х - 3.
Ответы:
а) (x + 3)2 + (у - 1)2 = 6, окружность;
б) 
= 
,
две пересекающиеся прямые;
в) (x +3)2 + (у +1)2 = - 4, пустое множество точек;
г) у =
0,5/x, гипербола;
д) 
= 3, луч;
е) у = 1/3 х2 - 2/3 x + 5/3, парабола;
ж) угол с вершиной в точке (0,6; - 0,6).
II часть. Решить задачи: (задачи оформлены заранее на скрытой доске)
а) А(-2;1), В(3;-4), точка С(х;у) делит отрезок АВ в отношении 4:1, считая от точки А. Найти длину отрезка АС.
б) Точка С(5;-4) делит отрезок АВ, где А(3;-2) в отношении 2:5. Найти координаты точки В.
в) Найти площадь треугольника, если одна из его вершин, находясь на расстоянии 5 единичных отрезков от начала координат, лежит на оси ОХ, а две другие: А(5;1) и В(-2;2).
г) Площадь треугольника МТР равна 6,5 кв.ед., М(5;1),
Т(-2;2), Р(а;в). Найти координаты (а;в), если точка Р
лежит на прямой у = х.
Примечание: в задачах а) и б) надо рассматривать два случая.
Ответы: а) АС = 4
; б) В(10;- 9), В(5,8;- 4,8); в) Sтр = 3,5;
г) P(1/6;-1/6), Р(- 25/6; 25/6).
4. Постановка домашнего задания
Замечание: на столах для каждого ученика приготовлены карточки с заданиями типового расчета, которые одинаковы для всех учащихся, и карточки с данными для типового расчета в нескольких вариантах.
Карточка - “задание”
Типовой расчет по теме “Метод координат”:
1). Найти центр тяжести треугольника ABC (в координатах).
2). Найти площадь треугольника МТР, для которого точки А, В, С являются серединами сторон МТ, ТР, РМ соответственно.
3). Составить уравнение окружности с диаметром АВ.
4). Составить уравнение окружности, проходящей через точки А, В, С.
5). Найти множество точек плоскости таких, что сумма квадратов расстояний от каждой из которых до точек А и В равна квадрату расстояния до точки С.
Карточки - “данные”
| 1b. A(l;2), B(0;3), С(-4;5); | 2в. A(-l;2), B(3;0), C(4;-5); |
| Зв. A(l;-2), B(0;-3), C(4;5); | 4b. A(-l;2), B(-5;0), C(4;5); |
| 5b. A(-l;-2), B(0;3), C(4;5); | 6в. А(1;2), B(3;0), C(-4;-5); |
| 7b. A(-4;5), B(l;2), C(0;3); | 8b. A(4;5), B(1;-2), C(0;-3); |
| 9b. A(0;3); B(-4;5), C(l;2); | 10b. A(0;-3), B(4;5), C(l;-2). |
Замечание: учащиеся знакомятся с заданием; учитель дает пояснения, касающиеся оформления решения.
Групповая работа
Порядок организации групповой работы:
- класс разбивается на группы по 4-3 человека; группы формируются для данной работы примерно равные по силам;
- учитель ставит перед учащимися цель групповой работы: решить с помощью метода координат задачи, текст которых дан в памятке; определяется порядок работы: задачи решаются одна за другой всеми учащимися с обязательным обсуждением решения в группе.
- считается, что группа решила задачу только тогда, когда каждый член группы может объяснить решение у доски, в этом случае все члены группы поднимают руки, заявляя, тем самым, о своей готовности;
- учитель вызывает любого ученика из этой группы для доклада, при этом учащиеся остальных групп прекращают решение задачи и принимают роль оппонентов; если какая-то группа во время доклада заметила ошибку, то она сообщает об этом поднятием рук;
- после окончания доклада предложенное решение обсуждается, и выставляются баллы в зависимости от сложности задачи и правильности решения; правильные действия оппонентов также поощряются; после этого осуществляется переход к следующей задаче;
после разбора и решения всех намеченных задач, подводится окончательный итог групповой работы.
Примечания:
1) задачи для групповой работы даны в памятке к уроку;
2) прежде чем перейти к решению последней задачи, учитель сообщает учащимся, что эта задача была решена знаменитым древнегреческим геометром Аполлонием Пергским (260 - 170 г. до н.э.). Метод координат в то время еще не был известен, и, в связи с этим, фигура, которая будет получена в результате решения задачи, называется окружностью Аполлония.
Ответ к задаче № 4: (x – ак2 / (к2 - l))2 + у2 = a2 к2 / (к2 -1)2 - окружность с центром C(ак2/(к2 – 1); 0) и радиусом R = ак /¦к2 - 1¦.
6. Итог урока
После завершения групповой работы, учитель подводит итог всего урока, анализируя результаты проверочной работы по домашнему материалу, останавливаясь на ошибках и недочетах при решении задач во время фронтальной и групповой работы; выставляет отметки за урок (каждый ученик получает не менее двух оценок).
Литература, используемая при подготовке к уроку
- Л.С. Атанасян и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных школ. М., Просвещение, 1995г.
- М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М., Просвещение, 1995г.
- В.С. Щипачев. Аналитическая геометрия. Учебное пособие. М., “Аквариум”, 1997г.