Данная программа предназначена для учащихся 8-х классов общеобразовательной школы в целях их предпрофильной подготовки.
Комбинаторика – один из разделов дискретной математики, который приобрёл важное значение в связи с развитием теории вероятности, математической логики, вычислительной техники. Этот материал является занимательным, доступным и подходит для развития интереса школьников к математике.
Однако этот материал часто встречается при решении задач олимпиадного типа, значит, он помогает учащимся проявить себя на олимпиадах.
Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по теории кодов. Поэтому цель данных занятий – познакомить учащихся на популярном уровне с этим разделом математики.
Данный курс позволяет познакомить ребят с новыми идеями и методами, расширить представление об изучаемом материале и порешать интересные задачи. Сложность вопросов такова, что к их рассмотрению можно привлечь не только сильных учащихся. Эти вопросы не требуют основательной предшествующей подготовки и особого уровня развития, а для школьников могут стать толчком в развитии их интереса к предмету. Хотя они и выходят за рамки обязательного содержания, но, безусловно, будут способствовать совершенствованию и развитию математических умений, предусмотренных программой.
Изучение курса предполагается построить в виде лекций, практических занятий, уроков-сообщений. Формой итогового контроля будет зачёт.
К концу курса школьники овладеют следующими умениями и навыками: узнают процедуру доказательства методом математической индукции, определение перестановок, размещений, сочетаний, формулу Ньютона, научатся пользоваться треугольником Паскаля при возведении бинома в натуральную степень, производить вычисления с выражениями, содержащими факториалы.
Курс рассчитан на 17 часов.
Учебно-тематический план
№ п/п |
Тема занятия |
Количество часов |
1 |
Принцип математической индукции |
4 |
2 |
Предмет комбинаторики |
2 |
3 |
Упорядоченные множества |
3 |
4 |
Сочетания |
4 |
5 |
Прикладные задачи |
1 |
6 |
Бином Ньютона. Треугольник Паскаля |
3 |
Содержание программы (17 часов)
№ п/п |
Тема занятия |
Вид занятия |
Количество часов |
1 |
Принцип математической индукции (4часа) |
||
Понятие полной и неполной индукции |
Сообщение |
1 |
|
Принцип математической индукции |
Лекция Практика |
2 |
|
Обобщение принципа математической индукции |
Обсуждение Практика |
1 |
|
2 |
Предмет комбинаторики (2 часа) |
||
Предмет комбинаторики. Цели и задачи комбинаторики. Общие правила комбинаторики |
Лекция |
2 |
|
3 |
Упорядоченные множества(3 часа) |
||
Размещения. Размещения простые и с повторениями |
Беседа Практика |
2 |
|
Перестановки. Число перестановок. Пepecтановки простые и с повторениями |
Практика |
1 |
|
4 |
Сочетания (4 часа) |
||
Сочетания. Сочетания простые и с повторениями |
Лекция Практика |
1 |
|
Некоторые свойства числа сочетаний |
Сообщение Практика |
1 |
|
Рекуррентная формула для вычисления числа сочетаний |
Практика |
2 |
|
5 |
Прикладные задачи комбинаторики. Лабораторно-практическая работа по решению комбинаторных задач геометрического содержания |
Обсуждение Практика |
2 |
6 |
Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Урок-зачёт |
Практика |
2 |
Литература:
1.. Виленкин Н.Я. “Индукция.
Комбинаторика” (пособие для
учителей). Просвещение, 1976.
2. Ежов И.П., Скороход А.В. “Элементы комбинаторики”. М: Наука, 1977.
3. Халамайзер А.Я. “Комбинаторика и бином Ньютона”. М.: Просвещение, 1980.
4. Избранные вопросы математики. Факультативный курс для 9 класса, под редакцией Виленкина Н.Я. М: Просвещение, 1979.
5. Петраков И.С. “Математические кружки в 8 - 10 классах”.М: Просвещение, 1987.
6. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. “Внеклассная работа по математике”. М: Просвещение, 1984.
7. Алгебра и начала анализа (пособие для 9-го класса средней школы) под редакцией А.Н.Колмогорова. М: Просвещение, 1976.
8. Математика. Приложение к газете “Первое сентября”.
9. Энциклопедия для детей “Математика”.
I. Принцип математической индукции
Рассматриваются понятие полной и неполной индукции, аксиома и принцип индукции.
Учащиеся должны знать формулировку аксиомы индукции, обозначение А(п) для доказываемого равенства или неравенства, а также что неполная индукция приводит лишь к формулировке правдоподобного вывода, а полная в отличие от неполной сводится к рассмотрению каждого из конечных чисел возможных случаев. Это надежный метод рассуждений, который используется не только в математике.
Учащиеся должны уметь приводить доказательство методом математической индукции, когда хотят доказать, что некоторое утверждение справедливо для всех натуральных чисел, правильно оформлять запись доказательства.
II. Предмет комбинаторики
Рассматриваются цели и задачи комбинаторики, общие правила, сведения из истории комбинаторики, связь с другими науками.
Учащиеся должны знать историю возникновения комбинаторики, представителям каких профессий приходится иметь дело с комбинаторными вычислениями, общие правила.
Учащиеся должны уметь объяснить, почему в последнее время проявляется усиленный интерес к этому разделу математики.
Ш. Упорядоченные множества
Рассматриваются понятия перестановок, размещений, их свойства, задания с выражениями, содержащими факториалы.
Учащиеся должны знать определение размещений, перестановок элементов, что такое факториал.
Учащиеся должны уметь доказывать рекуррентную формулу, производить вычисления с выражениями, содержащими факториалы, доказывать формулы Pn = n*Pn_i и Ann=Pn=n! и пользоваться ими при решении задач.
IV. Сочетания
Рассматриваются определения и свойства сочетаний, рекуррентная формула для вычисления сочетаний.
Учащиеся должны знать определение сочетания, свойства и формулы для вычисления числа сочетаний.
Учащиеся должны уметь выводить данные формул и пользоваться ими при решении задач.
V. Лабораторно-практическая работа
Рассматриваются комбинаторные задачи геометрического содержания.
Учащиеся должны знать и уметь решать различного типа комбинаторные задачи геометрического содержания.
VI. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля
Рассматривается формула Ньютона и применение треугольника Паскаля при возведении бинома в натуральную степень, происходит знакомство с биографией этих учёных.
Учащиеся должны знать формулу Ньютона и основные следствия.
Учащиеся должны уметь доказывать формулу Ньютона для п=4, п=5 и пользоваться ею, выписывать любой член в формуле Ньютона, пользоваться треугольником Паскаля при возведении бинома в натуральную степень.