Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда. 11-й класс

Цель урока: Ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.

ХОД УРОКА

I. Понятие объема тела

– Величина части пространства. Занимаемого геометрическим телом называется объемом этого тела.

II. Рассказ учителя о мерах объема

– В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.
Среди них английские меры:

• Бушель – 36,4 дм³
• Галлон – 4,5 дм³
• Баррель (сухой) – 115,628 дм³
• Баррель (нефтяной) – 158,988 дм³
• Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм³.

Меры когда-то, применявшиеся в России:

• Ведро – 12 дм³
• Бочка – 490 дм³
• Штоф – 1,23 дм³ = 10 чарок
• Чарка – 0,123 дм³=0,1 штофа = 2 шкалика
• Шкалик – 0,06 дм³ = 0,5 чарки.

– Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.
Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.

На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.

Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

III. Постановка задачи

– Наша задача на уроке – найти для объема выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:

1. Равнее тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).
2. Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.

IV. Объяснение нового материала

– Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.

1. Доказать важное следствие: Объем куба с ребром равен
2. Доказать теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда.

Дано: параллелепипед,. а, b, c его измерения.
V – объем параллелепипеда.
Доказать: V = abc.
_________________

Доказательство:

1. Пусть а, b, c – конечные десятичные дроби ( n > 1).
Числа а ^. 10ⁿ , b ^. 10ⁿ, c ^. 10ⁿ – целые.
Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
Параллелепипед разобьется на abc·10³ⁿ равных кубов с ребром  .
Т.к. объем каждого такого куба равен  ,  то объем всего параллелепипеда равен  .
Итак, V = abc.

2. Хотя бы одно из измерений a, b, c – бесконечная десятичная дробь. Пусть а_n, b_n, c_n – конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n + 1). Тогда a_n < a < a_n’, где (аналогично для b, c). Перемножим эти неравенства a_nb_nc_n < abc < a_n’b_n’c_n’.

По доказанному в п. 1., левая часть – V_n, а правая V_n’. Т.к. параллелепипед Р содержит в себе параллелепипед Р_n, а сам содержится в параллелепипеде P_n’, то объем V параллелепипеда Р заключен между V_n = a_nb_nc_n и V’_n = a_n’b_n’c_n’ т.е. a_nb_nc_n < V < a_n’b_n’c_n’. При неограниченном увеличении n числобудет становиться сколь угодно малым, и потому числа a_nb_nc_n и a_n’b_n’c_n’ будут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Следовательно, число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит они равны: V = abc. Ч.т.д.

V. Закрепление

Рассмотреть следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади основания на высоту.

Доказать следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

VI. Решение задач № 650. № 653.

VII. Итог урока

VIII. Домашнее задание п.63 п.64. №654, № 656.(Уч. Атанасян Л.С. и др. 10–11)

Приложение: Презентация урока.