Урок по теме: "Вероятность события" в 6-м классе

Бахова Альфуся Борисовна

Основная цель – на популярном уровне познакомить школьников с разделом дискретной математики, который приобрел сегодня серьезное значение в связи с развитием теории вероятностей, математической логики, информационных технологий. Учащиеся должны получить представление о том, что такое комбинаторная задача, познакомиться с понятием событие, равновозможные события, научить определять вероятность того или иного события, научить решать задачи по данной теме. Расширение кругозора учащихся. Развитие интереса учащихся к изучению нового раздела математики. Повышение математической культуры, интеллектуального уровня учащихся.

ХОД УРОКА

I. Актуализация задач урока.

II. Устный счет.

1. Какими вопросами занимается раздел математики – комбинаторика?

(Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются различные вопросы, связанные с взаимным расположением частей данного множества, состоящего обычно из конечного числа элементов.)

2. Посчитайте: 2!; 3!; 4!; 5! .

(Ответ: 2; 6; 24; 120).

3. Всем известна знаменитая басня Ивана Крылова “Квартет”:

Проказница Мартышка,
Осел, Козел
Да косолапый Мишка
Затеяли квартет…

Как помниться, герои басни никак не могли усесться. Подсчитайте, сколькими способами герои квартета могут пересаживаться?

(Решение Р_n = 4! = 24 способа).

4. В сборнике занимательных задач Я. Перельмана “Живая математика” есть рассказ “Бесплатный обед”. В нем описывается случай, происшедший с десятью выпускниками, которые не могут отпраздновать окончание школы, потому что никак не решат: в каком порядке им сесть.

На выручку им пришел официант, который предложил сегодня сесть, как придется, на другой день придти и сесть по-другому и так каждый день, пока не наступит такой день, когда они опять сядут так, как сидят сегодня. И тогда официант обещал угостить всех бесплатным обедом. Как вы думаете, долго ли друзьям придется дожидаться бесплатного обеда?

(РЕШЕНИЕ: Р_n = 10! =3 628 800 . Число n! с ростом n растет очень быстро. Это означает, что на самом деле официант ничем не рисковал, так как обещанное событие произойдет почти через 10 000 лет.)

5. Встретились 5 друзей. Сколько было рукопожатий?

Ответ: (4+3+2+1=10).

III. Объяснение нового материала.

Кое-что из прошлого теории вероятности.

(Прилагается к уроку презентация <Приложение 1>, выполненная в Power Point, так как суммарный объем приложений не должен превышать 200 Кб, то презентация сокращена до минимума)

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились только коллективно.

Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Вот простейший опыт – подбрасывают монету. Выпадение орла или решки, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление решки происходит примерно в половине случаев.

Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно. Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л.Бюффон (1707 – 1788) в 18 столетии 4040 раз подбрасывал монету – решка выпала 2048 раз. Математик К.Пирсон в начале двадцатого столетия подбрасывал ее 24 000 раз – решка выпала 12 012 раз. Лет 40 назад американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываний решка выпала 4 979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Наиболее интересные задачи теории вероятности возникли в области азартных игр. Этому, по-видимому, способствовало наличие таких “наглядных пособий”, как монета или игральная кость.

К азартным играм относили бросание шестигранных игральных костей. Слово “азар” по-арабски означает “трудный”. Так, арабы называли азартной игрой комбинацию очков, которая при бросании нескольких костей могла появиться лишь единственным способом. Например, при бросании двух костей трудным (“азар”) считалось появление в сумме двух или двенадцати очков.

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П.Лапласом (1749-1827) в книге “Аналитическая теория вероятностей”.

В предисловии автор писал: “Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей”.

П.Лаплас не мог предусмотреть, что пройдет несколько десятилетий и интерес к теории вероятностей снизится. А так на деле и случилось. Во второй половине XIX века и в начале XX века некоторые математики перестали интересоваться теорией вероятностей как математической дисциплиной.

К счастью последние годы теория вероятностей вернулась в школьную программу, медленными, но уверенными шагами. Вот и наша задача – научиться решать такие жизненные задачи с помощью теории вероятностей.

Рассмотрим следующие примеры:

Пример 1. Пусть на стол бросают монету. В результате обязательно произойдет одно из двух событий (либо “выпала решка”, либо “выпал орел”)

Событие А: “Выпала решка”

Событие В: “Выпал орел”

Так как предполагается, что монета не изогнута, то события А и В в нашем примере равновозможные и одно из них обязательно произойдет. Тогда вероятность события определяется следующим образом: Р(А) =, где n – число всех равновозможных случаев, m – число случаев, благоприятствующих событию А. Тогда Р(А) = и Р(В) = .

Пример 2. Пусть на стол бросают игральный кубик.

Возможны 6 случаев: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Эти случаи равновозможные.

Событие А: “выпадение 3 очков”, тогда Р(А) = .

Пример 3. Двое играют в эту игру. Они бросают два кубика. Первый получает очко, если выпадет сумма 8. Второй получает очко, если выпадет сумма 9. Справедлива ли эта игра?

РЕШЕНИЕ:

Событие А: “при бросании двух кубиков выпало 8 очков”

Событие В: “при бросании двух кубиков выпало 9 очков”

При бросании двух кубиков могут получиться следующие равновозможные результаты:

I II

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

2 1

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

3 1

3 2

3 3

3 4

3 5

3 6

4 1

4 2

4 3

4 4

4 5

4 6

5 1

5 2

5 3

5 4

5 5

5 6

6 1

6 2

6 3

6 4

6 5

6 6

n = 36 – число всех равновозможных случаев;

m = 5 – число случаев благоприятствующих событию А;

к = 4 – число случаев благоприятствующих событию В.

тогда Р(А) =, Р(В) = ,

, то Р(А) > Р(В).

Так как 8 очков выпадает чаще, чем 9 очков, то данная игра не справедлива.

Пример 4

Из пяти букв нарезной азбуки составлено слово “книга”. Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слова “книга”?

РЕШЕНИЕ:

Событие А: “составил слова “книга””

Общее число равновозможных случаев равно 5! = 120, тогда Р(А) = .

IV. Тренировочные упражнения №№150, 151, 153, 155, 159, 162^*.

№ 150

Бросают игральный кубик. Подсчитайте вероятность события:

А: “выпадает 5 очков”;
В: “выпадает четное число очков”;
С: “выпадает нечетное число очков”;
D: “выпадает число очков, кратное 3”.

РЕШЕНИЕ:

Р(А) = ;
Р(В) =
Р(С) =
Р(D) =

Ответ: , , ,.

№ 151

Из ящика, где находятся 2 черных и 5 белых шаров, вынут наугад один шар.

Какова вероятность того, что вынут:

Черный шар;
Белый шар?

РЕШЕНИЕ:

Событие А: “вынут черный шар”

Событие В: “вынут белый шар”

Р(А) = Р(В) =

Ответ:

№ 153

На двух карточках написали буквы А и Д, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится слово “ДА”?

РЕШЕНИЕ:

– всего 2 возможных случаев.

Событие А: “получилось слово “ДА””.

Р(А) = .

Ответ: .

№ 155

На четырех карточках написали буквы К, О, Л, Я и положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится имя КОЛЯ?

РЕШЕНИЕ:

Событие А: “получилось имя КОЛЯ”.