Звездчатые многогранники

Деятельность учителя

Деятельность учеников

– Здравствуйте! Сегодня мы поговорим более подробно о звездчатых многогранниках.

<Приложение 1>.

Ребята слушают учителя.

2. Новая тема:

– Как вы думаете, от какого термина образовалось название “звездчатый”?

– Правильно, термин “звездчатый” имеет общий корень со словом “звезда”, и это указывает на его происхождение. Существуют звездчатые многоугольники и многогранники. Чтобы разобраться в этом, обратимся к чертежам.

– Начнем с простейшего многоугольника – равностороннего треугольника. Давайте продолжим все его стороны. Что получиться?

– Что же произойдет, если мы попытаемся продолжить стороны квадрата?

– От слова “звезда”.

Ребята смотрят на доску.

Ученик на доске продолжает стороны треугольника и делает вывод:

– Продолжения сторон будут расходиться:

<рисунок 1>.

Ученик на доске продолжает стороны квадрата и делает вывод:

– Построенные прямые будут попарно параллельны и не пересекутся.

<рисунок 2>.

– А как изменится картина в случае пятиугольника?

Ребята самостоятельно продолжают стороны пятиугольника и делают вывод:

– Получится звезда.

<рисунок 3>.

– Правильно, иначе она называется пентаграмма. Пентаграмма была известна в глубокой древности, пифагорейцы считали ее символом здоровья. Продолжение сторон шестиугольника приводит к появлению шестиугольной звезды, или гексаграммы. Аналогично правильный восьмиугольник к – октаграмме, правильный десятиугольник – к декаграмме.

<Приложение 2>.

Ребята смотрят презентацию.

– Давайте теперь обратимся к аналогичному процессу в трехмерном пространстве, и как вы думаете с чего надо начать?

– Разумеется, здесь нам потребуется продолжить не ребра, а грани многогранника. Следовательно, какую часть трехмерного пространства будут ограничивать грани тетраэдра?

(Учитель демонстрирует на модели).

• С тетраэдра.
• Из презентации ребята делают вывод:

– Ту часть пространства, которая совпадает с исходным телом.

– Правильно. Подобно квадрату, грани куба попарно параллельны и взаимно перпендикулярны, поэтому и в трехмерном случае к кубу не добавляются новые части.

– Давайте посмотрим, что же получиться, если мы продолжим грани октаэдра.

(Учитель демонстрирует на модели).

Ребята анализируют с учителем.

– Продолжения граней октаэдра отделяют от пространства новые части. Вы обнаружите, что эти части – малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Этот многогранник открыл Кеплер в 1619 году и дал ему имя stella octangula (восьмиугольная звезда).

<Приложение 3>.

– А продолжение дальше граней октаэдра имеет смысл?

– Нет, так как они не отделяют более никакой части пространства.

– Поэтому октаэдр имеет лишь одну звездчатую форму.

– Если же обратиться к додекаэдру, продолжив его грани, можно обнаружить, что это приведет к образованию трех различных типов отсеков. Поэтому додекаэдр имеет три формы: малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, – две из них были открыты Иоганном Кеплером (1619), третья – Луи Пуансо (1809).

<Приложение 4>.

Ребята смотрят презентацию.

– А теперь построим малый звездчатый додекаэдр, но для этого нам необходимо построить его развертку. Посмотрите внимательно, из чего состоит данное тело?

– Значит какие развертки мы будем строить?

– А как определить размер ребер пирамид?

– Из додекаэдра и 12 пятиугольных пирамид.

– Развертку додекаэдра и пятиугольных пирамид.

– Необходимо продлить грани додекаэдра и найти их пересечение.

<рисунок 4>.

<рисунок 5>.

– Самостоятельно постройте эти развертки.

– Сегодня вы узнали как из правильных многогранников можно перейти к другим видам многогранников – к звездчатым. Научились строить развертку малого звездчатого додекаэдра. Дома вы построите данное тело и на следующем уроке мы проведем выставку, и выберем самую лучшую модель.