Урок изучения нового материала по теме: "Вычисление угла между векторами"

Автандилова Надежда Юрьевна, преподаватель математики

Тип занятия: изучение нового материала.

Учебно-воспитательные задачи:

– вывести формулу для вычисления угла между двумя векторами;

– продолжать формировать умения и навыки применения векторов к решению задач;

– продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;

– воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.

Обеспечение занятия:

– таблица “Векторы на плоскости и в пространстве”;

– карточки-задания для индивидуального опроса;

– карточки-задания для проверочной работы;

– микрокалькуляторы.

Студент должен знать:

– формулу для вычисления угла между векторами.

Студент должен уметь:

– применять полученные знания к решению аналитических, геометрических и прикладных задач.

Мотивация познавательной деятельности студентов.

Преподаватель сообщает, что сегодня на занятии студенты научатся вычислять угол между векторами, применять полученные знания для решения задач технической механики и физики. Большинство задач дисциплины “Техническая механика” решаются векторным методом. Так, при изучении темы “Плоская система сходящихся сил”, “Нахождение равнодействующей двух сил” применяется формула вычисления угла между двумя векторами.

Ход занятия.

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

а) Индивидуальный опрос по карточкам.

Карточка 1.

1. Написать свойства сложения двух векторов.

2. При каком значении m векторы и будут коллинеарны?

Карточка 2.

1. Что называют произведением вектора на число?

2. Сонаправлены ли векторы и ?

Карточка 3.

1. Сформулировать определение скалярного произведения двух векторов.

2. При каком значении длины векторов и будут равны?

Карточка 4.

1. Записать формулы для вычисления координат вектора и длины вектора?

2. Коллинеарны ли векторы и ?

б) Вопросы для фронтального опроса:

Какие действия можно выполнять над векторами, заданными своими координатами?
Какие векторы называются коллинеарными?
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов?
Определение угла между векторами?
Определение скалярного произведения двух ненулевых векторов?
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов?
В чем заключается физический смысл скалярного произведения двух векторов?
Записать формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов через их координаты на плоскости и в пространстве.
Записать формулы для вычисления длины вектора на плоскости и в пространстве.

III. Изучение нового материала.

а) Выведем формулу для вычисления угла между векторами на плоскости и в пространстве. По определению скалярного произведения двух ненулевых векторов:

cos

Следовательно, если и , то

cos = , т.е.

косинус угла между ненулевыми векторами и равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин. Если векторы заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

= (x₁; y₁); = (x₂; y₂)

cos =

В пространстве:= (x₁; y₁;z₁); = (x₂; y₂; z₂)

cos =

Решить задачи:

Задача 1: Найти угол между векторами = (1; -2), = (-3; 1).

Решение:

cos =

= arccos = 135°

Задача 2: В треугольнике АВС найти величину угла В, если

А (0; 5; 0), В (4; 3; -8), С (-1; -3; -6).

Решение:

= (-4; 2; 8)

= (-5; -6; 2)

cos = =

71°

Задача 3: Найти угол между векторами и , если А (1; 6),

В (1; 0), С (-2; 3).

Решение:

= (0; -6)

= (-3; 3)

cos = = = –

= 135°

IV. Применение знаний при решении типовых задач.

ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА.

Задача 1.

Определить угол между векторами и , если А (1; -3; -4),

В (-1; 0; 2), С (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Задача 2.

Найти скалярное произведение векторов , если , = 30°.

Задача 3.

При каких значениях длины векторов и будут равны?

Задача 4.

Вычислить угол между векторами и

Задача 5.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

и .

ЗАДАЧИ ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА

Задача 6.

Найти равнодействующую двух сил ₁ и ₂, если = 5H; = 7H, угол между ними = 60°.

Решение:

° + .

Задача 7.

Вычислить работу, которую производит сила = (6; 2), если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (-1; 3), в положение В (3; 4).

Решение:

Задача 8.

Пусть – скорость материальной точки, – сила, действующая на нее. Чему равна мощность, развиваемая силой , если = 5H, = 3,5 м/с;

= 45°

Решение:

Задача 9.

Векторы и взаимно . Какой угол образуют векторы и , если ?

V. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

Проверочная работа с выборочной системой ответов.

Вариант 1.

При каком значении векторы = (3; + 1; 1) и = (-4; 2; 3) будут перпендикулярны?

а) -2;

б) 2

в) ;

г) верного ответа нет.

Найти длину вектора , если А (4; 0; 5), В (3; 2; -1):

а) ;

б)

в)

г) верного ответа нет.

3. Найти координаты вектора , если ;

а) 5;

б) 18;

в) 36;

г) верного ответа нет.

Вариант 2.

1. При каком значении векторы (4; 6; ) и будут коллинеарны?

а) -24;

б) 24;

в) 6

г) верного ответа нет.

2. Найти работу А, если = 3H; = 4м, = 30°

а) 6;

б) ;

в) -6;

г) верного ответа нет.

Найти длину вектора , если = 3
а) ;
б) ;
в) 26;
г) верного ответа нет.

Вариант 3.

1. Найти если ;

а) 8;

б) 9;

в) 17;

г) верного ответа нет.

2. При каком значении вектора и будут перпендикулярны?

а) 2;

б) -2;

в) ;

г) верного ответа нет.

3. Найти координаты вектора , если .

а) (5; 6; 7);

б) (-1; 6; 7);

в) (-1; 6; -3);

г) верного ответа нет.

Вариант 4.

1. При каком значении вектора и будут перпендикулярны?

а) -3; -2;

б) 4;

в) 3; 4;

г) -3.

2. Вычислить скалярное произведение, если

а) 23;

б) 71;

в) 25;

г) 10.

3. Найти длину вектора

а) ;

б) 5;

в) 2;

г) .