Использование монотонности при решении уравнений и неравенств

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Если функция y = f(x) возрастает на [a;b], то для любых x₁ и x₂, принадлежащих отрезку [a;b] и таких, что x₁< x₂, справедливо неравенство f(x₁)<f(x₂).

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Если функция y = f(x) убывает на [a;b], то для любых x₁ и x₂, принадлежащих отрезку [a;b] и таких, что x₁< x₂, справедливо неравенство f(x₁)>f(x₂).

Эти (возрастающие и убывающие) функции называются монотонными функциями на промежутке.

Напомним важные и одновременно полезные свойства монотонных функций, которые используются при решении уравнений инеравенств.

1. Если функции f₁(x) и f₂(x) возрастают (убывают) на каком-либо промежутке (а;b), то функция y = f₁(x) + f₂(x) также возрастает (убывает) на (а;b).
2. Если функции f₁(x) и f₂(x) возрастают (убывают) на каком-либо промежутке (а;b) и положительны при всех х (а;b), то функция y = f₁(x) • f₂(x) также возрастает (убывает) на (а;b).
3. Если функция f(x) возрастает на промежутке (а;b), то функция С•f(x), где постоянная С > 0, возрастает на промежутке (а;b), в случае, если С < 0, функция С•f(x) убывает на промежутке (а;b).
4. Если функция f(x) возрастает (убывает) на каком-либо промежутке (а;b) и положительна при всех х (а;b), то функция y = убывает (возрастает) на промежутке (а;b).
5. а) Если функция f(x) возрастает при х (а;b), а функция (t) возрастает при t(с;d), причём значения (t)(а;b), то сложная функция f((t)) возрастает на промежутке (с;d).

б) Пусть f(x) убывает, (t) убывает; тогда t₁< t₂ (t₁)> (t₂) f((t₁)) < f((t₂)), значит, сложная функция f((t)) возрастает.

в) Пусть f(x) убывает, (t) возрастает; тогда t₁ < t₂ (t₁) < (t₂) f((t₁)) > f((t₂)), значит, сложная функция f((t)) убывает.

г) ) Пусть f(x) возрастает, (t) убывает; тогда t₁ < t₂ (t₁) > (t₂) f((t₁)) > f((t₂)), значит, сложная функция f((t)) убывает.

Последнее свойство в некотором смысле похоже на правило знаков. Аналогию можно подметить из следующей таблицы.

6. Если функция f(x) возрастает (убывает) на каком-либо промежутке (а;b), то неравенство f(x₁) < f(x₂) (f(x₁)>f(x₂)) равносильно неравенству х₁ < х₂ (x ₁ < x₂), где числа х₁и х₂ принадлежат (а;b).

7. Если функция f(x) монотонна на промежутке (а;b), то каждое своё значение она принимает один раз. Другими словами, уравнение f(x) = a может иметь не более одного корня.

8. Если функция f(x) строго возрастает на промежутке I, а функция h(x) строго убывает на том же промежутке, то уравнение f(x) = h(x) имеет не более одного корня на промежутке I.

9. Если функция f(x) строго возрастает (убывает) на промежутке I и числа а и b принадлежат промежутку I, то равенство f(a) = f(b) равносильно равенству а = b.

10. Если f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x) = x и f(f(x)) = x эквивалентны.

11. а) Если функция f(u) строго возрастает на R, то равносильны неравенства .

б) Если функция f(u) строго убывает на R, то равносильны неравенства .

Следствия из утверждения № 11. Равносильны неравенства.

12.a). Если функция f(u) имеет область существования – промежуток I, и она строго возрастает на нем, то неравенство равносильно системе

б). Если функция f(u) имеет область существования – промежуток I, и она строго убывает на нем, то неравенство равносильно системе

Под областью существования функции понимается множество всех тех действительных значений аргумента, для каждого из которых функция определена.

Область же определения функции может совпадать с областью существования функции или составлять часть области существования.

Следствия из утверждения № 12. Равносильны неравенства и системы неравенств.

1). log_a h(x) > log_a g(x), (a>1) и h(x) > g(x) > 0.

2). log_a h(x) > log_a g(x), (0<a<1) и 0 < h(x) < g(x).

3).>, (mN) и h(x) > g(x) 0.

4). arcsin h(x) > arcsin g(x) и - 1 g(x) < h(x) 1.

5). arccos h(x) > arcos g(x) и -1 h(x) < g(x) 1.

13. Пусть множество М и промежуток I таковы, что , для любого х М.

а) Если функция f(u) cтрого возрастает на I , то на множестве М равносильны неравенства f() > f() и > .

б) Если функция f(u) cтрого убывает на I , то на множестве М равносильны неравенства f() > f() и < .

Итак, неравенства вида f() > f() можно решать следующим образом: сначала следует определить Д – область существования функции f(u), затем, если Д есть промежуток I, то надо проверить, является ли функция f(u) cтрого монотонной на I; если да, то можно применить утверждение №11 (если I = R) или утверждение №12, если (IR).

Если Д не является промежутком или если Д – промежуток, но функция f(u) не является строго монотонной на нём, то можно попытаться применить утверждение №13.

Если же условия утверждения №13 не выполнены, то надо искать другие способы решения.

Примеры решения уравнений, неравенств и их систем.

Пример №1. Найти все значения х (4;), для которых справедливо равенство sin x + 4tg x = 2cos x.

Решение: Рассмотрим функции: h(x) = sin x + 4tg x и g(x) = 2cos x при х(4). Функция h(x) = sin x + 4 tg x по свойству №1 строго возрастает на этом промежутке (как сумма двух возрастающих функций ). Функция g(x) = 2cos x при х(4) строго убывает. Значит, согласно свойству №8 , данное равенство или выполняется только при одном значении х(4), или является ложным при всех значениях х(4). Подбором находим, что при х = данное равенство справедливо, т. к.

sin + 4 tg = sin (4)+ 4 tg(4) = = 4,5.

3cos = 3cos(4)= 3 = 4,5. Итак, h() = g().

Ответ:

Пример №2. Решить уравнение: cos² x

Решение: Пусть cos x = t , где -1 ? t= 1.

Уравнение принимает вид: .

Рассмотрим функцию: f(t) = , где .

На промежутке От 3/5 до бесконечности функция f(t) строго возрастает, т.к. t² и на данном промежутке строго возрастают.

Данное уравнение можно записать в виде: f(t) =f( 2- t).

Согласно свойству №9 t = 2 – t, t = 1, 1, тогда cos x = 1, x = 2k, k.

Ответ: 2k, k.

Пример №3. . Решить уравнение: arctg .

Решение: Пусть х² + х = t. Тогда уравнение примет вид

arctg .

Функции Z = Z = , y = arctg z и y = arcsin z являются монотонно возрастающими. Поэтому функция y = arctg +arcsin также является монотонно возрастающей. В силу свойства №8 уравнение

arctg имеет не более одного корня. Находим подбором t = 0 – корень данного уравнения.

Поэтому х²+ х = 0, х = 0, х = -1.

Ответ: -1 ; 0.

Пример №4. Решить неравенство: arсcos x + arсcos x + arсcos x .

Решение: Рассмотрим функцию f(x) = arсcos x + arсcos x + arсcos x.

О.Д.З. х.

Функция f(x) = arcсos x + arcсos x + arcсos x представляет собой монотонно убывающую функцию на отрезке . Значит, уравнение f(x) = имеет не более одного корня (свойство № 7) . Подбором находим х =. Поэтому решением неравенства f(x) является отрезок (свойство №6).

Ответ: .

Пример №5. Решить уравнение: 2^х + 3^х + 4^х = 9.

Решение: Функция f(x) = 2^х + 3^х + 4^х монотонно возрастает при х R (свойство №1). Значит, уравнение 2^х + 3^х + 4^х = 9 имеет не более одного корня (свойство № 7).

х= 1, т. к. f(1) = 9.

Ответ: 1.

Пример №6. Решить неравенство : 2^х + 3^х + 4^х >9.

Решение: Аналогично примеру №6 получаем ответ х > 1 (свойство №6).

Пример №7. Решить неравенство: 2^х+1 - 8 < .

Решение: Пусть P = 5 – 2^{Х +1} , g = 2 ^х+1 – 3.

Тогда g – P = 2^х+1 – 3 – 5 + 2^х+1 = 2^х+2 – 8.

Данное неравенство принимает вид: g – P < ; g + < P + .
Рассмотрим функцию f(t) = + . Эта функция монотонно возрастает при t

(cвойство № 1). Поэтому данное неравенство, имеющее вид f(g)< f(P), равносильно неравенству g < P (свойство № 6), т. е.

2^{х +1} – 3 < 5 – 2 ^{х + 1} ;

2^{х +2} < 8,

Х < 1.

Ответ: ( - ).

Пример №8. Решите неравенство: (0,5)^х + .

Решение: О.Д.З. х > 0. При х > 0 функция у = (0,5)^х + монотонно убывает и f(1) =, тогда неравенство (0,5)^х + (согласно свойству №6 ) верно при х, с учётом О.Д.З. получаем ответ х .

Ответ : .

Пример №9. Найти наибольшее целое число х, не удовлетворяющее неравенству:

5^х + 4• 3^х+1 6100

Решение: Функция f(x) = 5^х + 4• 3^х+1 является возрастающей при х R, значит каждое своё значение принимает один раз (свойство №7).

f(6) , f(6) = 27498.

f(5) f(5) = 6041.

Ответ: 5.

Пример №10. Найти наименьшее целое число х, удовлетворяющее неравенству:

4^х + 6 • 13^х .

Решение: Аналогично примеру №10.

Функция f(x) = 4^х + 6 • 13^х возрастает при хR.

f( 2) = 1030, f(3) = 13246.

Ответ: 3.

Пример №11. Решить систему уравнений:

Решение: Умножим обе части первого уравнения на 3^{-2у +2х} , а обе части второго

на 3^{-2у –х -1} , получим систему уравнений

Вычтем из первого уравнения второе:

Преобразуем второе уравнение системы:

3^-у = 3^{х -4у +1},

-у = х - 4у +1, отсюда х = 3у – 1.

Подставим х = 3у – 1 в первое уравнение системы :

3у – 1 + 2у

3у – 1 + ,

11у – 3 = 8

Функция g(y) = 11y – 3 монотонно возрастает на R, а функция h(y) = 8 монотонно убывает на R. По свойству №8 уравнение 11у – 3 = 8 не может иметь более одного корня. Находим у = 1, тогда х = 2.

Ответ: (2;1).

Пример №12. Решить уравнение log _{6 – x} log₂ X = log _{7 –x} log ₂ (2X).

Решение:

log _{6 – x} (7 - x) =

Пусть log ₂ X = t. Рассмотрим функцию f (t) = lg _t (t+1).

При t > 1 эта функция монотонно убывает. Докажем это. Найдём производную.

f (t) = . f ^| (t) = f ^| (t) < 0.

Уравнение имеет вид: f (6-x) = f(log₂ X).

Слева возрастающая функция, справа убывающая функция, значит уравнение имеет не более одного корня. (Свойство № 8).

Подбором находим х = 4.

Ответ: 4.

Пример №13 . Решите неравенство: log ₂

Решение: Пусть х² - 8х – 11 = z, тогда неравенство принимает вид:

log ₂ .

Функция f(z) = log ₂ монотонно возрастает при z 0, т.к. функции

log ₂ и lg(z+1) при z 0 положительны и обе возрастают.

Подбором находим, что f(9) = 2, поэтому данное неравенство, имеющее вид f(z) f(9), равносильно неравенству

z 9.

Х² – 8Х – 11 9

Х² – 8Х – 20 0.

Х² – 8Х – 20 = 0, D = 144, Х₁ = 10 , Х₂ = - 2

Х.

Ответ: Х

Пример №14. Решить уравнение: = 3.

Решение: Функция f(x) = определена и монотонно возрастает на промежутке . На основании свойства №8 уравнение имеет не более одного корня. Т.к. f(1) = 3, то х = 1 – корень уравнения.

Ответ: 3.

Литература.

1. Рязановский А.П. 500 способов и методов решения задач по математике. –М.:Дрофа,2001.
2. Семёнов В.И. По страницам учебника М.Л.Галицкого…- Кемерово, 1999.
3. Семенов В.И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучения математики. – Кемерово, 1998.
4. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач.– М.: Просвещение, 1991.
5. Журнал “Математика в школе”, 2005, №10.