Цели:
- Обобщить и систематизировать материал по теме “Статистические характеристики”.
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
- Содействовать рациональной организации труда; введением игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение; развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.
Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний с дидактической игрой “Крестики – нолики”.
Организационные формы общения: групповая, индивидуальная.
Предварительная подготовка совместно с учащимися. Выбор тем социологического исследования, сбор данных по выбранным темам.
Структура урока:
1. Мотивационная беседа.
2. Сообщение правил игры.
3. Входной контроль – игровые действия, в
процессе которых происходит актуализация
опорных знаний.
4. Игровые действия, в процессе которых
раскрывается познавательное содержание;
происходит воспроизведение и коррекция учебных
знаний; проводится диагностика усвоения системы
знаний и умений и ее применение для выполнения
практических заданий стандарта с переходом на
более высокий уровень.
5. Итог игры, подведение итогов урока.
6. Творческое домашнее задание.
7. Рефлексия.
Оформление:
1. Таблица с названиями конкурсов.
2. Высказывания Р. Фишера, М. Лауэ.
3. На стенде “Сегодня на уроке” – домашнее
задание.
4. Выставка литературы о статистике.
ХОД УРОКА
1. Мотивационная беседа с учащимися.
“Статистика знает всё”, – утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе “Двенадцать стульев” и продолжали: “Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок… Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..” Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status – состояние) – науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления. Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий. Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). А еще есть статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая.
Мы с вами рассматриваем понятия и методы описательной статистики, которая занимается первичной обработкой информации и вычислением наиболее показательных числовых характеристик. По словам английского статистика Р. Фишера: “Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях”. Всю совокупность числовых данных, полученных в выборке можно (условно) заменить несколькими числовыми параметрами, некоторые из них мы уже рассматривали на уроках – это среднее арифметическое, размах, мода и медиана. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь определять эти статистические характеристики.
2. Сообщение правил игры.
Класс разбивается на две команды, которые решают задачи. С помощью жребия выбирается код команды – “крестик” или “нолик”. Выигрывает та команда, которая набирает большее количество своих знаков. Команда, которая с очередным заданием справилась быстрее, имеет право выбора следующего конкурса. Непременное условие игры – начинать с конкурса “Вспомни”.
На доске расположена таблица с названием конкурсов, каждая графа которой содержит определенное задание.
| Вспомни | Черный ящик | Реши задачу | “Т” |
| Эрудит | Тест-прогноз | Составь задачу | “ ! ” |
Если команда выиграла конкурс, то в таблице вместо названия конкурса проставляется код команды – “крестик” или “нолик”, так участники могут следить за ходом игры.
3. Актуализация опорных знаний.
Входной контроль. Конкурс “Вспомни”
Каждой команде предлагается ответить на
вопросы и выполнить следующие задания.
На доске два ряда чисел , по одному для каждой
команды.
“+”: 8, 3, 8, 5, 1.
“0”: 7, 5, 6, 10, 2.
1. Что называется средним арифметическим ряда чисел? (Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.)
2. Может ли среднее арифметическое ряда чисел не совпадать ни с одним из этих чисел? (Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним из этих чисел.)
3. Что называется размахом ряда чисел? (Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.)
4. Что называется модой ряда чисел? (Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.)
5. Любой ли ряд чисел имеет моду? (Ряд чисел может не иметь моды.)
6. Может ли ряд чисел иметь более одной моды? (Числовой ряд может иметь более одной моды, такой ряд – полимодальный.)
7. Может ли мода ряда чисел не совпадать ни с одним из этих чисел? (Мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда.)
8. Что называется медианой ряда чисел? (Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине; медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.)
9. Может ли медиана числового ряда не совпадать ни с одним из этих чисел? (Медиана ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел.)
10. Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего 2n – 1 чисел; 2n чисел? (Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n – 1 членов, то медианой ряда является n-й член, так как n – 1 членов стоит до n-го члена и n – 1 членов – после n-го члена. Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n-м и n + 1-м местах.)
Задание. Определить статистические характеристики для записанных на доске числовых рядов.
(“+”: ранжированный ряд 1, 3, 5, 8, 8. х = (1 + 3 + 5 + 8 +
8): 5 = 5; Мо = 8; Ме = 5; размах = 8 – 1 = 7.
“0”: ранжированный ряд 2, 5, 6, 7, 10. х = (2 + 5 + 6 + 7 + 10) : 5 =
6; Мо – нет; Ме = 6; размах = 10 – 2 = 8).
4. Игровые действия.
Следующие конкурсы проходят в таком порядке, в каком их выбирают команды, проставляя в таблице соответственно “крестик” или “нолик”, поэтому структура урока может измениться в рамках игровых действий.
Конкурс “Эрудит”
1. Сколько чисел в ряду, если его медианой служит
а) пятнадцатый член; б) среднее арифметическое
семнадцатого и восемнадцатого членов? (а) если
упорядочить данный ряд чисел, то до члена с
номером n = 15 в полученном ряду будет находиться 14
членов. Так как 15-й член является медианой, то
после него тоже находится 14 членов. Всего в ряду 14
+ 1 + 14, т.е. 29 членов;
б) если упорядочить данный ряд чисел, то до 17-го
члена в полученном ряду находится 16 членов. Так
как 17-й и 18-й члены расположены в упорядоченном
ряду чисел посередине, то после 18-го члена также
находится еще 16 членов. Всего в ряду 16 + 2 + 16, т.е. 34
члена.)
2. В ряду данных, состоящем из 12 чисел, наибольшее число увеличили на 6. Изменятся при этом и как: а) среднее арифметическое; б) размах; в) мода; г) медиана? (а) среднее арифметическое увеличится на 6/12, т.е. на Ѕ; б) размах ряда увеличится на 6, так как наибольшее число увеличится на 6 и соответственно на 6 увеличится разность между наибольшим и наименьшим числами; в) мода ряда не изменится; по смыслу задачи в ряду есть наибольшее число, и, значит, мода с ним не совпадает, а при увеличении наибольшего числа новое число не может быть модой; г) медиана ряда не изменится, так как в соответствующем упорядоченном ряду числа, записанные посередине, не изменятся.)
Конкурс “Черный ящик”.
На школьной спартакиаде проводится несколько квалификационных забегов на 100 метров, по результатам которых в финал выходит ровно половина от числа всех участников. Перед вами результаты всех спортсменов. Какой результат позволяет пройти в финал? Воспользуйтесь графической интерпретацией, изображая все числа и их среднее арифметическое на числовой прямой.
15,5; 16,8; 21,8; 18,4; 16,2; 32,3; 19,9; 15,5; 14,7; 19,8; 20,5; 15,4.
(Для ответа на вопрос нужно вычислить
медиану: Ме = 17,6.
Спортсменов, которые имеют результат выше
найденного, будет как раз половина от числа всех
участников. А вот результат выше среднего
арифметического, которое равно здесь х = 18,9, еще
не позволяет рассчитывать на выход в финал: в
списке есть спортсмен с результатом 18,4, который
не попадает в финал. Мода этого ряда равна Мо = 15,5
и дает слишком завышенную оценку для “среднего
результата”. Среднее арифметическое числового
ряда является его наиболее естественным
“центром”. Если нарисовать все члены ряда на
числовой прямой, то среднее арифметическое будет
их центром масс).
Конкурс “Тест-прогноз”.
Каждое число исходного ряда увеличили на 10. Что произойдет с его средним арифметическим, модой и медианой?
Ответы:
1. Среднее арифметическое …
а) увеличится на 100;
б) уменьшится на 10;
в) увеличится на 10;
г) увеличится в 100 раз.
2. Мода…
а) увеличится на 10;
б) уменьшится в 100 раз;
в) увеличится в 10 раз;
г) увеличится на 100;
3. Медиана…
а) увеличится в 10 раз;
б) уменьшится на 10;
в) уменьшится на 100;
г) увеличится на 10.
(1. в); 2. а); 3. г)).
Конкурс “Реши задачу”.
Работа с учебником. Задача №7.30 из учебного пособия “Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей” авторов Ю.Н. Макарычева и Н.Г. Миндюк.
Ниже указана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона:
12,2; 13,2; 13,7; 18,0; 18,6; 12,2; 18,5; 12,4; 14,2; 17,8.
Для представленного ряда данных найдите среднее арифметическое, моду, размах и медиану. Что характеризует каждый из этих показателей?
(Среднее арифметическое представленного ряда данных равно 15,08 ? 15, т.е. в среднем заводы региона перерабатывают в сутки около 15 тыс. ц сахара. Размах ряда равен 6,4, т.е. наибольшее различие в количестве перерабатываемого заводами в сутки сахара составляет 6,4 тыс. ц. Мода равна 12,2, т.е. чаще других встречается среднесуточная переработка сахара, 12,2 тыс. ц. Медиана ряда равна среднему арифметическому чисел 13,7 и 14,2, стоящих в середине соответствующего упорядоченного ряда, т.е. равна 13,95 ? 14 тыс. ц. Медиана позволяет выделить заводы, выработка которых ниже срединного показателя.)
Задача № 7.32 – домашнее задание.
Конкурс “Составь задачу”.
Результаты социологического исследования. Выделили группу учащихся 6, 7, 9 классов Суетовской муниципальной средней (полной) общеобразовательной школы в количестве 30 человек. Каждая команда анализирует ответы на вопрос “Сколько детей в вашей семье?” и составляет задание.
Задание. Составьте числовой ряд и определите его статистические характеристики, объясните практический смысл этих показателей.
(1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; …; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4;.
Размах = 4 – 1 = 3; х = (1 · 7 + 2 ·15 + 3 · 5 + 4 · 3) : 30 = 64 : 30 ?
2,13.
В среднем в семьях по 2 ребенка.
Мо = 2.
Наиболее часто встречаются семьи с двумя детьми.
Ме = (2 + 2) : 2 = 2.
Знание медианы позволяет выделить семьи,
количество детей в которых выше или ниже
срединного показателя).
Домашнее задание. Проанализировать
результаты исследования по теме “Степень
популярности школьного предмета” (ответы группы
учащихся 6, 7, 9-х классов Суетовской муниципальной
средней (полной) общеобразовательной школы
Ярцевского района Смоленской области).
Математика – 8, информатика – 5, физкультура – 6,
черчение – 1, музыка – 1, история – 3, трудовое
обучение – 3, русский язык – 1, биология – 2.
Конкурс “ Т ”.
Каждой команде предлагается ответить на следующие вопросы:
1. Как могут измениться размах и мода ряда чисел, если:
а) дополнить его числом, превосходящим все
остальные;
б) вычеркнуть из него число, меньшее всех
остальных?
(а) Размах ряда увеличится, так как в
рассматриваемой разности увеличится
уменьшаемое. Если ряд имел моду, то она не
изменится, так как добавленное число не
совпадает ни с одним из данных чисел.
б) Размах ряда уменьшится, так как в
рассматриваемой разности увеличится вычитаемое.
Если ряд имел моду, то она не изменится, так как
вычеркнуто число, не совпадающее ни с одним из
оставшихся чисел. Можно предложить учащимся
проиллюстрировать свой ответ примерами).
2. Известно, что ряд данных состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом:
а) среднее арифметическое;
б) размах;
в) мода;
г) медиана?
(а) Может, так как частное от деления суммы
натуральных чисел на натуральное число может
быть дробным числом;
б) нет, так как разность двух натуральных чисел не
может быть дробным числом;
в) нет, так как мода выражается числом, которое
встречается в ряду данных;
г) да, в случае, если в ряду данных четное число
членов).
Конкурс “ ! ”.
Работа на откидных досках. Индивидуальные задания на карточках. Копии задач – у команд.
Задача для первой команды.
Президент компании получает зарплату 100 000 руб., четверо его заместителей получают по 20 000 руб., а 20 служащих компании – по 10 000 руб. Найдите все средние характеристики (среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании. Какую из этих характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях?
(х = ( 100 000 + 4 · 20 000 + 20 · 10 000) : ( 1 + 4 + 20) =
15 200;
Мо = 10 000; Ме = 10 000; выгоднее использовать в
рекламных целях среднюю зарплату 15 200 руб.)
Задача для второй команды.
Президент компании получает зарплату 100 000 руб., пятеро его заместителей получают по 20 000 руб., а 14 служащих компании – по 10 000 руб. Найдите все средние характеристики ( среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании. Какую из этих характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях?
(х = ( 100 000 + 5 · 20 000 + 14 · 10 000) : ( 1 + 5 + 14) =
17 000;
Мо = 10 000; Ме = 10 000; в рекламных целях выгоднее
использовать среднюю зарплату 17 000 руб.)
5. Итог урока.
Подводится итог игры, определяются победители, они и получают высший балл на уроке, а друга команда – на балл ниже. Учителю дается право оценить индивидуально нескольких учащихся в зависимости от активности на уроке.
– Вы понимаете, чтобы хорошо усвоить новое, надо постоянно повторять изученное. Помните слова французского инженера – физика М. Лауэ: “ Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто”. Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую работу на выбор.
6. Домашнее задание.
В качестве дополнения к домашнему заданию, которое дано в процессе урока, предлагается на выбор: составить рекламу статистическим характеристикам, написать сочинение о статистических характеристиках, найти в справочном материале историческую справку по теме.
– Обратите внимание, на стенде “Сегодня на уроке”, как обычно, вы найдете это творческое домашнее задание.
– Дополнительную информацию, как вы уже знаете, можно найти в книгах и журналах, представленных на нашей выставке, а также в библиотеке.
7. Рефлексия.
С учащимися обсуждается работа на уроке.
– Что нового узнали?
– Что понравилось на уроке?
– Что не понравилось?
– Что необходимо изменить, чтобы было еще
интересней?
Литература
1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2005
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2005.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. Изучение алгебры в 7 – 9 классах. М.: Просвещение, 2005.
4. Бощенко О.В. Математика. Итоговые уроки. 5 – 9 классы. – Волгоград: Учитель, 2004.