Сценарий проведения урока математики в 6-м классе по теме: "Решение задач на проценты"

Мы обретаем ту силу, что преодолели.

Ш.А. Амонашвили

Тема урока: решение задач на проценты.

Тип урока: урок применения знаний и умений.

Цели урока:

Образовательные:

• организовать деятельность учащихся по актуализации знаний и умений по теме “Проценты” и обеспечить их применение при решении задач вариантов централизованного тестирования и ЕГЭ на проценты.

Развивающие:

• содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умения анализировать, выделять главное, сравнивать;
• формирование и развитие у учащихся общеучебных умений решения задач: умения анализировать условие задачи, поиска способа решения, составления плана решения, изложения решения задачи, формулировки ответа задачи.

Воспитательные:

• формирование гуманных отношений на уроке;
• формирование и развитие нравственных качеств учащихся: гордость, чувство собственного достоинства, дисциплинированность;
• способствовать формированию самостоятельности и активности, настойчивости, умения преодолевать трудности, максимальной работоспособности, гражданской позиции.

Оборудование: мультимедийный проектор или оформление доски, микрокалькуляторы.

Структура урока

1. Организационный момент – 2 мин.
2. Актуализация ранее изученного материала – 8 мин.
3. Фронтальная работа по анализу условия и составлению плана решения задач на проценты - 18 мин.
4. Самостоятельная работа – решение задач по группам (работа в парах) – 6 мин.
5. Проверка и обсуждение полученных результатов – 7 мин.
6. Информация о домашнем задании – 2 мин.
7. Подведение итогов урока – 2 мин.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Задачи этапа: обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке и психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему уроку.

Содержание этапа:

1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Всем мое почтение и наилучшие пожелания. Какое у вас настроение? Хорошее! Молодцы! Сегодня у нас с вами заключительный урок по теме “Проценты”. Это необычный урок. На нем мы должны с вами попытаться решить задачи, которые далеко не каждый выпускник решит. Это задачи из вариантов централизованного тестирования и ЕГЭ. Не волнуйтесь, я с вами. Я помогу вам. Вы знаете, а я немного волнуюсь. Сможете ли вы решить их? Надеюсь. Я убедительно прошу вас сделать это. И тогда я буду гордиться вами!

2. Проверка готовности учащихся к уроку: отметка отсутствующих, состояние рабочих мест, наличие тетрадей, учебников, ручек, дневников.

Учитель: Друзья мои! У кого какие проблемы? Все готовы? Прекрасно! Внимание! Начинаем работу!

3. Раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение задач на проценты. Я думаю, всем вам будет интересно познакомиться с задачами на проценты, которые предлагаются выпускникам школ на ЕГЭ, и применить ваши знания и умения для их решения. Реализовывать эту цель я предлагаю по следующему плану. В начале урока имеет смысл, вспомнить все, что мы знаем о процентах.
Далее все вместе будем анализировать условия предложенных 3 задач, искать способы решений, составлять планы решения, оформлять решение задач. Будет предложено для самостоятельного решения 2 задачи (работа в парах). Полученные результаты проверим и обсудим. Получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, нас обьединила общая цель. Попытаемся совместной деятельностью реализовать ее.

II. Актуализация ранее изученного материала

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использоваться при решении предложенных задач.

Содержание этапа:

Устная фронтальная работа по заданиям, спроектированным или записанным на доске. Заданий – 10. Ученик отвечает на данный вопрос. После ответа учащиеся рецензируют его ответ по схеме: правильность, обоснованность, полнота. Задают уточняющие вопросы.

1. Процентом от любой величины называется...
2. Выразить проценты в виде десятичных дробей: 65%; 150%; 600%; 1,3%? Сформулировать правило перевода процентов в десятичную дробь? Выразить десятичные дроби или натуральные числа в виде процентов: 0,7 5; 1; 1,2; 10? Сформулировать правило перевода чисел в проценты?
3. Три типа задач на проценты.

а) чтобы найти процент от числа, надо…
б) чтобы найти число по его проценту, надо…
в) чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо…

4. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц p% от внесенной суммы S. Через n месяцев на его счете будет …
5. Банк начисляет p% годовых. Первоначальный вклад S. Через n лет на вкладе будет…
6. Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что…
7. Сходство законов простого и сложного роста состоит в том, что…
8. Если некоторая величина уменьшается за данный период на p%, то как будут выглядеть при этом формулы простого и сложного процентного роста?
9. Процент изменения любой величины определяется по формуле…

Учитель: Я думаю, что вы готовы приступить к решению более сложных задач. Для быстроты вычислений разрешается пользоваться микрокалькуляторами.

III. Фронтальная работа по анализу условия и составлению плана решения задач на проценты

Задачи этапа: обеспечить развитие у учащихся общеучебных умений решения задач: умение анализировать условие задачи, поиска способа решения задач, составление плана решения, изложения решения задачи, формулировки ответа задачи.

Содержание этапа:

Учитель: Давайте попробуем применить наши знания и умения для решения задач вариантов централизованного тестирования (ЦТ) и ЕГЭ. Но вначале поговорим о самом процессе решения задачи.
Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Первое, что нужно сделать при решении задачи – это провести анализ условия задачи. Из анализа условия задачи уяснить является ли данная задача стандартной или нестандартной.
Для решения стандартной задачи нужно:

• установить вид задач, к которому принадлежит заданная;
• применить общее правило (алгоритм) для решения задач данного вида к условиям данной задачи.

Нестандартные задачи – это такие, для которых нет общих правил, определяющих точную программу их решения. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате постоянной тренировки в решении разнообразных задач. Чтобы решить задачу, надо найти план решения задачи. Поиск плана решения задачи составляет центральную часть всего процесса решения. План – это идея решения.
Осуществив решение по составленному плану, необходимо провести анализ найденного решения (установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, сделать из нее выводы). Итак, переходим к решению задач.

Задача № 1. ЦТ-2004 г. (текст задачи спроектирован или написан на доске) Два года подряд население города увеличивалось ежегодно на 20%. На сколько процентов увеличилось население за два года?

Учащиеся проводят анализ условия задачи, отвечая на вопросы учителя:

• Что в содержании задачи является условием?
• Увеличение населения во второй год идет от начального значения или от предыдущего?
• Значит нужно воспользоваться формулой...
• Что требуется найти в задаче?
• Какой является данная задача: стандартной или нестандартной?

Учитель подводит учащихся к выводу, что данная задача является стандартной, так как для ее решения нужно применить две известные учащимся формулы: формулу сложного процентного роста и формулу процента изменения величины.

Учитель просит изложить решение на доске.

Предполагаемая запись решения:

Пусть первоначальное население города равно S. Тогда через два года население города станет . Население города увеличится на .

Учитель: Давайте проведем анализ решения этой задачи. Попытаемся установить, нет ли другого, более рационального способа решения, какие выводы можно сделать из этого решения. У кого будут предложения по этому поводу? Ни у кого? Тогда ответьте мне на вопрос. Можно ли было воспользоваться этим способом, если бы население города увеличивалось ежегодно не на одинаковое число процентов? Как бы мы тогда решали задачу? Давайте население города примем за 100%.

Вопросы учителя, подводящие учащихся к решению задачи вторым способом:

• Тогда через год население города составит?
• А через два?
• Население города увеличится за два года на...

Учитель просит изложить решение на доске.

Предполагаемая запись решения:

1. 100 +100 0,2 = 120 (%) – составило население через год;
2. 120 + 120 0,2 = 144 (%) – население города через два года;
3. 144 – 100 = 44 (%) – увеличилось население за два года.

Ответ: население города увеличилось за два года на 44% .

Учитель: Есть ли у кого еще предложения по решению данной задачи? Нет. Тогда давайте сравним данные способы решения. Пожалуйста.

Учащиеся сравнивают эти решения, приходя к выводу, что каждый способ имеет свои плюсы и минусы, в зависимости от условий задачи. Первый способ применим, когда население города увеличивается на одинаковое число процентов в течение многих лет, а второй, когда увеличение происходит на разное число процентов в течение небольшого количества лет.

Учитель: Я думаю, мы неплохо поработали над этой задачей. Если в будущем вам встретится задача такого типа, то мне кажется, у вас проблем не будет. Переходим к следующей задаче.

Задача № 2. ЕГЭ-2006 г. (текст задачи спроектирован или записан на доске)

Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг.

Учащиеся проводят анализ условия задачи, поиск способа решения, отвечая на вопросы учителя:

• Как вы понимаете выражение: влажность смеси составляет 18%?
• Чему равно количество воды в смеси?
• Чему равна масса сухого цемента в смеси?
• Чему стала равна влажность смеси после перевозки?
• Изменилась ли масса сухого цемента после перевозки?

Учитель подводит учащихся к выводу, что задача свелась к нахождению числа по его проценту и предлагает изложить решение задачи на доске.

Предполагаемая запись решения:

1. 4000.18 = 72 (кг) – масса воды в смеси;
2. 400 – 72 = 328 (кг) – масса сухого цемента в смеси;
3. 18 + 2 = 20 (%) – влажность привезенной смеси;
4. 100 – 20 = 80 (%) – сухого цемента в смеси;
5. 328 : 0,8 = 410 (кг) – масса привезенной смеси.

Ответ: масса привезенной смеси равна 410 кг.

Учитель: Хорошо. Может кто-то предложит иной способ решения? Можно ли эту задачу решить с помощью пропорции? Пусть х кг – масса привезенной смеси.

Вопросы учителя, подводящие к решению задачи с помощью пропорции:

• Тогда масса воды в этой смеси будет равна?..
• Кто запишет условие задачи в виде таблицы, установит вид связи между величинами, запишет пропорцию и найдет ее неизвестный член?

Учитель предлагает учащимся выполнить это на доске.

Предполагаемая запись:

х – 328 кг – 20%
х кг – 100%
; ; ; ; ; .

Ответ: масса привезенной смеси равна 410 кг.

Учитель: Сравним эти решения.

Учащиеся сравнивают эти два решения, приходя к выводу, что второе решение несколько более громоздкое.

Учитель: Есть ли еще какие-либо замечания, предложения по решению задачи? Нет. Тогда переходим к третьей задаче.

Задача № 3. ЕГЭ-2006 г. (текст задачи спроектирован или написан на доске).

Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Масса первого, второго и третьего веществ в этом наборе относятся как 5:8:12. Массу первого вещества увеличили на 8%, а второго – на 4%. На сколько процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы масса всего набора не изменилась?

Вопросы учителя, побуждающие к поиску плана решения задачи:

• К какому виду задач относится эта задача?
• Если коэффициент пропорциональности обозначим х, то массы веществ будутравны...
• Чему равна масса всего набора?
• После увеличения на 8%, масса первого вещества стала…
• После увеличения на 4%, масса второго вещества стала...
• Пусть массу третьео вещества надо уменьшить на р%. Тогда она станет равной...
• Чему равна масса нового набора? Изменилась ли она?

Учитель предлагает записать решение на доске.

Предполагаемая запись решения:

х – коэффициент пропорциональности. 5х, 8х и 12х – массы первого, второго и третьего веществ.

1) 5х + 8х +12х = 25х – масса всего набора;
2) – масса первого вещества после увеличения на 8%;
3) – масса второго вещества после увеличения на 4%;
4) – масса третьего вещества после уменьшения на р%

По условию задачи .

Решая это уравнение, получаем .

Ответ: массу третьего вещества надо уменьшить на 6%.

Учитель: Хорошее решение! Понятна логика рассуждений. А давайте подумаем, возможен ли немного другой подход к этой задаче. Можно ли определить процентный состав третьего вещества в первоначальном наборе и измененном?

Подводящий к плану решения диалог:

• Как определить процентный состав каждого вещества в наборе?
• Как определить процентный состав каждого вещества в измененном наборе?
• Можно ли тогда найти процент изменения третьего вещества?

После обсуждения решение задачи записывается на доске.

Предполагаемая запись решения:

1) – процентный состав первого вещества в наборе;
2) – процентный состав второго вещества в наборе;
3) – процентный состав третьего вещества в наборе;
4) – процентный состав первого вещества в новом наборе;
5) – процентный состав второго вещества в новом наборе;
6) 100 – 21,6 – 33,28 = 45,12(%) – процентный состав 3 вещества в новом наборе;
7) (%) –процент изменения третьей величины.

Ответ: массу третьего вещества надо уменьшить на 6%.

Учащиеся сравнивают эти решения.

Учитель: Друзья мои! Мы с вами совместно решили задачи на проценты. Я думаю у вас сложилось представление об уровне требований, предьявляемых к учащимся на Едином государственном экзамене при решении задач на проценты. Сейчас вы попробуете самостоятельно решить две задачи такого уровня.

IV. Самостоятельная работа – решение задач по группам (работа в парах)

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся при проведении самостоятельной работы по решению задач повышенной сложности на проценты.

Содержание этапа:

На доске спроектированы или написаны тексты двух задач.

Задача № 4. ЕГЭ-2003 г. Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?

Задача № 5. Два числа относятся как 4 : 3 .Первое число увеличили на 5%, второе уменьшили на 2%. На сколько процентов изменилась сумма?

Для решения этих задач обьединяются учащиеся, сидящие за соседними партами. Каждая группа решает по выбору одну из задач.

V. Проверка и обсуждение решений задач

Задачи этапа: проверка умений учащихся применять знания, умения и навыки при решении задач повышенной сложности на проценты.

Содержание этапа:

Учитель: Дорогие друзья! В проверке решений участвует весь класс. Какая из групп готова предложить нам свое решение?

Представители от групп у доски излагают решения своих задач различными методами, проводят анализ решений. Учащиеся класса проверяют и обсуждают решения.

Предполагаемые решения задачи № 4:

Первый способ:

1) – меди в сплаве;
2) – олова в сплаве;
3) 12 : 0,4 = 30 (кг) – масса нового сплава;
4) 30 – 15 = 15(кг) – масса добавленной меди.

Ответ: необходимо добавить 15 кг чистой меди.

Второй способ: х кг – масса добавленной меди, (кг) – масса олова. Масса олова в сплаве не меняется, следовательно, 40% олова в новом сплаве равны 12 кг. Составим уравнение:; ; ;

Третий способ: х – масса добавленной меди. В новом сплаве меди 100 – 40 = 60(%). Меди в новом сплаве будет, с одной стороны , а с другой 3 + х. Получаем уравнение . Решая это уравнение, получаем

Предполагаемое решение задачи № 5

х – коэффициент пропорциональности. Тогда первое число будет 4х, а второе – 3х.

Их сумма равна 7х. Первое число после увеличения на 5% станет равным , а второе после уменьшения на 2% станет

Сумма полученных чисел равна 4,2х + 2,94х = 7,14х. Процент изменения суммы равен . Ответ: сумма увеличилась на 2%.

Учитель: Друзья мои! Спасибо за общение в ходе проверки и обсуждения решения задач. Вспомним начало урока. Я немного волновался: сможете ли вы решить предложенные задачи. Сейчас все волнения исчезли. Вы с достоинством справились. Я рад за вас.

VI. Информация о домашнем задании

Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов выполнения.

Содержание этапа:

Учитель: Вы, я думаю, неплохо представляете себе труд учителя.
Величайший педагог нашего времени Ш.А.Амонашвили в своей книге “Истина школы” (постарайтесь прочитать эту мудрую книгу) пишет: “Срам стране, где учитель пребывает в бедности и нищете. Стыд тем, кто знает, что детей их учит бедствующий человек, от обездоленности которого страдают дети”. Сказано сурово. Но такова правда. В качестве задачи на проценты я предлагаю вам посчитать зарплату учителя высшей категории.

Задача № 6. Оклад учителя высшей категории 3100 рублей. С 1.10.2006 г. Он был увеличен на 11%. Местное (областное) повышение составляет 10%. За проверку тетрадей учителю доплачивают 10%. Какова заработная плата учителя, работающего на 1,5 ставки.

Нужны ли пояснения к задаче? Обратите внимание: местная надбавка – 10% берется от увеличенного оклада.

Задача № 7. ЦТ-1997 г. Число х увеличили на 15%, получили 109,25. Отсюда следует, что значение х равно…

Предлагаемые ответы:

1) 93,05
2) 95
3) 96
4) 93,08
5) 92,86.

Есть ли вопросы по задаче? Нет.

Задача № 8. На сколько процентов увеличится обьем куба, если каждое ребро увеличить на 10%?

В этой задаче имеет смысл принять ребро куба за единицу. Формулу обьема куба помним? , где а – сторона куба. Находим ребро нового куба, старый и новый обьемы куба и процент изменения обьема.

Задача №2 для всех. Задачи №1 и №3 по желанию.

VII. Подведение итогов урока

Задачи этапа: дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

Содержание этапа:

Учитель: Подведем итоги нашего урока. На сегодняшнем уроке мы с вами повторили основной материал по теме “ Проценты ” и постарались применить наши знания и умения для решения задач вариантов ЦТ и ЕГЭ. Для этого мы совместно решили три задачи такого уровня, проведя анализ условий, поиск решений, составление планов решений, изложение решений. Работая в группах, вы самостоятельно смогли различными способами решить две задачи, подтвердив действенность ваших знаний.
Я думаю, что у вас сложилось представление о задачах на проценты, предлагаемых к учащимся на ЕГЭ, а у меня появилась уверенность, что с задачами такого типа большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

• Что нового узнали на уроке?
• Что полезного извлекли из урока?
• Достаточно ли знаний было, чтобы решить эти задачи?
• Какие из задач оказались наиболее трудными?
• Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
• Какие проблемы породил этот урок?

С учетом работы в течение всего урока комментируются и оцениваются ответы учащихся.

Учитель: Дорогие друзья! Большое спасибо вам за приятное общение. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Вы очень помогли мне провести этот урок. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен.