Цель урока:
- Повторить материал по тригонометрии, изученный в 8-9 классах; заинтересовать учащихся тригонометрическими функциями; вызвать интерес к дальнейшему их изучению.
- Предложить нестандартные вопросы, продемонстрировать ранее ускользнувшие связи тригонометрии с геометрией, алгеброй, астрономией и даже с историей.
- Обобщить знания учащихся, проверить их в игровой форме, оценить знания каждого посредством проверочных диктанта и теста.
- Развивать математическую смекалку при выполнении заданий творческого характера.
Оборудование:
- Карточки с названиями команд на каждый стол.
- Карточки с тестами.
- Карточки с задачами для капитанов.
- Оценочные листы для членов жюри.
- Сводная ведомость итогов игры.
Подготовка к уроку:
- Класс разбит на 4 команды, назначить капитанов команд. Название команд: “синусы”, “косинусы”, “тангенсы” и “котангенсы”.
- Каждой команде необходимо подготовить историческую справку о своей тригонометрической функции и пять вопросов командам противникам.
- Выбрать жюри из числа учащихся 11 класса.
- Подготовить оценочные листы для жюри и таблицу для отражения хода игры.
Правила игры:
- За каждый правильный ответ или за существенное добавление к ответу команде начисляют 1 балл.
- За каждое замечание по поводу дисциплины у команды отнимают один балл.
- За неправильный ответ у команды балл не отнимают, но и не начисляют.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Первоначальное знакомство с
тригонометрическими функциями состоялось у нас
в 8-м классе на уроках геометрии.
Тогда мы ввели понятие синус, косинус и тангенс
острого угла прямоугольного треугольника и
узнали табличные значения этих функций для углов
от 0 до 90о.
Затем, в 9-м классе мы расширили область
определения этих функций до 180? и узнали теоремы
косинусов и синусов. И, наконец, в курсе алгебре
мы приступили к изучению свойств
тригонометрических функций для любого угла,
кроме того, ввели понятие котангенса.
И вот теперь, когда первоначальное знакомство
закончено и предстоит серьёзное изучение
тригонометрии, надо подвести небольшой итог.
Поэтому наш сегодняшний урок мы назовем
“Знакомые незнакомцы” и постараемся сегодня в
игровой форме повторить материал по
тригонометрии, изученный в 8–9-х классах; ответим
на нестандартные вопросы; установим ранее
ускользавшие связи тригонометрии с геометрией,
алгеброй, астрономией и даже с историей. А также
проверим ваши знания при тестировании. Уйдя с
урока, каждый получит оценку за урок.
При подготовке к уроку мы уже разбили класс на 4
команды, и каждая команда выбрала себе название и
капитана. Давайте знакомиться:
- 1 команда – “Синусы” и её капитан – Шкуров Иван;
- 2 команда – “Косинусы”. Капитан – Тимофеев Павел;
- 3 команда – “Тангенсы”. Капитан – Серов Николай;
- 4 команда – “Котангенсы”. Капитан – Теплякова Татьяна.
– Каждая команда готовила домашнее задание, с
которым нас обязательно познакомит. Но это чуть
позже. А сейчас разрешите познакомить с
правилами игры. Судить игру будут “Знатоки
тригонометрии” из 11 класса: Иванова Наталья,
Смирнова Ирина, Порфирьев Михаил и Писемский
Сергей.
Ну, что ж, пора начинать нашу игру. Начнём её с
разминки – математический диктант.
II. Математический диктант (см. Приложение 1)
– Каждая команда выполняет ту часть задания, которая касается её функции. “Синусы” отвечают про значения функции синус, “Тангенсы” – про тангенсы и т.д.
1. Дайте определение вашей тригонометрической
функции для углов от 0 до 180о.
2. Составьте таблицу значений вашей
тригонометрической функции для углов 30о, 45о,
60о.
3. Найдите значение вашей тригонометрической
функции для угла в 270о.
4. По рис1. вычислите значение вашей
тригонометрической функции углов АВС, СВД.
Рис. 1
5. На единичной окружности покажите координатные углы, значение вашей функции в которых положительно.
– Капитанам команд сдать листочки с диктантами в жюри.
III. Пока жюри подводят итоги, проверяют ваши ответы и подсчитывают очки, я предлагаю вам задание творческого характера.
Известно, что sin
=
sin + (180о – ) и
= 2R.
Тогда верно равенство: 
= 2R.
Но тогда радиусы окружностей, описанных около
треугольников АВС и АСЕ (рис.2), равны, т.е. RАВС
= RАСЕ.
Рис. 2
Следовательно, если к данному треугольнику “прибавить” равнобедренный треугольник, или от треугольника “отнять” равнобедренный треугольник, то радиус окружности, описанной около нового треугольника, будет равен радиусу окружности, описанной около данного треугольника.
– Используя это утверждение, докажите равенство RАВЕ = RАДС по рис.3.
Рис. 3
Решение:
1-й способ: из выведенного утверждения следует, что RABE=RABC и RADC=RABC по свойству транзитивности RABE = RADC, что и требовалось доказать.
2-й способ: по теореме синусов 
и 
По условию BE = CD, значит RABE = RADC. Что и требовалось доказать.
IV. Слово жюри для подведения итогов.
V. Домашнее задание каждой команды – историческая справка о своей функции и пять вопросов. (Команды выступают по очереди. Приложение 2).
VI. Каждой команде нужно придумать как можно больше различных решений задачи, условие которой изображено на рисунке. Затем команды вынесут на суд жюри все придуманные решения.
Некоторые варианты решений:
1-й вариант:
Угол, противолежащий катету, который равен
половине гипотенузы, составляет 300.
Следовательно, 
.
тогда 
и 
, откуда AB = 2AC, то
есть х + 1 = 4 и х = 3.
2-й вариант:
Высота разбивает исходный треугольник на два прямоугольных треугольника. Применив к каждой из них теорему Пифагора, получим систему трех квадратных уравнений с тремя неизвестными.
3-й вариант:
Применим дважды (для 
и 
)
определение косинуса острого угла в
прямоугольном треугольнике, получим.
, то есть 
х + 1 = 4; х
= 3.
4-й вариант:
подобен 
, тогда их
сходственные стороны пропорциональны, т.е. 
т.е. 
х = 3
5-й вариант:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. CD2 = 1 • х.
По теореме Пифагора находим CD из треугольника ACD и подставляем в полученное равенство.
х = 3.
VII. Конкурс капитанов
– Из точки А к окружности с центром О проведены две взаимно перпендикулярные касательные АВ и АС. Прямая, проходящая через центр окружности, пересекает эти касательные в точках М и К соответственно, причем площадь прямоугольника со сторонами ВМ и СК равна площади квадрата АВОС. Выясните, какое тригонометрическое тождество зашифровано в этом утверждении.
(по свойствам пропорции).
Решение:
По условию ВМ • КС = ОВ • ОС, тогда 
или поскольку 
, получаем 
VIII. Тест
Пока капитаны обдумывают свое решение каждая команда получает варианты теста (по одному на каждого участника). По мере выполнения заданий ученики приносят ответы в жюри, которое их сразу проверяет.
IX. Капитаны рассказывают решение задачи
X. Жюри подводит итоги, сдает листы с оценками учителю
XI. Итоги урока, выставление оценок