Урок геометрии в 10-м классе по теме: "Векторный метод"

Цели урока:

• дать представление о векторном методе решения задач, показать преимущества его использования;
• развивать навыки критического мышления, рефлексии;
• воспитывать трудолюбие, вырабатывать волевые качества.

Ход урока

1. Блиц-опрос

Задание: Записать первую букву слова, которое является ответом на вопрос.

Направленный отрезок.

Первая цифра.

Векторы, лежащие на параллельных прямых.

Правильный многогранник, состоящий из четырёх правильных треугольников.

Часть прямой, ограниченная двумя точками.

Сторона грани многогранника.

Длина вектора .

Нам бычок сказал: “Увы! Нету слов на букву …”

Какой молочный продукт чаще всего рекламируют?

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Древнегреческий математик, создатель геометрии.

Число измерений параллелепипеда.

(По модели пирамиды) Дайте название этой грани [основание].

Угол, образованный двумя полуплоскостями с общим ребром.

Итак, какова же тема сегодняшнего урока? [Векторный метод].

Подумайте, каких результатов мы должны достигнуть в нашей работе.

[Увидеть, как векторный метод помогает при решении различных геометрических задач.]

Первые результаты вами уже получены. Проверьте правильность ответов блиц – опроса и поставьте себе оценку в карте продвижения.

(У каждого учащегося имеется “карта продвижения”, в которую они самостоятельно заносят результаты своей работы в виде отметки по пятибальной шкале, причем критерии оценивания известны им из предыдущих уроков.)

 

2. Самостоятельная работа

Основу векторного метода, являющегося одним из основных средств исследования в физике и математике, составляют операции сложения векторов и умножения вектора на число. С помощью следующих заданий проверьте, насколько хорошо вы помните эти правила.

Вариант 1.

1) ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед.

Упростите выражение:

2) Изобразите тетраэдр DABC и вектор, равный

Вариант 2.

1) ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед. Упростите выражение:

2). Изобразите тетраэдр DABC и вектор, равный .

(Учащиеся выполняют задание в тетрадях, двое работают на переносных досках, ещё двое готовят на доске чертежи и краткую запись решения задачи №397 (из блока домашних задач) и доказательства теоремы о средней линии треугольника (оба решения – с помощью подобия треугольников). Результаты самостоятельной работы заносятся в карту продвижения.)

В геометрии аппарат векторов позволяет записывать формулировки задач (теорем) и их решение (доказательство) более кратко. Например, теорема о средней линии треугольника, доказательство которой вы видите на доске, в векторном виде записывается так:  

Докажите эту теорему.

Дома вы решали № 397; на доске представлено её решение. Решите теперь эту задачу с помощью векторов.

Задача № 397. В тетраэдре ABCD точки M и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC.

Докажите, что MN || AC и найдите отношение длин этих отрезков.

Решение.

М – точка пересечения медиан треугольника ABD =>

N – точка пересечения медиан треугольника BCD =>

Рассмотрим ещё одну задачу, связанную с тетраэдром.

ABCD – правильный тетраэдр.

AK = KD, CL = LB.

Отрезок KL – средняя линия тетраэдра.

Докажем, что

Доказать, что все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство:

Пусть О – середина отрезка KL. Докажем, что О – середина отрезка MN.

Т.е. точка О – середина отрезка MN.

Аналогично доказывается и для отрезка PQ, где P – середина отрезка DC, Q – середина отрезка АВ. Теорема доказана.

В качестве домашнего задания учащимся предлагается следующая задача.

Докажите, что через точку О проходит отрезок DD₁, где D₁ – точка пересечения медиан грани АВС.

Векторы находят широкое применение во многих разделах физики.

Знаете ли вы, почему высиживающая цыплят курица никогда не раздавит кладку, а цыплёнок, легонько стукнув изнутри по скорлупе, без труда появляется на свет? Ответ можно найти в книге Я. И. Перельмана “Занимательная физика”.

На рисунке изображён небольшой каменный свод над окном. Груз S (т.е. вышележащие части кладки), напирающий на клинообразный средний камень свода М, давит вниз с силой, которая обозначена на рисунке стрелкой А. Но сдвинуться вниз камень М не может вследствие своей клинообразной формы; он только давит на соседние камни. При этом сила А разлагается по правилу параллелограмма на две силы, обозначенные стрелками В и С; они уравновешиваются сопротивлением прилегающих камней, в свою очередь зажатых между соседними. Таким образом, сила, давящая на свод снаружи, не может его разрушить. Зато сравнительно легко разрушить его силой, действующей изнутри. Скорлупа яйца – тот же свод, только сплошной, а не составленный из отдельных частей.

Подведение итогов работы, выставление суммарной отметки в карте продвижения.