Цель: Расширение и углубление представления о методах решения иррациональных уравнений.
I. Вступление:
Определение иррационального уравнения
Методы решения иррациональных уравнений (возведение обеих частей в одну и ту же степень, введение новых переменных).
II. Рассмотрение новых методов решения иррациональных уравнений.
1. Метод возведения обеих частей в одну и ту же степень
№1. .
Если в уравнении несколько радикалов, то
уравнение приходится возводить в степень
неоднократно. В этом случае обычно один из
радикалов уединяют, т. е. располагают в одной из
частей уравнения, а всё остальное переносят в
другую частью.
,
(посторонний корень)
Ответ: 2.
Мы выполнили проверку, т. к. возведение обеих
частей уравнения в одну и ту же степень может
привести к появлению посторонних корней, потому,
например, что неверное равенство при возведении
в квадрат может дать верное неравенство (н.), но
при возведении в квадрат получим
(в.)
№2. .
Возведём обе части уравнения в куб.
или
.
Подстановкой найденных значений х в данное уравнение убеждаемся, что его корнем является только х = -0,5.
Ответ: -0,5.
Замечание! При возведении в куб в первый раз мы
получаем равносильное уравнение. Однако
дальнейшая замена выражения на
выражение
могла привести к появлению постороннего
корня, что показала проверка.
2. Метод введения новых переменных
Ещё один из способов избавиться от радикалов – ввести новую переменную.
№3. .
Уединим корень в правую часть.
,
сравнив выражения в левой части и под знаком
радикала, заметим
,
пусть
,
, тогда
, имеем
.
Проверим их
Ответ:
Умение удачно ввести новую переменную приходит не сразу. Удачный выбор новой переменной делают уравнение более прозрачным. Поэтому нет смысла торопиться начинать преобразовывать, сначала лучше убедиться в том, нельзя ли уравнение записать проще, введя новую переменную.
№4. .
Пусть ,
.
,
возведём обе части в квадрат.
,
,
,
.
Проверка показывает, что
– посторонний корень.
Получим:
.
Ответ: .
3. Метод оценки или использования области значений функции
№5. .
то
следовательно,
т.е. данное уравнение не имеет
смысла.
Ответ:
№6. .
Перепишем его так: .
следовательно,
получим
Ответ:
№7. .
Избавимся от иррациональности в знаменателях дробей левой части уравнения, получим
.
После возведения в квадрат обеих частей получим
Левая часть в своей области определения >0, следовательно , корней нет.
Ответ:
4. Функционально-графический метод
№8. .
1) Рассмотрим функцию Найдём
Знаки
видны
на рисунке 1.
Получим, что х = 0, х = 3 – точка минимума, х = 1 – точка максимума.
График функции изобразим схематично (рисунок 2).
Заметим, что .
2) Рассмотрим функцию .
Преобразуем её:
.
Заметим, что .
3) Так как , то заданное уравнение сводится к системе
уравнений:
Оба этих уравнения, как мы уже отметили,
обращаются в верное равенство при . Это
единственный корень уравнения.
Ответ: 3.
5. Векторный метод
№9.
Найдём ОДЗ: .
Пусть , то
,
2, т. е.
. Так как
, где
– угол
между векторами u и v, то
, следовательно,
и
–
коллинеарны, поэтому соответствующие координаты
пропорциональны:
х = 1,44,
Ответ: 1,44.
6. Прямое использование ОДЗ
№10. .
Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудоёмкую работу (попробуйте!) и совершенно ненужную задачу. Возведём обе части в квадрат:
,
,
,
(посторонний
корень).
Ответ: 1.
№11.
В этом уравнении нахождение ОДЗ приносит несомненную пользу.
Графически переменные можно видеть на рисунке 3.
Используя числовую прямую, выясним, что ОДЗ состоит из х = 0 и х = 1. Проверка показывает, что х = 0 – посторонний корень.
Ответ: 1.
Итак, лучше искать ОДЗ или делать проверку? Истина, как всегда, посередине.
7. Метод мажорант
№12. .
Преобразуем подкоренные выражения, выделив полный квадрат, тогда
Значение левой части , значение правой части
.
Равенство при условии, что обе части равны 5 при
одном и том же значении х.
х = -1. Проверим и убедимся в том, что х = -1 – корень уравнения.
Ответ: -1.
8. Преобразование выражения
№13. ОДЗ
.
или
.
Решение стандартно.
Ответ: -1; 0; 3.
9. Использование монотонности функции
№14. .
ОДЗ ,
.
Левая часть уравнения – сумма убывающих
функций, а правая – возрастающая функция,
следовательно, уравнение имеет единственный
корень. Так как , то
. Подберём х, он равен 7.
Ответ: 7.
Обзор “новинок”
№ 15. ОДЗ
x+3=0 или x+3=3x-9
x=3 (не удовлетворяет) x=6
Если , то
Ответ: -6; 6
№ 16.
5 - 2cos2x > 0, 2 - cos2,5x > 0, при всех X R
7 – 3cos2,5x = 4;
cos2,5x = 1, x = 4/5 n, n Z
Ответ: 4/5 n Z
№ 17.
,
Ответ: -1.
№ 18.
ОДЗ
Ответ: -П; П
III. Выводы
IV. Домашнее задание. Разобрать решения этих уравнений, решить их самостоятельно и свериться.