Урок по алгебре в 11-м классе по теме: "Иррациональные уравнения"

Фомина Капитолина Ефимовна

Разделы: Математика

Цель: Расширение и углубление представления о методах решения иррациональных уравнений.

I. Вступление:

Определение иррационального уравнения

Методы решения иррациональных уравнений (возведение обеих частей в одну и ту же степень, введение новых переменных).

II. Рассмотрение новых методов решения иррациональных уравнений.

1. Метод возведения обеих частей в одну и ту же степень

№1. .

Если в уравнении несколько радикалов, то уравнение приходится возводить в степень неоднократно. В этом случае обычно один из радикалов уединяют, т. е. располагают в одной из частей уравнения, а всё остальное переносят в другую частью.

, (посторонний корень)

Ответ: 2.

Мы выполнили проверку, т. к. возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень может привести к появлению посторонних корней, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное неравенство (н.), но при возведении в квадрат получим (в.)

№2. .

Возведём обе части уравнения в куб.

или .

Подстановкой найденных значений х в данное уравнение убеждаемся, что его корнем является только х = -0,5.

Ответ: -0,5.

Замечание! При возведении в куб в первый раз мы получаем равносильное уравнение. Однако дальнейшая замена выражения на выражение могла привести к появлению постороннего корня, что показала проверка.

2. Метод введения новых переменных

Ещё один из способов избавиться от радикалов – ввести новую переменную.

№3. .

Уединим корень в правую часть.

, сравнив выражения в левой части и под знаком радикала, заметим

, пусть, , тогда , имеем . Проверим их

Ответ:

Умение удачно ввести новую переменную приходит не сразу. Удачный выбор новой переменной делают уравнение более прозрачным. Поэтому нет смысла торопиться начинать преобразовывать, сначала лучше убедиться в том, нельзя ли уравнение записать проще, введя новую переменную.

№4. .

Пусть , .

, возведём обе части в квадрат.

. Проверка показывает, что – посторонний корень. Получим: .

Ответ: .

3. Метод оценки или использования области значений функции

№5. .

то следовательно, т.е. данное уравнение не имеет смысла.

Ответ:

№6. .

Перепишем его так: . следовательно, получим

Ответ:

№7. .

Избавимся от иррациональности в знаменателях дробей левой части уравнения, получим

После возведения в квадрат обеих частей получим

Левая часть в своей области определения >0, следовательно , корней нет.

Ответ:

4. Функционально-графический метод

№8. .

1) Рассмотрим функцию Найдём Знаки видны на рисунке 1.

Получим, что х = 0, х = 3 – точка минимума, х = 1 – точка максимума.

График функции изобразим схематично (рисунок 2).

Заметим, что .

2) Рассмотрим функцию .

Преобразуем её:

Заметим, что .

3) Так как , то заданное уравнение сводится к системе уравнений:

Оба этих уравнения, как мы уже отметили, обращаются в верное равенство при . Это единственный корень уравнения.

Ответ: 3.

5. Векторный метод

№9.

Найдём ОДЗ: .

Пусть , то , 2, т. е. . Так как , где – угол между векторами u и v, то , следовательно, и – коллинеарны, поэтому соответствующие координаты пропорциональны:

х = 1,44,

Ответ: 1,44.

6. Прямое использование ОДЗ

№10. .

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудоёмкую работу (попробуйте!) и совершенно ненужную задачу. Возведём обе части в квадрат:

, (посторонний корень).

Ответ: 1.

№11.

В этом уравнении нахождение ОДЗ приносит несомненную пользу.

Графически переменные можно видеть на рисунке 3.

Используя числовую прямую, выясним, что ОДЗ состоит из х = 0 и х = 1. Проверка показывает, что х = 0 – посторонний корень.

Ответ: 1.

Итак, лучше искать ОДЗ или делать проверку? Истина, как всегда, посередине.

7. Метод мажорант

№12. .

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полный квадрат, тогда

Значение левой части , значение правой части . Равенство при условии, что обе части равны 5 при одном и том же значении х.

х = -1. Проверим и убедимся в том, что х = -1 – корень уравнения.

Ответ: -1.

8. Преобразование выражения

№13. ОДЗ .

или .

Решение стандартно.

Ответ: -1; 0; 3.

9. Использование монотонности функции

№14. .

ОДЗ , .

Левая часть уравнения – сумма убывающих функций, а правая – возрастающая функция, следовательно, уравнение имеет единственный корень. Так как , то . Подберём х, он равен 7.