Уроки по теме:"Тригонометрические уравнения"

Разделы: Математика

Тип урока: Изучение нового материала.

Цели:

  • Довести до сознания и осмысления способы решения тригонометрических уравнений, приводящиеся к алгебраическим уравнениям.
  • Развивать представление о тригонометрических уравнениях, как об уравнениях приводящихся к алгебраическим уравнениям.
  • Воспитывать интерес к предмету; аккуратность в оформлении.

Побудительная: эти уравнения применяются при вычислении работы в физике (сила Ампера; сила Лоренса), для определения углов в геометрии, в астрономии.

Оборудование: доска, таблицы.

Оформление доски:

I. Повторение и актуализация.

1. Что значит простейшая тригонометрическая функция?

2. Приведите пример простейшего тригонометрического уравнения.

cos x = 1/2;

sin x = img1.gif (107 bytes)

3. С помощью, каких значений находим решение этих уравнений(arcos;arcsin)

4. Формулы решения простых тригонометрических уравнений.

sin x = а cos x =а
x = (-1)karcsin a + Пk, k img3.gif (835 bytes) Z x = ± arcos a + 2Пn;

Имеется ли решение уравнений cos x = 1,5; sin x = -2. Почему?

5. Вспомним основные тригонометрические тождества. Тригонометрическая единица.

sin 2 a + cos2 a =1

cos2 a =1 - sin 2 a

sin 2 a =1 - cos2 a

6. Как называется уравнение вида ах2+bх+с=0.

Вспомним решение квадратных уравнений

Свойства D;

D> 0; 2 корня.

D=0; 1 корень.

D< 0; Нет корней.

Для нахождения корней: x 1,2 =(-b± D)/ 2a

7. a * b= 0. Когда произведение равно нулю.

Познавательная цель: Изучив эту тему мы будем решать тригонометрические уравнения, при помощи приведения их к алгебраическим уравнениям.

II. Первичное усвоение.

Даётся уравнение: 6sin 2 x – 5sin x – 1 = 0

Вопросы:

  1. Как Вы предлагаете решить данное уравнение?
  2. Как Вы считаете достаточно тех способов решения, которые Вы сейчас знаете, для того чтобы решить данное уравнение?
    Следовательно, нужно сейчас сделать какие-то дополнительные действия, чтобы решить данное выше уравнение. Исходя, из этого взятое уравнение не является простым, но не является квадратным алгебраическим уравнением.
  3. Чем отличается от простого тригонометрическое уравнение (наличием квадрата)?
  4. Чем отличается от квадратного уравнения (у квадратного уравнения неизвестным является переменная, а у этого уравнения аргумент функции)?
  5. Как Вы считаете, возможно, всю функцию sin x заменить, какой-нибудь переменной допустим y, т.е. sin x = y.

Даётся уравнение: 6 y 2 – 5 y + 1 =0

Вопросы:

  1. Как называется такое уравнение?
  2. Сколько корней имеет настоящее уравнение?
  3. Чему равен дискриминант?
  4. Чему равен первый корень?
  5. Чему равен второй корень?

D = 25–24 > 0 —> 2 корня
y1 = 5 + 1 /12 y2 =5-1/12
y1=1/2 y2=1/3

Мы получим два уравнения:

y = 1/2 y =1/3
sin x =1/2 sin x =1/3

Вопросы:

  1. Как найти корни этих уравнений?
  2. Какой первый корень?
  3. Какой второй корень?
x =(-1)k arcsin 1/2 +Пk ; k img3.gif (835 bytes) Z x =(-1)k arcsin 1/3 +Пk ; k img3.gif (835 bytes) Z
x =(-1)k П/6 +Пk I Z

Ответ:

x1 =(-1)k arcsin 1/2 +Пk; k img3.gif (835 bytes) Z.

x2 =(-1)k arcsin 1/3 +Пk; k img3.gif (835 bytes) Z.

Даётся уравнение: 2 + cos x – 2sin2 x = 0

Вопросы:

1. Сравните данное уравнение с первым и объясните, чем отличаются?

Уравнение, в котором дана одна и таже функция называется однородным.

  • Тогда первое уравнение будет однородным? (Да)
  • Второе уравнение будет однородным? (Нет)
  • Возможно, ли при помощи тригонометрической единицы выразить одну из функций? sin2 x = 1 – cos2 x
    2 + cos x –2(1- cos2 x) = 0 Раскроем скобки.
    2 + cos x – 2 + 2 cos2 x =0   Приводим подобные.
    2 cos2 x + cos x =0 Какой общий множитель можно вынести за скобку?
    сos x (2 cos x +1)=0 Когда произведение равно нулю?
    cos x =0 или 2 cos x +1 =0
    2 cos x =-1
    cos x = - 1/2
    x 2 = ± arccos(-1/2)+2Пk; k Z
      
      
    x 1 = ± arccos 0 + 2 П n; n Z
    x 1 = ±П/2 +2Пn; n Z x 2 = ±2П/3 + 2Пk; k Z

Ответ: x 1 = ±П/2 +2Пn; n Z; x 2 = ±2П/3 + 2Пk; k Z

III. Осознание и осмысление.

Сравните два уравнения и объясните, чем отличаются их решения.

1) 2 cos2 x + sin x +1=0 2) 6 cos2 x + cos x – 1 =0
1 – неоднородное 2 – однородное

В первом нужно выразить cos2 x через 1 - sin2 x, раскрыть скобки, привести подобные, заменить функцию sin через переменную, во втором сразу можно заменить функцию cos через переменную, решить квадратное уравнение, подставить его корни, решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Два человека к доске.

Для остальных: Выберите, то уравнение при решении, которого вы испытываете затруднение.

2 cos2 x +sin x + 1 =0

Как представим cos2 x?

Какие уравнения получатся?

2(1- sin2 x) + sin x + 1=0

2- 2 sin2 x +sin x + 1 =0 Приведём подобные.

- 2 sin2 x + sin x + 3 = 0 | -1 Умножим на –1.

2 sin2 x – sin x – 3 =0

sin x = y

2 y2 – y – 3 = 0

D=1+24=25>0 => два корня.

y1 = (1+5)/4 = 6/4 = 3/2;

y 2 = (1-5)/4= - 1.

Мы получили два уравнения:

sin x =3/2 ; sin x =1;
E (sin x )=[-1;1 ] x =(-1)karcsin(-1) +Пk, k Z;
Корней нет; x =(-1)k * (- П/2 ) + Пk, k Z;
  

или
   x =(-1)k * 3П/2 + Пk, k Z;

Ответ: x =(-1)k * 3П/2 + Пk, k Z;

6 cos2 x + cos x – 1 = 0

cos x = y;

6y2 + y – 1 = 0;

D = 1+24=25>0, два корня.

y 1= (- 1+5)/12=1/3; y 2 = (-1+5)/12=-6/12= - 1/2
cos x = 1/3; cos x = - 1/ 2
x1 = ± arccos 1/3 + 2 Пn;n Z; x 2 = ± arccos(-1/2) +2 Пk; k Z;
   x 2 = ± 2П/3 + 2Пk, k Z;

Ответ: x1 = ± arccos 1/3 + 2 Пn; n Z; x2 = ± 2П/3 + 2Пk, k Z;

IV. Самостоятельная работа.

I уровень

1 вариант

2 вариант

sin2 x – 1/2sin x = 0

cos2 x+ 1/2cos x =0

II уровень

3sin2 x – cos x – 3 = 0

5 sin2 x – cos x – 5 = 0

III уровень

sin2 x +4cos x – 3 = 0

8sin2 x + cos x + 1 = 0

V. Контроль

Тема: “Решение тригонометрических уравнений”

Тип: Урок-практикум.

Цели:

  • Закрепить и применить знания при решении задач по теме: Решение тригонометрических уравнений.
  • Развивать представления о тригонометрических уравнениях как об уравнениях сводящихся к алгебраическим уравнениям, умение работать по заданному алгоритму.
  • Воспитывать интерес к предмету, заинтересованность в ходе игры к данной теме, вызвать чувство ответственности за себя, организованности, дисциплины.

Оборудование: карточки, доска, таблицы.

Оформление доски:

П И Т И С К У С      
А П О Л Л О Н И Й    
А Р И А Б Х А Т      
Б Р А В Е Р Д И Н    
Р Е Г И О М О Н Т А Н

5 sin 2 x + 6 sin x = 0

6 cos 2 x – 19 cos x + 3 = 0

8 cos 2 x – 10 sin x – 11 = 0

I. Повторение и актуализация.

1. При помощи, каких формул находят корни простейших тригонометрических уравнений?

2. Назовите общий вид квадратного уравнения?

3. Формула дискриминанта, свойства дискриминанта?

4. Назовите основное тригонометрическое тождество, тригонометрическую единицу.

sin2a + cos2a =1; выразите sin a через cos a ( sin2a =1- cos2a )

выразите cos a через sin a (cos2a =1 - sin2a)

II–III – cм. ранее.

IV. Закрепление знаний

Расскажите алгоритм решения следующих уравнений:

5 sin 2 x + 6 sin x = 0

6 cos 2 x – 19 cos x + 3 = 0

8 cos 2 x – 10 sin x – 11 = 0 , если в уравнении мы получим корни y 1 = 6, y 2 = 4, возможно ли найти решение уравнений sin x = 6, cos x = - 4, можно поставить знак равенства (нет), почему?

V. Применение

Математическое “Математическое лото” (кар 4–5 в).

Группа из 4–5 учащихся получает одну карточку (вопросы, ответы). Участники группы распределяют уравнения и решают их. Номер уравнения соответствует номеру буквы в слове “ключе”. После выполнения задания учащиеся просят открыть (или им зачитывают) страница 82 учебника “Алгебра и начала анализа” под редакцией А.Н.Колмогорова и ознакомиться, как связаны имена великих людей, которые они только что разгадали с историей тригонометрии.

VI. Контроль

Тема: Обобщение (решение различных типов тригонометрических уравнений)

Тип урока: Обобщительно-повторительный

Цели:

  • Систематизировать знания по теме: “Решение различных типов тригонометрических уравнений”, обобщить и проверить уровень усвоение учебного материала.
  • Развивать практические навыки при решении тригонометрических уравнений.
  • Воспитывать сознательное отношение к предмету.

Оборудование: Листочки для выполнения заданий, “гири” с заданиями, ответы на задания, список учащихся.

Оформление доски:

карточка № 1

С X = (-1)n(-П/6)+Пn; n Z

x=(-1)karcsin(-а) + Пк; к Z
К X=± П/2+2Пn; n Z
И X=± П/9+2Пn/3; n Z
С X = Пk; k Z
П X = (-1)k П/6 +Пk ; k Z
И X=± 2П/3+2Пn/3; n Z
У X=± arccos1/6 +2Пn; n Z
Т X = (-1)kП/8 +Пk/2; k Z

1.sin x = ?

2. cos x = -1/2

3. sin2x = O 2/2

4. cos3x = ?

5.5 sin 2x + 6 sinx = 0

6. cos2 x + 4 cosx = 0

7. 6cos2 x - 19 cosx + 3 = 0

8. 8cos2 x – 10 sin x - 11 = 0

Критерии оценки:

I. 20 –30 кг, более 90 кг –“ 3 ”

II. 40 –50 кг, более 200 кг –“ 4 ”

III. 60 –70 кг, более 270 кг –“ 5 ”

Или

270 кг – “ 5 ”,

200 кг – “ 4 ”,

140 кг – “ 3+ ”,

90 кг – “ 3 ”

1.sin x = 1/2

2.cos 2x = 1/2

3. sin( x + П/4 ) = 3 / 2

4. 2sin 2 x + sin x = 0

5. 5cos x + 7 cos x – 6 = 0

8 cos2 x – 10 cos x – 11 = 0

План урока:

I. Повторение и актуализация.

Расскажите алгоритм решения следующих уравнений:

1.sin x = 1/2

2.cos 2x = 1/2

3. sin( x + П/4 ) = 3 / 2

4. 2sin 2 x + sin x = 0

5. 5cos x + 7 cos x – 6 = 0

8 cos2 x – 10 cos x – 11 = 0

II–IV см. ранее.

V. Применение.

Урок проводится в форме игры “тяжеловесы”. Учащимся объясняют, что на одном листочке нужно выполнить только одно задание. В левом уголке листочка ставят все задания (20–70 кг) и номер варианта, в правом свою фамилию. У каждого учащегося на парте лежит “гиря” в 20 кг, как только задание выполнено ребёнок подходит к учителю или его помощникам, кладёт задание на стол и берёт “гирю” в 30 кг и т.д. В процессе урока учитель или его помощники проверят задание. Он называет фамилию и вес, если задание принято, то ребёнок продолжает решать после этого, если не принято, то он возвращается и перерешивает.

Учащиеся читает условия всех заданий учитывая, что от них требуется при выполнении (оформление, решение).

У учителя заранее приготовлена сетка с фамилиями учащихся и весом задания. В этой сетке отмечают выполнение задания. Удобнее выполнить эту сетку на ватмане и вывесить его на доску, таким образом, каждый учащийся будет знать, сколько у него решенных заданий. В конце урока учитель подводит итоги работы каждого ребёнка и выставляет оценку.

Для ребят, которые закончат работу быстрее остальных, приготовлены дополнительные задания на дополнительную оценку.

Детям заранее сообщают, чтобы они брали разные задания из разных вариантов.

Если учащийся решет задания только “20 и 30 кг”, то даже при весе более “90 кг” “3” (I уровень). “40–50 кг” при весе более “200 кг” “4” (II уровень).

Задания:

20 кг: Решение простейших тригонометрических уравнений вида:

y = cos x, y = sin x, y = tg x, y= ctg x

30 кг: Решение простейших тригонометрических уравнений вида:

y = cos bx, y = sin bx, y = tg bx, y= ctg bx

40 кг: Решение простейших тригонометрических уравнений вида:

y = cos (bx + k), y = sin (bx + k), y = tg (bx + k), y= ctg (bx + k)

50 кг: Уравнения, решаемые разложением левой части на множители.

60 кг, 70 кг: Уравнения, сводящиеся к квадратным относительно cos или sin.

VI. Контроль.