Конспект урока по геометрии в 9-м физико-математическом классе по теме: "Эллипс как геометрическое место точек"

Разделы: Математика

Цель: сформировать понятие об эллипсе как о геометрическом месте точек; вывести каноническое уравнение эллипса, показать применение полученных знаний об эллипсе к решению задач; показать применение геометрических знаний к реальным процессам в природе; углубить знание по теме “Метод координат”.

Ход урока

Организационный момент. Мотивация изучения нового материала.

Начать урок можно с цитаты венгерского математика Дьердье Пойа: “Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия”.

Действительно, в решении любой задачи присутствует крупица открытия и прежде, чем совершить большое научное открытие, нужно постоянно работать над небольшими задачами, каждая из которых приближает к решению больших задач, так как большое начинается с малого.

И сегодня на уроке мы попробуем совершить небольшое открытие, которое будет состоять в решении следующей задачи: найти ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 есть величина постоянная, большая, чем F1F2.

Цель нашего урока: выяснить, что за линия удовлетворяет этому множеству и каким уравнением она задается, а также посмотреть применение полученных знаний к решению задач.

Актуализация знаний учащихся.

Прежде чем приступить к решению задачи (небольшому открытию), необходимо вспомнить материал, связанный с ГМТ.

  • Что такое ГМТ? (ГМТ – фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающим определенным свойством).
  • Какие фигуры, определяются через ГМТ? (Например, окружность – ГМТ равноудаленных от данной; гипербола – ГМТ для каждой из которых абсолютная величина разности до двух данных точек F1 и F2 имеет одно и тоже значение, меньшее, чем F1F2.).
  • При выводе уравнений этих линий была использована формула расстояния между двумя точками
  • Представьте, что вам нужно начертить окружность на песке (циркуля нет). Как, пользуясь только подручными материалами это сделать (описать процесс построения окружности с помощью веревки).

Проведение практической работы.

Затем возвращаемся к задаче, которую решаем и пробуем практически выяснить, что это за линия. Сделать рисунок и с помощью него составить план построения линии, проанализировав условие задачи.

Т. о., нужно построить линию, для которой сумма МF1+MF2 постоянная: значения слагаемых меняются (но всегда неотрицательны, т. к. это расстояния между двумя точками), а значение суммы постоянно. Длины отрезков в данном случае удобно измерять с помощью нити. Совместно с учащимися составляется план (по аналогии с построением окружности с помощью веревочки).

  • Прикрепим концы нити с помощью кнопок к точкам F1 и F2.
  • Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги.
  • Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой.
  • Вычерчиваем карандашом линию.

Учащиеся выполняют практическую работу по заранее заготовленным моделям и получают на бумаге линию.

Получившаяся линия называется эллипсом, учащиеся с ней встречались в курсе черчения. Итак, в тетради записываем число и тему урока: “Эллипс как геометрическое место точек”. В начале урока мы с вами сформулировали цель и задачи: что за линия удовлетворяет данному множеству, мы выяснили, осталось вывести ее уравнение и посмотреть, как применяются полученные знания к решению задач.

Изучение нового материала.

Исходя из поставленной задачи, сформулировать определение эллипса.

Эллипс – ГМТ, сумма расстояний, от которых до двух заданных точек F1, F2, есть величина постоянная, большая, чем F1F2. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса.

Выведем уравнение эллипса с помощью метода координат: ввести удобным образом систему координат и в ней найти координаты всех задействованных точек.

Дано:

F1F2 = 2с

М(х; у), f(x, y)=0

МF1+MF2=2а, 2а>2c

Найти: f(х, у) = 0.

Решение:

1) Введем прямоугольную систему координат так чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси абсцисс, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2. Тогда F1(–c; 0), F2(c; 0).

2) .

.

3) .

4), т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (*).

5) Уравнение (*) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к более простому виду.

.

Так как, а2 – с2>0, то пусть а2 – с2 = b2

6) Получили уравнение эллипса , где , которое называется каноническим уравнением. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса – т.е., расстояния от центра эллипса до наиболее и наименее удаленных точек. Названия “большая” и “малая” объясняются тем, что а>b.

Ответ:

“Эллипс” в переводе с греческого означает “выпадение”, “опущение”. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, что в переводе с латинского означает “огонь”, “очаг”. Происхождения этих названий связаны с оптическими свойствами эллипса, которые вы будете изучать в курсе физики.

Первичное закрепление изученного материала.

  1. Эллипс задан уравнением . Найти длины его полуосей и координаты фокусов.
  2. Составить уравнение эллипса, если известно, что его большая полуось равна 5, а один из фокусов задан своими координатами (–4; 0)
  3. Что будет происходит с эллипсом, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга.
  4. Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 и F2: а) меньше заданной величины 2а; б) больше заданной величины 2а.
  5. Для заданных точек А и В найти геометрическое место точек С, для которых периметр треугольника АВС равен постоянной величине 2а.
  6. Исследовать взаимное расположение эллипса и окружности радиуса с центром в начале координат.
  7. Исследовать взаимное расположение эллипса и прямой, проходящей через точки с координатами (1; –1) и (3; 1).

Ответы.

  1. а =3; b = 2; с =.
  2. .
  3. а) эллипс приближается к окружности; б) эллипс сжимается к отрезку.
  4. а) точки, расположенные внутри эллипса; б) точки расположенные вне эллипса.
  5. Эллипс с фокусами А и В и двумя выколотыми точками.
  6. Пересекаются в четырех точках , .
  7. Пересекаются в двух точках (0; –2), .

Поставить оценки за работу на уроке.

Подведение итогов урока.

Как вы знаете, все математические объекты тем или иным способом находят свое применение в практике. Эллипс имеет самое непосредственное отношение к Вселенной. Еще Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий астроном обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов. Посмотрите какое открытие мы с вами сегодня совершили – решили задачу о множестве точек, а это ГМТ имеет отношение к Вселенной, в которой все существует (и это только задача!).

Вы обратили внимание на тему “Эллипс как геометрическое место точек”? Что это значит? Может быть, эллипс можно рассматривать иначе? (провести аналогию с рассмотрением гиперболы в курсе алгебры и геометрии). Действительно эллипс можно рассматривать и с другой точки зрения – с точки зрения конических сечений. И не только эллипс, но гиперболу и параболу. В старших классах мы докажем, что эллипс, гиперболу и параболу можно получить как сечение конуса плоскостью. Поэтому их и называют коническими сечениями. Конические сечения изучали еще древнегреческие геометры, и теория конических сечений была одной из вершин античной геометрии. А уравнения этих линий были выведены гораздо позднее, когда стал применяться метод координат.

Домашнее задание. Составить и решить три задачи по теме урока.

Подвести итоги урока, обсуждая с учащимися следующие вопросы.

  • Что нового вы узнали на уроке? Или, какие моменты для вас были наиболее интересными?
  • Какая из задач для вас была наиболее легкой, трудной, интересной?
  • Поднимите руки те, кто доволен своей работой на уроке.

Вернутся к цитате, с которой начинался урок: “Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия”. Еще раз обсудить ее.

Список использованной литературы.

  1. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учебное пособие для учащихся шк. и Кл. с углубл. изуч. математики / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. – М.: Просвещение, 1997. – 176 с.: ил.
  2. Геометрия для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и Кл. с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров. А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1996. – 451 с.: ил.
  3. И. Смирнова, В. Смирнов Геометрия на профильном уровне обучения. Лекция 3 // Математика № 19 – 2006г – стр. 39 – 46.
  4. Еременко С. В., Сохет А. М., Ушаков В. Г. Элементы геометрии в задачах. – М.: МЦНМО, 2003. – 168 с.
  5. Бобров С. П. Волшебный двурог. Издание 3-е. – М. МЦНМО, 2006. – 512 с.
  6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 1998. – 688с.: ил.